Cebir

Fonksiyon çeşitleri birçok farklı kritere göre sınıflandırılabilir, ancak 10. sınıf matematik müfredatında en yaygın olanlar şunlardır: 1. Doğrusal Fonksiyonlar: Genel olarak y = mx + b şeklinde ifade edilir. 2. Parabolik Fonksiyonlar: Genellikle y = ax² + bx + c şeklinde yazılır. 3. Üstel Fonksiyonlar: Genel olarak y = a^x şeklinde tanımlanır (a >0, a ≠ 1). 4. Logaritmik Fonksiyonlar: Genellikle y = log_a(x) şeklinde ifade edilir. 5. Kesirli Fonksiyonlar: Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesiyle elde edilir. Diğer fonksiyon çeşitleri ise şunlardır: - Birebir Fonksiyon: Tanım kümesindeki birbirinden farklı her elemanın, görüntüsü de birbirinden farklıdır. - Örten Fonksiyon: Değer kümesinin her ögesi için tanım kümesinde en az bir öğe vardır. - Çift ve Tek Fonksiyon: Grafikleri sırasıyla y-eksenine göre simetrik veya orijine göre simetrik olan fonksiyonlardır. - Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyondur.

8. sınıf matematik ders kitabında sayfa 116'da "Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler" konusu yer almaktadır.

Harizmi, cebirin babası olarak kabul edilen bilim insanıdır. 8. ve 9. yüzyıllarda yaşamış olan Harizmi, matematik, astronomi ve coğrafya alanlarında önemli çalışmalar yapmıştır. Harizmi'nin çalışmaları, çağdaş matematiği derinden etkilemiş ve Batı dünyasında Ortaçağ boyunca cebirin temel metni olarak kabul edilen bir kitap yazmıştır.

Cebir ve matematik aynı şeyler değildir, ancak cebir matematiğin bir dalıdır. Matematik, sayılar ve onların arasındaki ilişkileri inceleyen bir bilim dalıdır. Cebir ise matematiğin, bilinmeyen değerlerin semboller ve formüller kullanılarak bulunması veya aralarındaki bağlantının belirlenmesi ile ilgilenen bir dalıdır.

8. sınıf cebirsel ifadelerde çarpma işlemi şu adımlarla yapılır: 1. Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifade çarpılırken: Doğal sayı ile cebirsel ifadenin katsayısı çarpılıp, değişkenin önüne katsayı olarak yazılır. Örnek: 4.3x = 12x. 2. Parantez içerisinde toplama veya çıkarma işlemi şeklinde bir cebirsel ifade çarpılırken: Doğal sayı ile cebirsel ifadedeki her bir terim ayrı ayrı çarpılır (dağılma özelliği). Örnek: 4.(3x-2) = 4.3x – 4.2 = 12x – 8. 3. İki cebirsel ifade çarpılırken: Sayılar çarpılıp sonuç sayısı olarak yazılır, harfler çarpılıp sonuç harfi olarak yazılır. Örnek: 2x.3x = 2.3.x.x = 6x².

Küpün üç farklı açılımı şunlardır: 1. İki ifadenin toplamının küpü: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. 2. İki ifadenin farkının küpü: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³. 3. Küpler toplamı özdeşliği: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).

Cebirsel denklemlerin çözümü için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. İfadeyi basitleştirin: Benzer terimleri birleştirin, dağıtım özelliğini uygulayın ve üs kurallarını kullanın. 2. Değişkeni izole edin: Denklemin bir tarafındaki değişkeni yalnız bırakmak için ters işlemler yapın (orijinal işlemin tersi). 3. Denklemi manipüle edin: Değişken izole edilene kadar denklemi değiştirmeye devam edin. 4. Çözümü kontrol edin: Bulunan değeri tekrar orijinal denklemin içine koyarak çözümün doğruluğunu kontrol edin. Cebirsel denklemlerin çözümünde ayrıca denklem sistemleri çözme yöntemleri ve grafik yöntemi gibi farklı teknikler de kullanılabilir.

8. sınıfta cebirin temel kavramları şunlardır: 1. Değişkenler ve Katsayılar: Cebirsel ifadelerde değişkenler (x, y gibi) ve katsayıların (sayısal değerler) kullanımı. 2. Denklem Kurma: Gerçek hayattaki problemleri matematiksel ifadelere dönüştürme ve denklem oluşturma becerisi. 3. Denklem Çözme: Denklemleri eşitlikler üzerinden dönüştürerek bilinmeyenin değerini bulma. 4. Cebirsel İfadelerin Basitleştirilmesi: Cebirsel ifadelerin işlemlerini yaparak sonucu tek bir terim haline getirme. 5. Özdeşlikler: Cebirsel ifadelerin eşitliğini koruyan dönüşümler ve bu dönüşümlerin modellenmesi.

