Türev

Türevde ln kuralı, doğal logaritma (ln) fonksiyonunun türevinin 1/x olduğunu belirtir. Formül: f(x) = ln(x) ⇒ f'(x) = 1/x. Bu kural, özellikle karmaşık fonksiyonlar için kullanılan logaritma ile türev alma yönteminde uygulanır.

ln(x) fonksiyonunun türevi, üstel ve logaritma fonksiyonlarının türevleri arasında yer alır. Genel türev kuralları göz önüne alındığında, sadece üstel bir ifadeden oluşan bir fonksiyonun türevi, aynı ifadenin 1 eksik kuvvetine eşittir. Dolayısıyla, ln(x) fonksiyonunun türevi, genel türev kurallarının özel bir durumu olarak değerlendirilebilir.

Arctanjantın türevinin 1/(1 + x²) olmasının nedeni, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri ile ilgilidir. Kanıt 1: Zincir Kuralı ile Kanıt. y = arctan(x) kabul edilir. Her iki tarafın tanjant fonksiyonu alınır: tan(y) = tan(arctan(x)). dy/dx = 1/(1 + x²) elde edilir. y = arctan(x) yerine konularak sonuç doğrulanır: d/dx(arctan x) = 1/(1 + x²). Kanıt 2: İlk İlke ile Kanıt. f(x) = arctan(x) kabul edilir. f(x + h) = arctan(x + h) olur. Limit kullanılarak türev hesaplanır: f'(x) = limₕ→₀ [arctan(x + h) - arctan x] / h = 1/(1 + x²). Arctanjantın türevi, x'in karesinin 1'e eklenmesiyle oluşan ifadeye bölünerek 1 olarak ifade edilir, çünkü bu, ters trigonometrik fonksiyonların türevlerinin genel bir özelliğidir.

Yarım açının türevinin nasıl bulunacağına dair bilgi bulunamadı. Ancak, trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulmak için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: tr.wikipedia.org. yandex.com.tr. Ayrıca, YouTube'da "Ders 70 - Trigonometri Yarım Açı Formülleri" başlıklı bir video bulunmaktadır.

Arctan (tanjant tersi) fonksiyonunun türevi, trigonometrik fonksiyonların türevleri kuralına göre hesaplanır. Kural: d/dx arctan(x) = 1/(1 + x²). Bu, ters trigonometrik fonksiyonların türevinin alınması konularının genel bir kuralı olup, kaçıncı kural olarak sınıflandırılabileceği konusunda spesifik bir bilgi bulunmamaktadır.

Bir bölümün türevi, pay fonksiyonunun türevi ile payda fonksiyonunun türevinin, payda fonksiyonunun karesine bölünmesiyle bulunur. Formül şu şekildedir: (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]². Örnek bir soru ve çözümü şu şekilde olabilir: Soru: f(y) = 1/y fonksiyonunun türevini bulun. Çözüm: f(y) fonksiyonunu g(y) ve h(y) olmak üzere iki kısma ayırın: payda g(y), paydadaki ifade h(y). g(y) = 1, g’(y) = 0; h(y) = y, h’(y) = 1. Bu durumda: f'(y) = g'(y) / h'(y) = - 1/y². Bölümün türevini bulmak için fonksiyon konularının çok iyi öğrenilmesi ve pekiştirilmesi gereklidir.

Xlnx fonksiyonunun türevi iki farklı yöntemle bulunabilir: 1. Ürün kuralı kullanılarak: xlnx, x ve lnx fonksiyonlarının çarpımıdır. Ürün kuralı gereğince, türevi şu şekilde hesaplanır: h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x). Burada: f(x) = x; g(x) = lnx. Sonuç olarak, türev formülü: (xlnx)' = lnx + 1. 2. İlk türev ilkesi ile: x → x + h limiti alınarak ve h → 0 iken limit hesaplanarak da türev bulunabilir. Bu yöntemle de sonuç lnx + 1 olacaktır. Xlnx fonksiyonunun türevinin formülü d(xlnx)/dx = lnx + 1 veya (xlnx)' = lnx + 1 şeklindedir. Türev hesaplamaları karmaşık olabileceğinden, bir matematik öğretmenine veya ilgili bir uzmana danışılması önerilir.

