MutlakDeğer

Mutlak değerli denklem çözmek için şu adımlar izlenir: 1. Durum 1: |x| = a eşitliğinde a > 0 ise, x = a veya x = −a olur. 2. Durum 2: |x| = 0 ise, x = 0 olur. 3. Durum 3: |x| = a eşitliğinde a < 0 ise, denklemin çözüm kümesi boş kümedir. 4. Durum 4: |x| = y ise, x = y veya x = −y olur. Örnek: |2x - 4| = 3x - 1 denklemini çözmek için: Durum 1: 2x - 4 = 3x - 1, x = -3. Durum 2: 2x - 4 = - (3x - 1), 2x - 4 = 1 - 3x, x = 1. Orijinal denklemde bu değerleri yerine koyarak kontrol edilir; sadece x = 1 değeri denklemi sağlar. Çözüm kümesi: x ∈ {1}. Daha karmaşık mutlak değerli denklemler için, eşitliğin her iki tarafının karesi alınarak da çözüm yapılabilir. Mutlak değerli denklemleri çözerken, elde edilen köklerden mutlak değerin eşitini (y) negatif yapan değerler çözüm kümesine dahil edilmez.

Mutlak değeri 3 olan tam sayılar 3 ve -3'tür.

Mutlak değer, bir gerçek sayının sayı doğrusundaki yerinin başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığına denir. Mutlak değer, genellikle |x| şeklinde ifade edilir, burada "x" bir sayıdır. Mutlak değerin bazı özellikleri: Mutlak değer her zaman pozitif ya da sıfır olur. Çarpım durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri, bu sayıların mutlak değerlerinin çarpımına eşittir. Bölüm durumundaki iki gerçek sayının mutlak değeri, bu sayıların mutlak değerlerinin bölümüne eşittir. Pozitif bir sayının mutlak değeri kendisidir. Negatif bir sayının mutlak değeri, o sayının negatif işaretini kaldırarak elde edilir. Sıfırın mutlak değeri sıfırdır.

Mutlak değerin bazı özellikleri: Her zaman pozitif ya da sıfırdır. Negatif sayıların mutlak değeri, negatif işaret kaldırılarak bulunur. Mutlak değer, toplamın mutlak değerine eşit veya daha küçüktür. Çarpma ve bölme işlemlerinde mutlak değerler ayrılabilir. Mutlak değerin içindeki ifade pozitifse dışarı olduğu gibi çıkar, negatifse önüne “-” işareti alarak çıkar. Mutlak değer, gerçek sayıların yanı sıra karmaşık sayılar gibi farklı matematiksel kümeler için de tanımlanabilir.

Mutlak değeri 0 olan sayılara sıfır (0) denir.

9. sınıf matematik müfredatında mutlak değerde toplama ve çıkarma işlemleri şu şekilde yapılır: Toplama: Aynı işaretli iki tam sayı toplanırken, sayıların mutlak değerleri toplanır ve sayıların ortak işareti sonucun önüne yazılır. Ters işaretli iki tam sayı toplanırken, mutlak değerce büyük olan sayıdan küçük olan sayı çıkarılır ve mutlak değerce büyük olan sayının işareti konur. Çıkarma: Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken, çıkanın işareti değiştirilir ve eksilen sayı ile toplanır. Mutlak değerde toplama ve çıkarma işlemleri için daha fazla bilgi ve örnekler aşağıdaki kaynaklarda bulunabilir: derspresso.com.tr; dopinghafiza.com; eokultv.com.

Mutlak değerde artı ve eksi şu şekilde bulunur: Pozitif sayılar: Mutlak değer içindeki pozitif sayılar dışarı pozitif olarak çıkar. Negatif sayılar: Mutlak değer içindeki negatif sayılar dışarı pozitif olarak çıkar, ancak bu işlem için sayının negatif işareti ters çevrilir. Örneğin, |-7| = 7 olur.

