DoğruDenklemleri

Analitik düzlemde bir doğrunun denklemi, üzerindeki iki noktanın koordinatları veya bir nokta ile eğimi bilinerek bulunabilir. Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi: Eğimi m olan ve A(x1, y1) noktasından geçen doğrunun denklemi; y - y1 = m × (x - x1) şeklindedir. İki noktası bilinen doğrunun denklemi: A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun denklemi; y - y2 / x - x2 = y2 - y1 / x2 - x1 şeklindedir. Ayrıca, eksenleri kestiği noktalar bilinen doğrunun denklemi de kullanılabilir. Bir doğrunun denklemini bulmak için gerekli formüller, derspresso.com.tr ve acikders.ankara.edu.tr gibi sitelerde de mevcuttur.

Eğimi m olan ve A(x1, y1) noktasından geçen doğrunun denklemi y - y1 = m(x - x1) şeklindedir. Örnek: A(3, -5) noktasından geçen ve eğimi m = -2 olan doğrunun denklemi y - (-5) = -2(x - 3) olarak hesaplanır.

Y = x doğrusu, koordinat düzleminde x ve y koordinatlarının birbirine eşit olduğu tüm noktaları temsil eder. Bu doğru, 45 derecelik açıyla giden ve orijinden (0,0) başlayıp sonsuza kadar devam eden bir çizgi olarak görülür.

İki noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi, aşağıdaki formülle bulunabilir: Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi: `y - y1 = m(x - x1)`. Burada: `y1` ve `x1`, doğrunun bilinen noktasının koordinatları; `m`, doğrunun eğimi. Örnek: A(3, -5) noktasından geçen ve eğimi m = -2 olan doğrunun denklemi: `y - (-5) = -2(x - 3)`. Sonuç: `y + 5 = -2x + 6`. Standart form: `Ax + By + C = 0`. Eğim-kesme noktası formu: `y = mx + b`. Nokta-eğim formu: `y - y1 = m(x - x1)`. İki noktası bilinen doğru denklemi: `y - y2 / x - x2 = y2 - y1 / x2 - x1`. Eksenleri kestiği noktalar bilinen doğru denklemi: `x/x1 + y/y2 = 1`.

Evet, doğru denklemi ax + by = 0, orijinden geçer. Çünkü bu denklemde x veya y yerine 0 yazıldığında orijin noktası (0, 0) elde edilir.

Evet, 2x = 3y doğrusu orijinden geçer. Orijinden geçen doğruların denklemlerinde sabit terim sıfırdır ve y = ax şeklindeki doğrusal denklemlerin grafikleri orijinden geçer.

Teğet ve normal doğru bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Teğet Doğru: Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki teğet doğrusunu bulmak için, o noktadaki fonksiyonun türevini hesaplamak gerekir. Teğet doğrusunun denklemi, y = f(a) + f'(a) (x - a) şeklinde ifade edilir. 2. Normal Doğru: Teğet doğrusuna dik olan doğru, normal doğru olarak adlandırılır. Normalin eğimini bulmak için, teğet doğrusunun eğiminin tersi alınır. Örnek: Teğet Doğru: f(x) = x³ - ax² + bx - 4 fonksiyonunun apsisi x = -1 olan noktasındaki teğetinin denklemi y = 3x + 5 olduğuna göre, a × b kaçtır? Normal Doğru: y = f(a) + f'(a) (x - a) denklemi kullanılarak, (a, f(a)) noktası hem ana fonksiyon, hem teğet doğru hem de normal doğrunun üzerinde olduğu için üç denklem de sağlanmış olur. Teğet ve normal doğru bulma ile ilgili daha fazla bilgi için derspresso.com.tr ve matbaz.com gibi kaynaklar incelenebilir.

X/2 doğrusunu düzlemde çizmek için aşağıdaki adımlar izlenebilir: 1. Doğrunun y eksenini kestiği noktayı bulma: Doğrunun denkleminde x yerine 0 yazılır. 2. Doğrunun x eksenini kestiği noktayı bulma: Doğrunun denkleminde y yerine 0 yazılır. 3. Bulunan noktaları birleştirme: İki nokta analitik düzlemde gösterilir ve bu iki nokta düz bir çizgi ile birleştirilir. Örnek: x/2 doğrusunu çizmek için: x yerine 0 yazıldığında, doğrunun y eksenini kestiği nokta (0, 2) olur. y yerine 0 yazıldığında, doğrunun x eksenini kestiği nokta (2, 0) olur. Bu iki nokta (0, 2) ve (2, 0) düz bir çizgi ile birleştirilerek x/2 doğrusu çizilir. Ayrıca, GeoGebra gibi grafik hesap makineleri de doğru çizimlerinde yardımcı olabilir.

Evet, orijinden geçen doğrular arasında teğet doğrular da bulunur. Orijinden geçen doğruların denklemi y = mx şeklindedir.

0x ve 0y eksenleri ile 45 derece açı yapan doğrunun denklemi y - x = 3 şeklindedir. Bu doğrunun eğimi, tan45° = 1 olarak verilir.

X = a doğrusu, x eksenine paralel bir doğru anlamına gelir. Bu doğrunun üzerindeki noktaların ordinat değeri tüm doğru boyunca sabittir ve bu değer c bir reel sayı olmak üzere y = c şeklinde ifade edilir.