Çift fonksiyonun türevi, tek fonksiyonun türevi olarak bulunur. Çünkü çift fonksiyonun türevi, çift fonksiyonun kendisi değildir; aksine, tek fonksiyonun türevi gibi davranır. Formül: - f(x) çift fonksiyon ise, f'(x) tek fonksiyon olur. Örnek: - f(x) = x^2 çift fonksiyon ise, f'(x) = 2x tek fonksiyon olur. Bu kural, çift fonksiyonun türevi ile ilgili genel bir kuraldır ve tüm çift fonksiyonlar için geçerlidir.

Arcsin fonksiyonunun türevi şu şekilde bulunur: Zincir kuralı kullanılarak, arcsin fonksiyonunun türevi şu şekilde ifade edilir: `dy/dx = 1 / √(1 - x²)`. Bu formülde, `x` sinüs değeri, `y` ise açı ölçüsü olarak kabul edilir. Arcsin fonksiyonunun türevini bulmak için daha detaylı bilgilere aşağıdaki kaynaklardan ulaşılabilir: derspresso.com.tr; rapidtables.org; ahmetcelen.com.tr.

L'Hôpital (L'Hospital) kuralı, matematikte türev ve limitin birlikte kullanımını içerir ve özellikle 0/0 veya ∞/∞ belirsizliklerinin giderilmesinde kullanılır. Kullanım şekli: 1. Belirsizliği tespit etme: İfade, 0/0 veya ∞/∞ belirsizliği içermelidir. 2. Türev alma: Payın ve paydanın ayrı ayrı türevi alınır. 3. Limit hesaplama: Elde edilen yeni fonksiyonun limiti hesaplanır. Örnek: limₓ→0 ⁡(sin(⁡x)/⁡x) limitinde, L'Hôpital kuralı uygulandığında: Belirsizlik: 0/0 belirsizliği vardır. Türev alma: (sin(⁡x))' / (x)' işlemi yapılır. Limit hesaplama: Elde edilen limit değeri, orijinal ifadenin limitine eşittir. L'Hôpital kuralı, diğer yöntemlerle belirsizliğin giderilemediği durumlarda da kullanılabilir.

Türev çıkmış soruların nasıl çözüldüğüne dair bilgi bulmak için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: YouTube. TikTok. Alonot.com. Ayrıca, "korkmazadem.com" sitesinde türev alma kuralları hakkında bilgiler içeren bir doküman mevcuttur.

Türevde ekstremum noktalarını bulmak için iki ana yöntem kullanılır: birinci türev testi ve ikinci türev testi: 1. Birinci Türev Testi: - Durağan noktalar: Fonksiyonun birinci türevinin sıfıra eşit olduğu noktalar durağan noktalardır. - İşaret değişimi: Durağan noktada birinci türevin işareti negatiften pozitife dönüyorsa, bu nokta bir yerel minimum noktasıdır; pozitiften negatife dönüyorsa, bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır. 2. İkinci Türev Testi: - İkinci türevin değeri: Durağan noktada ikinci türev (f''(a)) pozitifse, bu nokta bir yerel minimum noktasıdır; negatifse, bu nokta bir yerel maksimum noktasıdır. - İkinci türevin tanımsız olması: İkinci türevin tanımsız olduğu veya sıfır olduğu durumlar belirsizdir; bu noktalarda yerel minimum veya maksimum olabilir veya olmayabilir. Bir fonksiyonun ekstremum noktalarını bulmak için bu yöntemler kullanılabilir, ancak her türev noktası ekstremum nokta olarak kabul edilmez.

Ekstremum nokta, bir fonksiyonun yerel minimum ve yerel maksimum noktalarının tamamını ifade eder. Yerel minimum noktası, bir noktadaki fonksiyon değerinin, bu noktanın hemen solunda ve sağında bulunan tanım kümesi içindeki noktaların fonksiyon değerinden küçük ya da onlara eşit olduğu noktadır. Yerel maksimum noktası ise bir noktadaki fonksiyon değerinin, bu noktanın hemen solunda ve sağında bulunan tanım kümesi içindeki noktaların fonksiyon değerinden büyük ya da onlara eşit olduğu noktadır. Bir fonksiyonun herhangi bir sayıda yerel ekstremum noktası olabilir. Ekstremum noktaların konu anlatımına şu sitelerden ulaşılabilir: kunduz.com; cnnturk.com; derspresso.com.tr; hasanongan.com.

