KarmaşıkSayılar

Gerçek sayılar (real numbers) ve gerçel sayılar (real part of a complex number) aynı şeyler değildir. Gerçek sayılar, sayı doğrusu üzerinde yer alan tüm sayıları, yani rasyonel (tam sayılar, kesirli sayılar) ve irrasyonel sayıları (kök 2, pi gibi) kapsar. Gerçel sayılar ise karmaşık sayıların sadece gerçek kısmını ifade eder.

Karmaşık bir sayının gerçek ve sanal kısımları şu şekilde tanımlanır: 1. Gerçek Kısım (Re(z)): Karmaşık sayıda yer alan a harfi, gerçek kısmı ifade eder. 2. Sanal Kısım (Im(z)): Karmaşık sayıda i'nin önündeki katsayı, sanal kısmı temsil eder ve b harfi ile gösterilir. Dolayısıyla, genel bir karmaşık sayı olan z = a + bi ifadesinde, Re(z) = a ve Im(z) = b olur.

Karmaşık sayıları ilk bulan kişi olarak kabul edilen kişi, İtalyan matematikçi Rafael Bombelli'dir. Diğer önemli matematikçiler arasında Thomas Harriot, Gerolamo Cardano ve Carl Friedrich Gauss da bulunmaktadır.

Laplace dönüşümünde "s" karmaşık bir değişkendir.

Euler'in π + 1 = 0 formülü, Euler özdeşliği olarak bilinir ve trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık üstel fonksiyon arasındaki bağlantıyı gösterir. Kullanım alanları: - Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının büyüme fonksiyonları olan üstel fonksiyonlarla ilişkisini açıklar. - Döngülerin ve dalgaların matematiksel analizinde kullanılır. - Elektrik mühendisliği, kuantum mekaniği ve ilgili teknik disiplinlerde vazgeçilmezdir.

Euler formülü, karmaşık sayılar ile trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi ifade eden önemli bir matematiksel formüldür. Formül şu şekilde yazılır: e^(ix) = cos(x) + isin(x). Burada: - e, doğal logaritmanın tabanı olan yaklaşık 2.71828 sayısını temsil eder; - i, karmaşık birimi (i^2 = -1) ifade eder; - x, bir gerçel sayıyı temsil eder.

Karmaşık sayılar, reel vektör uzayında karmaşık düzlem üzerinde temsil edilir. Karmaşık düzlem, yatay eksenin gerçek sayıları, dikey eksenin ise sanal sayıları temsil ettiği iki boyutlu bir düzlemdir.

Deltadan (Δ) karmaşık kök bulmak için, ikinci dereceden denklemin diskriminantı (Δ) sıfırdan küçük olmalıdır (Δ < 0). Bu formüllerde a, b ve c denklemin katsayılarıdır.

Tam sayı olmayan sayılar şunlardır: 1. Ondalıklı sayılar: Virgüllü sayılar tam sayı değildir çünkü kesirli bir parça ifade ederler. 2. İrrasyonel sayılar: Pi (π) gibi, kesirle ifade edilemeyen ve ondalık kesirlerde sona ermeyen sayılar. 3. Karmaşık sayılar: Gerçek ve sanal kısımlardan oluşan sayılar. 4. Doğal sayılar: Sadece 0 sayısı, pozitif tam sayılar kümesine dahil değildir.

Karmaşık sayıların üsleri, Euler formülü ve Moivre teoremi kullanılarak bulunur. Euler formülü, karmaşık sayıları trigonometrik fonksiyonlarla ilişkilendirir ve şu şekilde ifade edilir: e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Moivre teoremi ise karmaşık sayıların üs alma işlemini kolaylaştırır ve şu şekilde yazılır: (r(cos θ + i sin θ))^n = r^n (cos nθ + i sin nθ). Ayrıca, karmaşık sayıların üsleri, kutupsal form kullanılarak da hesaplanabilir.

