Türev

İntegral alırken kullanılan bazı temel türev kuralları şunlardır: 1. Sabit Sayı Kuralı: Sabit bir sayıyı fonksiyon dışında bir faktör olarak kabul edersek, bu sabit sayıyı integral işlemine dahil edebiliriz. 2. Toplam Kuralı: Bir fonksiyonun toplamını alırken, her bir terimin integralini ayrı ayrı hesaplayabiliriz. 3. Çarpan Kuralı (Zincir Kuralı): Bir fonksiyonun içinde bir başka fonksiyon bulunduğunda, zincir kuralı kullanılır ve dış fonksiyonun integrali alınır. 4. Üs Kuralı: Üs fonksiyonlarının integrali belirli bir formüle dayanır ve genellikle polinom fonksiyonlarının integralinde kullanılır. 5. Değişken Değiştirme Yöntemi: Daha karmaşık fonksiyonların yerine daha basit bir değişken konularak integralin hesaplanmasını sağlar.

Cos²x ifadesinin türevi −2sin2x'tir.

Tan ve cot türevleri, trigonometrik fonksiyonların türevinin hesaplanması konusunun bir parçasıdır.

Calculus'te konkavite (concavity), bir eğrinin eğiminin artış veya azalış hızını ifade eder. İki tür konkavite vardır: 1. Konkav yukarı: Eğrinin eğimi, değerleri arttıkça artar. 2. Konkav aşağı: Eğrinin eğimi, değerleri arttıkça azalır. Konkaviteyi belirlemek için genellikle ikinci türev kullanılır: eğer f''(x) > 0 ise, fonksiyon konkav yukarı; eğer f''(x) < 0 ise, fonksiyon konkav aşağıdır.

İntegral hesabın temel teoremi, gerçek bir değişkenin gerçek değerli fonksiyonları için integral ve türev kavramları arasında önemli bir bağlantı kurar. Bu teoremin iki kısmı vardır: 1. İlk kısım (kalkülüsün ilk temel teoremi), sürekli bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun türevi olduğunu garanti eder. 2. İkinci kısım (kalkülüsün ikinci temel teoremi), bir fonksiyonun belirli integralini, ilkellerinden herhangi biri aracılığıyla hesaplamaya izin verir. Bu teorem, Isaac Newton ve Gottfried Leibniz tarafından geliştirilmiştir.

Köklü fonksiyonların türevi, kuvvet kuralı kullanılarak bulunur. Köklü ifadeler ise üslü fonksiyonlar olarak kabul edilir ve bu nedenle türevleri de aynı formülle hesaplanır.

Limite göre ters türev, bir fonksiyonun türevini alarak elde edilen yeni bir fonksiyondan, başlangıçtaki fonksiyonu geri elde etme işlemidir. Bu işlem, entegrasyon olarak da adlandırılır ve belirli bir fonksiyonun integralini hesaplamak için kullanılır.

E üstel fonksiyonu türevlenirken, e^x şeklinde yazılır ve türevi e^x olarak bulunur.

X küpün (x³) türevi aşağıdaki adımlarla hesaplanır: 1. Fonksiyonu tanımlayın: f(x) = g(x)³ şeklinde tanımlayın, burada g(x) herhangi bir fonksiyondur. 2. Zincir kuralını uygulayın: Türev almak için zincir kuralını kullanarak f'(x) = 3g(x)² g'(x) formülünü elde edin. 3. g(x) ve g'(x) değerlerini yerleştirin: Belirli bir g(x) fonksiyonu için g(x) ve g'(x) değerlerini yerine koyarak f'(x) değerini hesaplayın. Örnek: g(x) = 2x + 1 fonksiyonu için: - g(x) = 2x + 1 - g'(x) = 2 - f'(x) = 3(2x + 1)² 2 = 6(2x + 1)².

Sekantın (sec x) türevi şu şekilde alınır: f'(x) = tan x.sec x. Bu formül, trigonometrik fonksiyonların türevlerinin hesaplanma yöntemlerinden biri olan zincir kuralı kullanılarak elde edilir.