Türevin temel teoremi ile ilgili çıkmış sorular PDF formatında aşağıdaki sitelerde bulunabilir: online.fliphtml5.com. ogrencigundemi.com. alonot.com. Ayrıca, YouTube'da "TÜREV ÇIKMIŞ SORULAR ÇÖZÜMLERİ AYT SON 10 YIL" başlıklı bir video mevcuttur.

Bileşke fonksiyonun türevi, aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur: f(x) = (goh)(x) ise, türevi f'(x) = g'(h(x)).h'(x) olur. f(x) = (sogoh)(x) ise, türevi f'(x) = s'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x) olur. Bu formüller, zincir kuralına dayanır ve iç içe geçmiş fonksiyonların türevlerinin sırayla alınmasını gerektirir. Örnek bir soru çözümü için aşağıdaki siteler ziyaret edilebilir: prfakademi.com; kunduz.com; mmsrn.com.

Logaritma fonksiyonunun türevi şu şekilde bulunur: Doğal logaritma (ln x): f'(x) = 1/x, x > 0. Herhangi bir tabandaki logaritma (logₐx, a > 0, a ≠ 1): f'(x) = 1/x ln(a). Örnek: f(x) = ln(3x³ - 2x) fonksiyonunun türevi: f'(x) = 1/(3x³ - 2x) (9x² - 2). Logaritmik fonksiyonların türevini alırken şu adımlar izlenebilir: 1. Fonksiyonun doğal logaritması alınır. 2. Her iki tarafın türevi alınır. 3. Fonksiyonun türevi izole edilir. Daha karmaşık fonksiyonlar için zincir kuralı da dikkate alınmalıdır. Logaritma fonksiyonlarının türevi hakkında daha fazla bilgi için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: derspresso.com.tr; Khan Academy; acikders.ankara.edu.tr.

Bazı temel türev alma kuralları: Sabit fonksiyonun türevi: f(x) = c ise, f'(x) = 0 olur. Kuvvet fonksiyonunun türevi: f(x) = x^n ise, f'(x) = nx^{n-1} olur. Toplamın türevi: (f + g)' = f' + g' olur. Farkın türevi: (f - g)' = f' - g' olur. Çarpımın türevi: (f.g)' = f'g + f.g' olur. Bölümün türevi: (f/g)' = (f'g - f.g')/g^2 olur. Ayrıca, bileşik fonksiyonun türevi ve ters fonksiyonun türevi gibi daha karmaşık kurallar da bulunmaktadır. Türev alma kuralları hakkında daha detaylı bilgi için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: superprof.com.tr; derspresso.com.tr; acikders.ankara.edu.tr.

İntegrali anlamak için türev bilmek şart değildir, ancak türev ve integral birbirinin tersi işlemler olduğu için, birini anlamak diğerini daha iyi kavramayı sağlayabilir. Türev, bir şeyin ne kadar hızlı değiştiğini ölçerken, integral belirli bir aralıktaki toplam değişimi veya biriken değişim miktarını ifade eder. İntegral çalışmak için, ilkel fonksiyon, integral alma teknikleri, kesin integral ve uygulamalar (alan, hacim hesaplama) gibi konular hakkında bilgi sahibi olmak gereklidir.

LYS türev soruları, ÖSYM'nin geçmiş yıllarda sorduğu sınav sorularından çıkmaktadır. Ayrıca, türev çıkmış sorularını ve çözümlerini aşağıdaki kaynaklardan da temin edebilirsiniz: dataistdersizle.wordpress.com. hepsiburada.com. matematikfenci.wordpress.com.

Ters trigonometrik fonksiyonların türevini bulmak için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: Khan Academy sitesinde ters trigonometrik fonksiyonların türevinin alınmasıyla ilgili bir makale bulunmaktadır. Ahmet Çelen'in "Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi" başlıklı konu anlatımı, ters trigonometrik fonksiyonların türevini hesaplama yöntemlerini içermektedir. Ayrıca, YouTube'da "Türev -4 (Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi)" başlıklı bir video mevcuttur. Ters trigonometrik fonksiyonların türeviyle ilgili daha fazla bilgi ve örnek problemler için bu kaynaklar incelenebilir.