Üçgen

Öklid bağıntısı, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid'in adını taşıyan ve geometride kullanılan bir bağıntıdır. Bu bağıntı, bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik uzunluğunun karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı iki kenarın çarpımına eşit olduğunu ifade eder.

Pisagor 3 4 5 kuralı, kenar uzunlukları 3 ve 4 ile orantılı olan bir dik üçgenin dik açısının karşısındaki kenarın (hipotenüsün) 5 ile orantılı olduğunu ifade eder. Yani, bu kurala göre 3-4-5 üçgeninde: - bir kenar uzunluğu 3 birim ise, diğer kenar 4 birim ve hipotenüs 5 birimdir.

Dış açıortay kuralı, bir üçgende iki dış açıortay ile kullanılmayan açının iç açıortayının bir noktada kesişmesi gerektiğini ifade eder. Bu kesişim noktası, üçgenin iç açıortayın karşısına denk gelen kenara ve diğer iki kenarın uzantısına teğet olan dış teğet çemberin merkezi olarak kabul edilir.

Kenar orta dikme ve kenarortay aynı şeyler değildir. Kenarortay, bir üçgende bir tepeden karşı kenarın ortasına indirilen doğru parçasıdır. Kenar orta dikme ise, bir üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasına karşı köşe noktası ile birleştirilen doğru parçasına denir.

Diklik merkezi, geometride bir üçgende üç yüksekliğin kesiştiği nokta olarak tanımlanır.

Analitik geometride diklik merkezi, dik üçgende dik kenarların kesişim noktası olarak bulunur.

Dış açının açıortayı çizmek için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Üçgen çizilir ve A, B, C noktaları belirlenir. 2. A açısı uzatılır ve A açısının dışındaki bir D noktası seçilir. 3. D noktası üzerinden A açısını iki eşit parçaya bölen bir doğru çizilir. Ayrıca, açıölçer veya pergel kullanarak da dış açıortay çizilebilir.

İki kenarı bilinen bir üçgenin üçüncü kenarını bulmak için kosinüs teoremi kullanılabilir. Bu teoreme göre, üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c olarak ifade edilirse, üçüncü kenar c'nin uzunluğu şu formülle hesaplanır: c² = a² + b² - 2abcos(C).

Üçgende alan hesaplarken cos teoremi, iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş olan bir üçgende kullanılır. Cos teoremine göre üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından bu kenarlar arasındaki açının kosinüsü çarpımının iki katı eksiğine eşittir. Formül şu şekildedir: - a² = b² + c² - 2 b c cos A. Burada: - a, bilinmeyen kenar uzunluğu; - b ve c, diğer iki kenarın uzunlukları; - cos A, bu kenarlar arasındaki açının kosinüsüdür.

Dış ve iç açıortaylar, üçgende herhangi iki köşeye ait olduğunda, bu açıortaylar bir noktada kesişir. Bu kesişme noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Üçgen alan soruları şu şekilde çözülür: 1. Temel Formül: Üçgenin alanı, bir kenarı (b) ile o kenara ait yüksekliği (h) çarpıp ikiye bölünerek hesaplanır: Alan = b × h / 2. 2. Dik Üçgen: Dik üçgende, dik kenarlardan biri yükseklik olarak alınır ve diğer dik kenar taban kabul edilir. 3. Özel Üçgenler: - Eşkenar Üçgen: Bir kenar uzunluğu (a) bilinen eşkenar üçgenin alanı, Alan = a² × √3 / 4 formülüyle hesaplanır. - Çeşitkenar Üçgen: Üç kenar uzunluğu da farklı olan çeşitkenar üçgenin alanını bulmak için, herhangi bir kenarı ve ona ait yüksekliği bilmek yeterlidir. 4. Trigonometri Kullanımı: İki komşu kenar uzunluğu ve aralarındaki iç açı bilindiğinde, Alan = b × c × sin(A) / 2 formülü kullanılır.

Dış açıortay teoremi, herhangi bir üçgende iki dış açıortay ile diğer açının iç açıortayının bir noktada kesişmesi gerektiğini belirtir. Bu teoreme göre, söz konusu üçgenin bir kenar uzunluğu ile bu kenar tarafındaki köşeyle açıortayın kenarının kesiştiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, öteki kenarın uzunluğu ile aynı şekilde hesaplanan orana eşittir.

Dış Açıortay Teoremi şu şekilde bulunur: Bir üçgenin dış açıortayı, karşı kenarı iki parçaya ayırır ve bu parçaların uzunlukları, diğer iki kenarın uzunluklarıyla doğru orantılıdır. Matematiksel olarak ifade edilirse: BD / DC = AB / AC. Burada: - BD ve DC, dış açıortayın karşı kenarı ayırdığı iki parçadır; - AB ve AC, üçgenin iki kenarıdır.

Üçgenin yükseklik ve taban alanı aşağıdaki formüllerle hesaplanır: 1. Taban Alanı: Üçgenin tabanı (b) ve yüksekliği (h) bilindiğinde, alan Alan = 1/2 × b × h formülü ile hesaplanır. 2. Yükseklik: Taban ve alan verildiğinde, yükseklik h = 2 × Alan / b formülü ile bulunur.

Üçgenler mimaride çeşitli nedenlerle kullanılır: 1. Yapısal Dayanıklılık: Üçgen formlar, yük taşıma kapasitesini artıran sağlam yapılar oluşturur. 2. Estetik ve Denge: Üçgenler, kompozisyonlarda denge ve simetri sağlar, bu da estetik açıdan çekici tasarımlar elde etmeyi mümkün kılar. 3. Hesaplama Kolaylığı: Üçgenlerin trigonometrik özellikleri, statik ve dinamik analizlerde güvenilir bir hesaplama aracı sunar.

Üçgende alan formülünün neden 1/2 olduğu, yükseklik ve tabanın çarpımının yarısını alma prensibinden kaynaklanır. Bu formül şu şekilde açıklanır: bir üçgenin alanı, yüksekliğin indirildiği kenar ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Diklik merkezi ve ağırlık merkezi aynı kavramlar değildir. Diklik merkezi, bir üçgenin yüksekliklerinin kesiştiği noktadır ve genellikle "H" harfi ile gösterilir. Ağırlık merkezi ise, bir üçgenin ortancalarının (kenarortayların) kesiştiği noktadır ve "G" harfi ile gösterilir.

75-15-90 üçgeninde yükseklik, hipotenüsün uzunluğunun 1/4'ü kadardır.

Sinüslü alan formülünde yükseklik, dik üçgen durumunda diğer dik kenar uzunluğu olarak kabul edilir. Genel sinüslü alan formülü şu şekildedir: A = 1/2 a b sin(C), burada: - A: Üçgenin alanı; - a ve b: Üçgenin iki kenar uzunluğu; - C: Bu iki kenar arasındaki açı. Eğer üçgen dik değilse, yüksekliğin bulunması için üçgenin dışına bir dikme çizmek veya trigonometrik hesaplamalar yapmak gerekebilir.

15/75/90 kuralı, 15 - 75 - 90 üçgeninde kullanılır.