Cebir

Fonksiyonlar, sahip oldukları özelliklere göre çeşitli türlere ayrılabilir. İşte bazı fonksiyon çeşitleri: Kümeler kuramına göre: Birebir fonksiyon: Tanım kümesinde birbirinden farklı her öğenin, görüntüsü de birbirinden farklıdır. Örten fonksiyon: Değer kümesinin her öğesi için tanım kümesinde en az bir öğe vardır. Birebir örten fonksiyon: Hem birebir hem de örten fonksiyonlardır. Sabit fonksiyon: Argümanlar ne olursa olsun sabit bir değeri vardır. İşleme göre: Toplama fonksiyonu: Toplama işlemini korur. Çarpma fonksiyonu: Çarpma işlemini korur. Çift fonksiyon: Y-eksenine göre simetriktir. Tek fonksiyon: Orijin'e göre simetriktir. Diğer türler: Parçalı fonksiyon: Farklı aralıklarda farklı ifadeler tarafından tanımlanır. İçine fonksiyon: Fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin alt kümesidir. Ters fonksiyon: Belirli bir fonksiyonu "ters yapma" ile açıklanır. Fonksiyon türleri hakkında daha fazla bilgi için aşağıdaki kaynaklara başvurulabilir: tr.wikipedia.org; derspresso.com.tr; medium.com.

8. sınıf matematik ders kitabının 116. sayfasında yer alan içerikler, kullanılan ders kitabı yayınevine göre değişiklik göstermektedir: MEB Yayınları: Bu yayınevine ait kitapta, "Eşit Şansa Sahip Olan Olaylar" konusu yer almaktadır. Ada Matbaacılık Yayıncılık: Bu yayınevine ait kitapta, cebirsel ifadelerle ilgili alıştırmalar bulunmaktadır. Berkay Yayıncılık: Bu yayınevine ait kitapta, sayfa 116 cevabı yer almaktadır. Daha fazla bilgi için ilgili yayınevinin ders kitabı içeriğine bakılması önerilir.

Harezmi (Hârizmî), tam adıyla Ebû Ca'fer Muhammed bin Mûsâ el-Hârizmî, 780 yılında Harezm bölgesinde doğmuş ve 850 yılında Bağdat'ta vefat etmiş Fars bilim insanıdır. Cebirin babası olarak bilinmesinin nedenleri: Cebir ve algoritma: "Tamamlama ve Dengeleme ile Hesaplamaya Dair Özlü Kitap" adlı eseri, doğrusal ve ikinci dereceden denklemlerin ilk sistematik çözümünü sunmuştur. Semboller: Sıfır rakamını ve x bilinmeyenini ilk kullanan kişidir. Eğitim: Cebiri bağımsız bir disiplin olarak öğretmiştir. Harezmi, ayrıca Batlamyus'un "Coğrafya" adlı eserini düzenlemiş, astronomi ve coğrafya alanında çalışmalar yapmıştır.

Hayır, cebir ve matematik aynı şey değildir; cebir, matematiğin bir dalıdır. Matematik, sayılar ve onların arasındaki ilişkileri inceleyen bir bilim dalıdır.

8. sınıf cebirsel ifadelerde çarpma işlemi şu şekilde yapılır: 1. Bir doğal sayı ile bir terimli bir cebirsel ifade çarpılırken: - Doğal sayı ile cebirsel ifadenin katsayısı çarpılıp değişkenin önüne katsayı olarak yazılır. 2. İki cebirsel ifade çarpılırken: - Sayılar çarpılır, sonucu sayının sayısı olarak yazılır. - Harfler çarpılır, sonucu harfin harfi olarak yazılır. - Harflerin çarpımında üslü sayı kuralına göre, tabanlar aynıysa üsler toplanır. Örnekler: 4.3x = 12x; 5x.(-3x) = – 3.5.x.x = -15.x²; x.(3x+4) = x.3x + x.4 = 3x² + 4x. Cebirsel ifadelerde çarpma işlemi hakkında daha fazla bilgi için aşağıdaki kaynakları inceleyebilirsiniz: youtube.com'da "Cebirsel ifadelerde çarpma işlemi" başlıklı video; orduodm.meb.gov.tr'de "Cebirsel İfadelerin Çarpımı" başlıklı PDF dosyası; dijitalim.com.tr'de "Basit Cebirsel İfadeler - Cebirsel İfadelerle Çarpma İşlemi" başlıklı konu anlatım videosu.

