SayıTeorisi

Gerçel sayılar, matematiksel bir kavram olup, doğal sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar gibi diğer sayı türlerini içeren bir kümedir. Gerçel sayıların bazı özellikleri: Sıralama: Gerçel sayılar sıralanabilir. Dört işlem: Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir. Gerçel sayıların bazı alt kümeleri: Rasyonel sayılar (Q): İki tam sayının oranı olarak ifade edilebilen sayılar. İrrasyonel sayılar (I): Kesirlerle ifade edilemeyen, sonsuz ondalık kesire sahip sayılar. Gerçel sayılar kümesi, R sembolü ile gösterilir.

Hayır, √2 rasyonel bir sayı değildir. Bunun nedeni, √2’nin kesir şeklinde ifade edilememesi ve ondalıklı halinin kesirli olmamasıdır. √2’nin rasyonel olmadığının kanıtı için çelişkiye dayalı bir yöntem kullanılabilir.

Hayır, √2 rasyonel bir sayı değildir. Bunun nedeni, √2’nin kesir şeklinde ifade edilememesi ve ondalıklı halinin kesirli olmamasıdır. √2’nin rasyonel olmadığının kanıtı için çelişkiye dayalı bir yöntem kullanılabilir.

Evet, 0 tam sayıdır. Tam sayılar, hem pozitif hem de negatif tüm tam sayıları kapsar ve 0 da bu sayılar arasında yer alır.

Karmaşık sayının gerçek ve sanal kısmı şu şekilde tanımlanır: Gerçek kısım. Sanal kısım. Gerçek kısım, x ekseni boyunca; sanal kısım ise y ekseni boyunca gösterilerek karmaşık sayılar, düzlemde geometrik olarak yorumlanabilir. Tüm gerçek sayılar, sanal kısmı sıfır olan birer karmaşık sayı olarak kabul edilir ve karmaşık sayılar kümesi, gerçek sayıları da kapsar.

Rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki temel farklar şunlardır: Yazılma Şekli: Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilir (a/b şeklinde), ancak irrasyonel sayılar bu şekilde ifade edilemez. Ondalıklı Gösterim: Rasyonel sayılar, sonlu ya da tekrarlanan ondalıklı kesir olarak gösterilebilirken, irrasyonel sayılar durmadan devam eden, tekrarlamayan bir ondalıklı kesir olarak yazılır. Sonluluk: Rasyonel sayılar sonludur, irrasyonel sayılar ise sonlu değildir. Örnekler: Rasyonel Sayılar: 3/4, 5/6, 8/9 gibi sayılar. İrrasyonel Sayılar: √7, π, 5,1958633481452... gibi sayılar.

7'ye bölünebilme için son iki basamak kuralına dair bilgi bulunamadı. Ancak, 7'ye bölünebilme için kullanılan bazı yöntemler şunlardır: Birler basamağından başlayarak çarpma yöntemi. Son rakamı iki ile çarpma yöntemi. İkişer ikişer gruplama yöntemi.

Hayır, 12 ve 11 bölünebilme kuralları aynı değildir. 11 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının 11 ile tam bölünebilmesi için, sayının rakamları birler basamağından itibaren sırasıyla +,-,+,-,+,- şeklinde işaretlenip toplanır. 12 ile bölünebilme kuralı: Bir sayının 12 ile tam bölünebilmesi için, o sayının hem 3'e hem de 4'e tam bölünmesi gerekir.

Hayır, √3 rasyonel bir sayı değildir. Rasyonel sayılar, payı ve paydası tam sayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen sayılardır.

Evet, 6 tane sayı kümesi vardır. Bu sayı kümeleri şunlardır: 1. Doğal sayılar. 2. Sayma sayıları. 3. Tam sayılar. 4. Rasyonel sayılar. 5. İrrasyonel sayılar. 6. Reel sayılar.