Mutlak değer konusu, genellikle ortaokul 6. sınıf seviyesinden itibaren matematik derslerinde işlenmeye başlanır. Dolayısıyla, taktiklerle matematik mutlak değer konusu orta seviye olarak değerlendirilebilir. Mutlak değer, matematik problemlerinin çözümünde, eşitsizliklerin çözümünde ve grafiklerin inşasında önemli bir yer tutar.

7. sınıf seviyesinde bir tam sayının mutlak değeri şu şekilde bulunur: Bir sayının mutlak değeri, sayının sayı doğrusu üzerinde sıfıra olan uzaklığını temsil eder ve her zaman pozitif bir değer alır. Mutlak değerin içindeki ifade “0” veya pozitif bir değerde ise, dışarıya aynen çıkar. Mutlak değerin içindeki ifade negatif bir değerde ise, dışarıya (–) ile çarpılarak (yani ters işaretli olarak) çıkar. Örnek: 5 sayısının mutlak değeri 5'tir. -10 sayısının mutlak değeri 10'dur. -12 sayısının mutlak değeri 12'dir.

Mutlak değerde eşitsizliğin neden ters çevrildiği hakkında bilgi bulunamadı. Ancak, mutlak değerli eşitsizlikler hakkında genel bilgi verilebilir. Mutlak değerli eşitsizliklerde, denklemin her iki tarafı eşit, büyük veya küçük olmak durumundadır.

Mutlak değeri 6'dan küçük olan tam sayılar şunlardır: Pozitif tam sayılar: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Negatif tam sayılar: -5, -4, -3, -2, -1. Toplamda bu sayılar 11 tanedir: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Mutlak değerin integralinin parçalı fonksiyon olmasının sebebi, mutlak değer fonksiyonunun farklı aralıklarda farklı tanımlara sahip olmasıdır. Bir mutlak değer fonksiyonunun integralini alırken şu adımlar izlenir: 1. Tüm mutlak değerli ifadelerin içini sıfır yapan x değerleri bulunur. 2. Fonksiyon bir parçalı fonksiyon şeklinde yazılır ya da bir işaret tablosu yardımıyla fonksiyonun farklı aralıklardaki tanımları belirlenir. 3. Her aralıkta fonksiyon tanımı mutlak değersiz bir şekilde ifade edilir. Eğer fonksiyonun bir kritik noktasını içeren bir aralıkta integral alınıyorsa, integral işlemi her biri kritik noktaların ayırdığı tek bir aralığa karşılık gelecek şekilde birden fazla integral işleminin toplamı şeklinde yazılır.

Evet, negatif tam sayılar küçüldükçe mutlak değerleri büyür. Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür.

Mutlak değer fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağıdaki adımlar izlenebilir: 1. Standart mutlak değer grafiği çizimi: Bu, mavi sürekli çizgi ile gösterilir. 2. Öteleme: Fonksiyonun girdisinden veya çıktısından belirli bir değer çıkarılarak grafik sağa, sola veya aşağı doğru ötelenir. 3. Ölçeklendirme ve yansıtma: Fonksiyonun çıktısının negatifi alınarak grafik x eksenine göre yansıtılabilir ve katsayılar değiştirilerek noktalar y eksenine yaklaştırılabilir veya uzaklaştırılabilir. Örnek olarak, f(x) = -|2x| + 4 fonksiyonunun grafiği şu şekilde çizilebilir: 1. |x| grafiği: Mavi sürekli çizgi ile gösterilir. 2. |2x| grafiği: Fonksiyonun girdisi 2 ile çarpıldığı için tüm noktalar y eksenine yaklaşır, bu grafik yeşil kesikli çizgi ile gösterilir. 3. -|2x| grafiği: Fonksiyonun çıktısının negatifi alındığı için grafik x eksenine göre yansır, bu grafik mavi kesikli çizgi ile gösterilir. 4. -|2x| + 4 grafiği: Fonksiyonun çıktısına 4 birim eklendiği için grafik yukarı doğru 4 birim ötelenir, bu grafik kırmızı sürekli çizgi ile gösterilir. Mutlak değer fonksiyonlarının grafiğini çizmek için derspresso.com.tr, khanacademy.org ve matematiknedir.com gibi kaynaklar da kullanılabilir.