Küpün üç farklı açılımı şunlardır: 1. İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b) × (a² - ab + b²). 2. İki küp farkı: a³ - b³ = (a - b) × (a² + ab + b²). 3. Tam küp açılımı: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Bu açılımlar, çarpanlara ayırma ve binom açılımı kullanılarak elde edilir.

Cebirsel denklem çözmek için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Denklemi yazın. 2. Değişkeni yalnız bırakın. 3. Denklemin her iki tarafındaki sabitleri toplayın veya çıkarın. 4. Değişkenin katsayısını bölün veya çarpın. Örnek: -4x + 7 = 15 denklemi şu şekilde çözülür: 1. -4x'in yalnız kalması için her iki taraftan 7 çıkarılır: -4x + 7 - 7 = 15 - 7. 2. Denklemin her iki tarafındaki sabitler toplanır: -4x = 8. 3. Değişkenin katsayısı olan -4'ü ortadan kaldırmak için her iki taraf -4'e bölünür: -4x ÷ -4 = x ve 8 ÷ -4 = -2. 4. Sonuç: x = -2. Cebirsel denklem çözme konusunda daha fazla bilgi ve örnek için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: wikihow.com.tr; superprof.com.tr; youtube.com.

8. sınıf cebirinde temel kavramlar şunlardır: Sayılar. Değişkenler. Sabitler. Denklem ve eşitsizlikler. Terim. Ayrıca, cebirsel ifadelerin değerleriyle ilgili şu konular da 8. sınıf müfredatında yer alır: tek değişkenli ifadelerin değerini bulma; çok değişkenli ifadelerin değerini bulma; çok değişkenli ifadeleri değerlendirme: kesirler ve ondalık sayılar; değişkenli ifadelerin değerini bulacağımız sözel sorular.

Üslerin toplamı, üs olarak şu şekilde yazılır: Tabanları aynı olan üslü ifadelerin çarpımı. Üslü ifadenin üssü. Örnekler: 2^5 × 2^4. (2^4)^3.

Hayır, iki kare farkı ve iki kare toplamının formülleri aynı değildir. İki kare farkı formülü: a² - b² = (a - b) (a + b). İki kare toplamı formülü: a² + b² = (a + b)² - 2 a b veya (a - b)² + 2 a b. İki kare farkı formülünde, iki sayının kareleri farkı alınırken, iki kare toplamı formülünde iki sayının kareleri toplamı alınır.

İki küp farkının çarpanlara ayrılması, şu formülle yapılır: x³ - y³ = (x - y).(x² + xy + y²). Bu formülde: x, küpü alınan ifadeyi; y, küpü alınan diğer ifadeyi temsil eder. Örnek: 40c³ - 5d³ ifadesini çarpanlarına ayırmak için, 5 ortak çarpanı dışarı alınır ve sonuç şu şekilde yazılır: 5.(2c³ - d³). İki küp farkı, ayrıca şu şekilde de yazılabilir: a³ - b³ = (a - b).(a² + ab + b²).

Doğrusal denklem ve doğrusal fonksiyon aynı şey değildir. Doğrusal fonksiyon, matematikte reel sayılardan reel sayılara giden ve f(x) = ax + b şeklinde ifade edilen bir fonksiyon türüdür. Doğrusal denklem ise, f(x) = mx + b şeklinde bir denklemi ifade eder ve bu denklemde m eğim veya gradyan, b ise y-kesme noktası olarak adlandırılır. Dolayısıyla, doğrusal denklem bir fonksiyonun denklemi olabilirken, doğrusal fonksiyon daha geniş bir kavramdır ve sadece bu denklemi değil, aynı zamanda bu denklemi sağlayan fonksiyonu da ifade eder.

Doğrusal denklem ve doğrusal fonksiyon aynı şey değildir. Doğrusal fonksiyon, matematikte reel sayılardan reel sayılara giden ve f(x) = ax + b şeklinde ifade edilen bir fonksiyon türüdür. Doğrusal denklem ise, f(x) = mx + b şeklinde bir denklemi ifade eder ve bu denklemde m eğim veya gradyan, b ise y-kesme noktası olarak adlandırılır. Dolayısıyla, doğrusal denklem bir fonksiyonun denklemi olabilirken, doğrusal fonksiyon daha geniş bir kavramdır ve sadece bu denklemi değil, aynı zamanda bu denklemi sağlayan fonksiyonu da ifade eder.