Üslerin toplamı üs olarak yazmak için, tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır ve bu toplam tabana üs olarak yazılır. Matematiksel ifade şu şekilde gösterilir: an . ap = an + p.

İki kare farkı ve iki kare toplamının formülleri farklıdır. İki kare farkı formülü: a² – b² = (a + b) • (a – b) şeklindedir. İki kare toplamı formülü: a² + b² = (a + b)² – 2 • a • b = (a – b)² + 2 • a • b şeklindedir.

İki küp farkının çarpanlara ayrılması için kullanılan formül: a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) şeklindedir. Bu formülü uygulamak için, ifadede a ve b yerine ilgili terimleri koymak yeterlidir.

Birim fonksiyonda f(x) = x şeklindedir.

Harezmî'nin matematiğe katkıları şunlardır: 1. 0 Rakamını Açıklaması ve Ondalık Sayı Sistemini Geliştirmesi: Harezmî, sıfır rakamını kullanarak pozisyonel sayı sisteminin temellerini atmıştır. 2. Cebir Alanında Çalışmaları: "Kitab al-Jebr wa-l-Muqabala" adlı eseriyle cebir dalını bağımsız bir disiplin olarak ele almış ve birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözüm yöntemlerini açıklamıştır. 3. Algoritma Kavramını Oluşturması: Algoritma teriminin kökeni, Harezmî'nin isminin Latince biçimi olan "Algoritmi" kelimesine dayanır. 4. Kesirler ve Aritmetik İşlemler: Kesirler ve çeşitli aritmetik işlemler için yeni yöntemler geliştirmiştir. Ayrıca, Harezmî'nin astronomi, coğrafya ve haritacılık alanlarında da önemli katkıları olduğu bilinmektedir.

İki kare toplamı formülü, iki sayının karelerinin toplamını ifade eder ve şu şekilde hesaplanır: a² + b². Bu formülün açılımı ise şu şekildedir: a² + b² = (a + b)² - 2ab.

İki küp toplamı ve farkı özdeşlikleri şu şekildedir: 1. İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). 2. İki küp farkı: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Determinant, birkaç bilinmeyenli birinci dereceden eşitlik sistemlerini çözmede kullanılan yardımcı cebirsel bir anlatımdır. Ayrıca, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyon olarak da tanımlanabilir.

Çift fonksiyon, kartezyen koordinatlarda grafiği düşey eksene göre simetrik olan fonksiyondur. Özellikleri: - Her x için f(x) değeri, -x için de aynıdır, yani f(-x) = f(x). - Çift fonksiyonların polinomlarında, tek dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.

Polinomlarla ilgili örnek sorular: 1. Kalan Bulma Sorusu: P(x) = x² – 2x + 12 polinomunun (x – 6) ile bölümünden kalan kaçtır? - Çözüm: x – 6 = 0 eşitliğinden x = 6 olarak bulunur ve P(6) hesaplanır: P(6) = 6² – 2 . 6 + 12 = 36. 2. Katsayılar Toplamı Sorusu: P(x) = 4x² – 3x – 15 polinomunun x + 5 ile bölümünden kalan kaçtır? - Çözüm: x + 5 = 0 eşitliğinden x = –5 olarak bulunur ve P(–5) hesaplanır: P(–5) = 4 . (–5)² – 3 . (–5) – 15 = 100. 3. Çok Değişkenli Polinom Sorusu: P(3x + 2) = x³ – 3x² + 3x + 4 veriliyor. P(x + 7) polinomunun katsayılar toplamını bulalım? - Çözüm: x = 1 verilirse P(8) elde edilir ve P(8) = 6 bulunur. 4. Eşitlik Sorusu: (a – 3)x³ + (b – 1)x² + cx + d polinomları eşit olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır? - Çözüm: Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır: a – 3 = 2 ⇒ a = 5, b – 1 = 3 ⇒ b = 4, c = 4, d = –7 ⇒ a + b + c + d = 5 + 4 + 4 – 7 = 6.

İki küp toplamının formülü: a³ + b³ = (a + b) . (a² – ab + b²).

TCK'nın 108. maddesi, cebir suçunu düzenler ve şu şekildedir: "Bir şeyi yapması veya yapmaması ya da kendisinin yapmasına müsaade etmesi için bir kişiye karşı cebir kullanılması halinde, kasten yaralama suçundan verilecek ceza üçte birinden yarısına kadar artırılarak hükmolunur".