Kök üç (√3) irrasyoneldir çünkü: Kök üç, a ve b tam sayı olacak şekilde a/b şeklinde ifade edilebilir. a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığı varsayılır. Bu durumda, √3'ün rasyonel bir sayı olması, a ve b değerlerinin üçün katı olmasına yol açar. Ancak, a ve b değerlerinin aralarında asal olması gerektiği için bu durum bir çelişki yaratır. Bu nedenle, kök üç rasyonel bir sayı değildir ve irrasyonel bir sayı olarak kabul edilir.

Matematikte Z ve R işaretlerinin anlamları şu şekildedir: Z işareti. R işareti. Ayrıca, matematikte N işareti de kullanılmaktadır.

Reel sayılarda 0'ın (sıfır) bulunmasının nedeni, reel sayıların hem pozitif hem de negatif sayıları, ayrıca 0'ı da içermesidir. Reel sayılar, rasyonel sayılar, irrasyonel sayılar, tam sayılar ve doğal sayılar gibi farklı sayı türlerini kapsayan bir kümedir ve bu kümenin sembolü "R" olarak gösterilir.

Rasyonel ve gerçek sayılar arasındaki temel fark, gerçek sayıların hem rasyonel sayıları hem de irrasyonel sayıları içermesidir. Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak ifade edilebilen sayılardır. Gerçek (reel) sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşiminden oluşur. İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak ifade edilemeyen sayılardır.

En küçük asal sayı 2'dir. En büyük asal sayı yazılamaz, çünkü asal sayılar sonsuzdur.

Evet, 30 bir tam sayıdır. Tam sayılar, ondalık veya kesirli kısmı olmayan, sıfır dahil olmak üzere negatif ve pozitif sayılardan oluşan bir kümedir.

Asal ve bileşik sayıları bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: Kalansız bölme yöntemi. Eratosthenes’in süzgeci yöntemi: 2’den başlayarak, o sayıya kadar olan tüm doğal sayılar sıralanır. 2 sayısı asal olarak işaretlenir ve 2’nin katları olan sayılar listeden çıkarılır. Listede kalan en küçük sayı asal olarak işaretlenir ve onun katları olan sayılar listeden çıkarılır. Listede kalan en küçük sayının karesi, o sayıdan büyük olana kadar bu işlem tekrarlanır. Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1’den büyük pozitif tam sayılardır. Bazı asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Bazı bileşik sayılar: 6 (2 ve 3'e bölünebilir), 12 (2 ve 3'ün çarpımı). Asal sayılar ve özellikleri, Antik Yunan matematikçileri tarafından incelenmiştir.

Modüler aritmetiğin bazı özellikleri: Toplama ve çıkarma: a ± c ≡ b ± c (mod m). Çarpma: a.c ≡ b.c (mod m). Üs alma: an ≡ bn (mod m). Tek tarafa m sayısının katı ekleme veya çıkarma: a ± m.k ≡ b (mod m). Aynı modülde denklik: x ≡ y (mod m) ise, x + a ≡ y + b (mod m), x – a ≡ y – b (mod m), x.a ≡ y.b (mod m). Denklik sınıfı: Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Aynı modülde denklikler taraf tarafa bölünemez.

Tam sayı ile kesir arasındaki ilişki, tam sayılı kesirler kavramında ortaya çıkar. Tam sayılı kesirlerin bileşik kesre dönüştürülmesi için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Tam sayı kısmı, kesrin paydasıyla çarpılır. 2. Elde edilen sayıya pay eklenir. 3. Yeni payda, eski tam sayılı kesrin kesir kısmının paydası olur. Bileşik kesirlerin tam sayılı kesre dönüştürülmesi için ise şu adımlar izlenir: 1. Pay, paydaya bölünür. 2. Bölüm (kalan hariç) yeni tam sayı kısmı olur. 3. Kalan, yeni tam sayılı kesrin kesir parçasının payı olur. 4. Yeni payda, bileşik kesrin paydasıyla aynı kalır.

Reel sayılar, karmaşık sayılar dışındaki tüm sayıları kapsayan bir terimdir. Reel sayıların bazı alt kümeleri: Rasyonel sayılar. İrrasyonel sayılar. Doğal sayılar. Tam sayılar. Reel sayılar, sayı doğrusu üzerinde her türlü sayı ile temsil edilebilir.