Birim fonksiyonda f(x) = x olur. Birim fonksiyon, tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüsünün yine kendisi olduğu fonksiyon olup, "I" ile gösterilir.

Harezmî'nin matematiğe bazı katkıları: Cebirin kurucusu olarak kabul edilmesi: "El’Kitab’ül-Muhtasar fi Hısab’il Cebri ve’l-Mukabele" adlı eseri, birinci ve ikinci dereceden denklemlerin sistematik çözümlerini içerir ve cebir kavramının temelini oluşturur. Sıfır (0) rakamını kullanması: Harezmî, sıfır rakamını (0) kullanan ilk kişidir. Hint-Arap rakam sistemini tanıtması: "Hint Rakamlarıyla Hesaplama Üzerine" adlı kitabı, bu rakam sisteminin Orta Doğu ve Avrupa'ya yayılmasına öncülük etmiştir. Denklem çözüm yöntemleri: Denklemlerin çift veya reel köklerini net bir şekilde göstermiş ve binom çarpımları gibi konularda çalışmalar yapmıştır. Ondalık sayı sistemini geliştirmesi: Logaritma kavramını oluşturmuş ve ondalık sayı sistemini geliştirmiştir. Geometri ve trigonometri çalışmaları: Geometri ve trigonometri alanında da çalışmalar yapmış, kitaplar yazmıştır.

İki kare toplamı, a² + b² şeklinde hesaplanır. Bu toplamı bulmak için iki yöntem kullanılabilir: 1. Tam kare toplamı özdeşliği: (a + b)² = a² + b² + 2ab eşitliğinde 2ab ifadesi sol tarafa alınırsa, a² + b² = (a + b)² - 2ab elde edilir. 2. Tam kare farkı özdeşliği: (a - b)² = a² + b² - 2ab eşitliğinde her iki tarafa 2ab eklenirse, a² + b² = (a - b)² + 2ab sonucu bulunur. İki kare toplamı ile tam kare toplamının aynı olmadığı, birinin iki sayının karelerinin toplanması, diğerinin ise iki sayının toplamının karesi olduğu unutulmamalıdır.

İki küp toplamı ve farkı özdeşlikleri şunlardır: İki küp toplamı. İki küp farkı. Bu formüller, iki ifadenin toplamının veya farkının küpü şeklinde de ifade edilebilir. İki ifadenin toplamının küpü. İki ifadenin farkının küpü.

Determinant, elemanları reel sayılar olan nxn tipindeki kare matrislerin kümesinden, reel sayılar kümesine tanımlanan bir fonksiyondur. Determinantın bazı kullanım alanları: Denklem sistemlerinin çözümü. Geometri. Lineer dönüşümlerin incelenmesi. Determinantın bazı özellikleri: Birim matrisin determinantı birdir. Bir matrisin transpozunun determinantı, kendi determinantına eşittir. Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı, o sayının matrisin determinantıyla aynı olmasıdır.

Çift fonksiyon, f(x) = f(-x) eşitliğini sağlayan fonksiyondur. Çift fonksiyonların bazı özellikleri: Grafiksel simetri: Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir. Sadece çift dereceli terimler: Çift fonksiyonlarda sadece çift dereceli terimler bulunur. Örnekler: x², x⁴, cos(x), |x|. Çift fonksiyonlar, reel sayılar üzerindeki vektör uzayında yer alır ve bu uzayın bir alt uzayını oluşturur.

Polinomlarla ilgili örnek sorular için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: YouTube: "Polinomlar Soru Kampı 1" videosunda tam 30 adet polinom sorusu bulunmaktadır. Egitimsayfam.com: 10. sınıf polinomlar ders notları, testler ve cevaplar içermektedir. Hasankorkmaz-ifl.com: Polinomlarla ilgili özel sorular ve testler sunmaktadır. Acilmatematik.com.tr: Polinomlarla ilgili test soruları mevcuttur. Kunduz.com: Polinomlarla ilgili örnek sorular ve çözümler bulunmaktadır.