Türevde x'e göre türev almak, fonksiyonun bağımsız değişkeni olan x'in değişimine bağlı olarak bağımlı değişken y'nin değişim oranını hesaplamak anlamına gelir. x'e göre türev alma işlemi şu adımlarla yapılır: 1. Fonksiyonu tanımlamak: Türevi alınacak fonksiyon belirlenir. 2. Uygun türev kuralını seçmek: Fonksiyonun türüne göre (kuvvet kuralı, çarpım kuralı vb.) ilgili türev kuralı seçilir. 3. Kuralı uygulamak: Seçilen kural, fonksiyona uygulanır. 4. Sonucu sadeleştirmek: İşlem tamamlandıktan sonra elde edilen ifade gerekirse sadeleştirilir. Türev, matematiksel ifadelerde "dy/dx" şeklinde gösterilir ve buradaki "d" diferansiyeli, yani sonsuz küçük değişimi temsil eder.

Türev konusu için Apotemi Yayınları'nın "Apotemi Türev" fasikülü uygundur.

Kapalı bir fonksiyonun türevini bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: 1. Klasik Türev Alma Kuralları: Temel türev alma kuralları, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri için geçerlidir. 2. Zincir Kuralı: Bir bileşke fonksiyonun türevini alırken kullanılır ve dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevini çarparak hesaplanır. 3. Parametrik Türev: Kapalı fonksiyon parametrik bir biçimde tanımlanmışsa, bu durumda parametrik türev alma teknikleri kullanılır. 4. Sayısal Türev: Analitik türev almak zor olduğunda, sayısal yöntemler kullanılarak türev yaklaşık olarak hesaplanır. Kapalı fonksiyonların türevini bulmak için ayrıca F(x, y) = 0 eşitliğinde her iki tarafın x'e göre türevi alınarak ve bulunan ifadede y yalnız bırakılarak da türev bulunabilir.

Türevde sürekliliği bulmak için bir fonksiyonun sürekli olması gerekir. Süreklilik ve türev arasındaki ilişki şu teoremle özetlenebilir: Bir f fonksiyonu a noktasında türevli ise, aynı zamanda bu noktada süreklidir.

Türevde sinüs ve kosinüsün nasıl bulunduğu aşağıdaki formüllerle açıklanabilir: 1. Sinüs fonksiyonunun türevi: `f(x) = sin(x) → f'(x) = cos(x)`. 2. Kosinüs fonksiyonunun türevi: `f(x) = cos(x) → f'(x) = -sin(x)`. Bu formüller, trigonometrik fonksiyonların türevlerini hesaplarken temel olarak kullanılır.

Teğet ve normal doğruların bulunması için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Teğet Doğru: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki teğet doğrusunu bulmak için, o noktadaki fonksiyonun türevini hesaplamak gerekir. - Teğet doğrusunun denklemi: y = f(a) + f'(a) (x - a) şeklinde ifade edilir. Burada: - f(x), incelenen fonksiyondur. - f(a), fonksiyonun a noktasındaki değeridir. - f'(a), fonksiyonun a noktasındaki türevidir. - (x - a), a noktasından x noktasına olan mesafeyi temsil eder. 2. Normal Doğru: Teğet doğrusuna dik olan doğru, normal doğru olarak adlandırılır. Burada: - md, teğet doğrusunun eğimidir.

Türev ve determinant farklı matematiksel kavramlardır. Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki değişim hızını veya bir şeyin bir diğer şeye göre değişim miktarını ifade eder. Determinant ise, bir matrisin çözümünde kullanılan ve matrisin elemanları arasındaki ilişkileri gösteren bir sayıdır.

Türev ve fonksiyon farklı kavramlardır. Fonksiyon, belirli bir kuralla bir değer kümesinden başka bir değer kümesine yapılan eşleştirmeyi ifade eder. Türev ise, bir fonksiyonun tanımlı olduğu herhangi bir noktada değişim yönünü veya hızını veren temel bir kavramdır.

Mutlak değerli fonksiyonun türevinin limit tanımı, fonksiyonun giriş değeri sıfırdan küçükse -1, aksi takdirde 1 olmasıdır. Bu kural, mutlak değerin türevini şu şekilde ifade etmemizi sağlar: f(x) = |x| ise f'(x) = x/|x|.

Arccosinüs (arccos) fonksiyonunun türevi, eksi 1'in (1 - x²)'nin kare köküne bölünmesine eşittir. Matematiksel olarak bu, arccos'(x) = -1 / √(1 - x²) şeklinde yazılır.