Analitik düzende A3 - 4 noktasını 2x - 3y + 5 = 0 doğrusu üzerindeki en yakın noktada A'ya dönüştürmek için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Doğrunun eğimini bulma: 2x - 3y + 5 = 0 doğrusunun eğimi, y'yi yalnız bırakarak hesaplanır. - m = -2/3. 2. Dik doğrunun eğimini bulma: Dik doğruların eğimleri çarpımı -1 olduğundan, dik doğrunun eğimi m'nin tersi olan 3/2'dir. 3. A noktasından geçen doğrunun denklemini yazma: A(3,-4) noktasından geçen ve eğimi 3/2 olan doğrunun denklemi, nokta-eğim formülü kullanılarak bulunur. - y - (-4) = 3/2 (x - 3). 4. Denklemleri ortak çözme: Bu denklemi, 2x - 3y + 5 = 0 doğrusunun denkleminde yerine koyarak kesişim noktasını bulmak gerekir. Sonuç olarak, A noktasının 2x - 3y + 5 = 0 doğrusuna göre simetriği olan A' noktasının koordinatları (1,-1) olur.

X + 3Y = 6 doğrusu ile eksenler arasında kalan bölgenin alanı 12 birim karedir. Bu sonuca şu şekilde ulaşılır: x = 0 için y = 0 için 3y - 6 = 0 ⇒ x - 6 = 0 ⇒ x = 6. y = 0 için x + 3y = 6 ⇒ x + 3(0) = 6 ⇒ x = 6. Ortaya bir üçgen çıkar. Alan = (1/2) x 6 x 6 = 6 x 6 / 2 = 12 / 2 = 6.

İki doğru arasındaki uzaklık, aşağıdaki formülle bulunabilir: d = √(x2 - x1)² + (y2 - y1)². Bu formülde: d, doğrunun uzunluğuna; (x1, y1), doğru parçasının ilk uç noktasının koordinatlarına; (x2, y2), doğru parçasının ikinci uç noktasının koordinatlarına eşittir. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı ise şu formülle hesaplanabilir: d = ∣ax1 + by1 + c∣ / √(a² + b²). Bu formülde: (x1, y1), noktanın koordinatlarını; a, b, c ise doğrunun denklemindeki katsayıları temsil eder. Ayrıca, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmak için, noktadan geçen ve doğruya dik olan doğrunun denklemini bulmak veya analitik düzlemde nokta ve doğruyu çizerek çözmek gibi farklı yöntemler de kullanılabilir.

Ekseni kesen grafik, koordinat sisteminde x veya y eksenini kesen doğru veya fonksiyon grafiklerini ifade eder. x eksenini kesen grafikler: Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar, f(x) = 0 denkleminin çözümleriyle bulunur. x eksenine paralel doğruların grafikleri de x eksenini keser. y eksenini kesen grafikler: Bir fonksiyonun y eksenini kestiği nokta, fonksiyonda x yerine 0 yazıldığında bulunur. Sadece y değişkeni içeren doğru denklemleri, y eksenine paralel olup y eksenini keser.

Eksenleri kesen doğruların denklemleri: x eksenini kesen doğru: Denklemde y=0 kabul edilerek x değeri bulunur. y eksenini kesen doğru: Denklemde x=0 kabul edilerek y değeri bulunur. Eksenlere paralel doğruların denklemleri: x eksenine paralel doğru: y=a şeklinde denklem yazılır, burada a, doğrunun y eksenine dik olarak geçtiği noktanın y koordinatıdır. y eksenine paralel doğru: x=a şeklinde denklem yazılır, burada a, doğrunun x eksenine dik olarak geçtiği noktanın x koordinatıdır.

Eğimi sıfır ve 1 olan doğruların grafikleri şu şekilde çizilir: 1. Eğimi Sıfır Olan Doğru: Eğimi sıfır olan doğru, yatay bir doğru olarak çizilir. Bu doğrunun denklemi genellikle "y = a" şeklindedir, burada "a" sabit bir değerdir. 2. Eğimi 1 Olan Doğru: Eğimi 1 olan doğru, 45° açıyla yukarı doğru eğimli bir çizgi olarak çizilir. Bu doğrunun denklemi genellikle "y = x" şeklindedir. Çizim için aşağıdaki çevrimiçi araçlar da kullanılabilir: matematikdelisi.com sitesinde "Eğimi ve Bir Noktası Verilen Doğruyu Çizme Aracı" bulunmaktadır. Khan Academy platformunda "Doğru Grafikleri ve Eğim" ünitesi mevcuttur.

X=y doğrusu, koordinat sisteminde yatay bir doğru anlamına gelir. Ayrıca, y=x doğrusu, dik koordinat sisteminde apsisleri ordinatlarına eşit olan noktaların oluşturduğu doğru olarak tanımlanır.

Sonsuz eğime sahip bir doğrunun denklemi yoktur, çünkü böyle bir doğru matematiksel olarak tanımlanamaz. Eğim, bir doğrunun ne kadar dik olduğunu ve yönünü gösteren bir parametredir ve her zaman bir gerçek sayıdır, sonsuzluk bu sayı aralığında yer almaz. Eğimi tanımsız olan doğrular, y-eksenine paralel (x-eksenine dik) olan doğrulardır.

İki doğru kesişirse denklemleri aynı olmaz, çünkü kesişen doğruların denklemlerinin ortak çözüm kümesi bir nokta içerir. Ancak, iki doğru aynı denklemi tanımlıyorsa (çakışık doğrular), bu doğruların her yerde kesiştiği söylenebilir.