-14'ün mutlak değeri 14'tür. Mutlak değer, bir sayının işareti dikkate alınmadan sıfıra olan uzaklığıdır.

Mutlak değer aralık gösterimi, belirli bir sayı aralığının sıfırdan ne kadar uzakta olduğunu bulmak için kullanılır. İki durumda incelenir: 1. ∣x - a∣ ≤ b ifadesi, x sayısının a noktasından en fazla b birim uzakta olduğunu gösterir. 2. ∣x - a∣ ≥ b ifadesi, x sayısının a noktasından en az b birim uzakta olduğunu gösterir. Örnek: ∣x - 2∣ ≤ 3 ifadesi, x sayısının 2'den en fazla 3 birim uzakta olduğunu ifade eder ve çözümü [-1, 5] aralığıdır. Mutlak değer aralık gösterimi ile ilgili daha fazla bilgi ve örnekler için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: youtube.com'da "9.Sınıf Matematik | Aralıkların Mutlak Değer Gösterimi | Yeni Müfredat" videosu; cepokul.com'da "Aralıkların Mutlak Değer Gösterimi - 9. Sınıf Matematik" konusu; derspresso.com.tr'de "Bir aralığı mutlak değerli ifadeye çevirme" konusu.

Karekök içindeki bir sayı, mutlak değerden dışarı çıkarılırken şu adımlar izlenir: 1. Mutlak değer içindeki ifade negatifse, eksi ile çarpılarak pozitif hale getirilir. 2. Asal çarpanlarına ayırma yöntemi kullanılarak, kuvveti çift sayı olan ifadeler kök dışına çıkarılır. 3. Kuvveti 1'den büyük ve tek sayı olan ifadeler, tabandaki asal çarpanla bir tam kare sayının çarpımı şeklinde yazılarak kök dışına alınabilir. Örneğin, $|\sqrt{5}-3|$ ifadesi şu şekilde çözülür: - Kök içindeki ifade negatif olduğu için eksi ile çarpılır: $-(\sqrt{5}-3)$. - Kök dışına çıkarma işlemi asal çarpanlarına ayırma yöntemiyle yapılır: 5 bir tam kare sayı olmadığı için kök içinde kalır, 3 ise kök dışına çıkar. Sonuç olarak, $|\sqrt{5}-3| = -(\sqrt{5}-3) = 3 - \sqrt{5}$ olur.

Mutlak değer içindeki karekök, eğer içindeki sayı negatifse, eksi ile çarpılarak dışarı çıkar. Örnek: $|\sqrt{5}-3|$ ifadesi şu şekilde çözülür: 1. Karekök içindeki sayı negatif olduğu için, mutlak değer içindeki ifadeyi pozitif yapmak amacıyla eksi ile çarpılır: $|-(\sqrt{5}-3)|$. 2. Sonuç: $-(\sqrt{5}-3) = -2.236 + 3 = 0.764$. Özetle: - Mutlak içi pozitifse: Sayı dışarı olduğu gibi çıkar. - Mutlak içi negatifse: Sayı önüne “-” işareti alarak çıkar.

Mutlak değerde bölme işlemi şu şekilde yapılır: Mutlak değerlerin ayrılması. Sonuçların pozitif olması. Örnek: ∣6/(-3)∣ = ∣6/(-3)∣ = 2. Mutlak değerde bölme işlemi ile ilgili daha fazla bilgi için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: derspresso.com.tr; dopinghafiza.com; egitim.com.

Karekök içindeki bir sayı, mutlak değer içine şu şekilde alınır: Karekök içindeki sayının karesi alınır. Elde edilen kare, mutlak değer işaretiyle çevrilir. Örneğin, √x ifadesi |x| olarak yazılır. Karekök içine alma işlemi için çevrimiçi araçlar da kullanılabilir.