Diskriminant sıfırdan küçükse (Δ < 0), ikinci dereceden denklemin gerçek (reel) kökü yoktur.

Karmaşık sayılar, ikinci dereceden denklemleri şu şekilde etkiler: İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı (Δ) sıfırdan küçük olduğunda (Δ < 0), denklemin reel sayılarda kökü yoktur. Bu kökler, a + ib biçiminde ifade edilir ve burada a ve b reel sayılardır.

Karmaşık bir sayının modülü, z = a + ib şeklinde ifade edilen sayıda, a² + b² formülü ile bulunur. Örnek hesaplama: 5 - √11i sayısının modülünü bulalım: 1. 5'in karesi ile √11'in karelerini toplarız: (5)² + (√11)² = 25 + 11 = 36. 2. Sonuç, √36 = 6 olur, bu da 5 - √11i sayısının orijin noktasına olan uzaklığının 6 birim olduğunu belirtir.

i sayısı, gerçek sayı çözümü olmayan denklemlerin çözümlerini bulmak için vardır. Özellikle, x² = −1 denkleminin bir çözümü olarak tanımlanmıştır, çünkü gerçek sayıların karesi negatif bir sayı olamaz.

Polar form bir karmaşık sayının bulunması için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Modül (magnitude) hesaplanır. 2. Argüman (angle) bulunur. Sonuç olarak, polar form şu şekilde ifade edilir: z = r(cosθ + isinθ).

i'nin kuvvetleri şu şekilde alınır: 1. İlk dört kuvvet: i1 = i, i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1. 2. Mod alma yöntemi: Üstten küçük ve 4'ün katı olan sayı bulunur, bu sayı üstten çıkarılır ve mod alınmış olur. Örneğin, i361 ifadesinin kuvveti için: 361'in 4'ün katı olan komşusu 360'tır, 361'den 360 çıkarılır ve sonuç 1 olur, dolayısıyla i361 = i1 = i.

İkinci dereceden denklemler, karmaşık sayıları da içerebilir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri, diskriminantın değerine göre reel sayılar veya karmaşık sayılar olabilir.

İ sayısı, matematikte karmaşık sayıların bir sembolüdür ve karesi -1 olan sayı olarak tanımlanır. Bazı özellikleri: - i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1 şeklinde kuvvetlere sahiptir. - Gerçek sayılar kümesine dahil değildir, irrasyonel sayılar arasında yer alır.

Karmaşık kök formülü, ikinci derece denklemlerin çözümünde kullanılan bir formüldür ve şu şekilde ifade edilir: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Bu formülde: - x, denklemin köküdür; - a, birinci dereceli terimin katsayısıdır; - b, ikinci dereceli terimin katsayısıdır; - c, sabit terimin katsayısıdır. Eğer diskriminant (Δ = b² - 4ac) sıfırdan küçükse, denklemin gerçek kökü yoktur ve karmaşık kökler bulunur.

Mandelbrot seti, karmaşık bir matematiksel fonksiyonun yinelenmesi sonucu oluşur. Oluşum süreci şu adımlarla özetlenebilir: 1. Başlangıç noktası seçimi: Mandelbrot setinde bir z noktası seçilir (genellikle z = 0 olarak alınır). 2. Yineleme fonksiyonu: Bu noktaya f(z) = z² + c fonksiyonu uygulanır. 3. Sonucun tekrarlanması: Elde edilen yeni değer (z1) tekrar f(z1) fonksiyonuna tabi tutulur ve süreç devam eder. 4. Son durum: Eğer yinelemeler sonucunda oluşan sayıların mutlak değeri belirli bir eşiği (genellikle 2) aşmazsa, c sayısı Mandelbrot setine dahil edilir. Bu süreç, karmaşık düzlemde her biri diğerinden farklı detaylar içeren sonsuz sayıda küçük bölgenin ortaya çıkmasına neden olur ve sonuçta setin kendine özgü karmaşık yapısı oluşur.