Üçgen

Üçgenlerde a + b > c olmasının nedeni, Üçgen Eşitsizliği kuralıdır. Formülsel ifade: |a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b). Bu kurala göre, a ve b kenarları c kenarından büyük olduğunda, a + b toplamı c kenarından da büyük olacaktır.

İç açıortay ve iç teğetin kesişim noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Ayrıca, bir üçgende iç açıortayların kesim noktası, kenara olan uzaklıkların eşit olduğu bir nokta olup, merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapını oluşturur.

Stewart teoremi, geometri dersinin üçgen konusunda kullanılır. Bu teorem, üçgenin köşelerinden birinden karşı kenara doğru bir çizgi çizildiğinde kullanılır. Stewart teoremi, iç açıortay hesaplaması yapılırken da faydalanılan bir teoremdir. Ayrıca, herhangi bir açı ve özel durum gerektirmeyen Stewart teoremi, her koşulda geçerli olmaktadır. Stewart teoremi, müfredattan kaldırılmış olsa da, geometri sınavlarında uzunluğa dair sorularda kullanılabilir.

Açıortay teoremi, bir üçgenin kenarının, karşı açıyı ikiye bölen bir çizgiyle bölündüğü iki parçanın göreli uzunluklarının, üçgenin diğer iki kenarının göreli uzunluklarına eşit olduğunu belirtir. Açıortay teoreminin ispatı için aşağıdaki adımlar izlenebilir: 1. △ABD ve △ACD üçgenlerinde sinüs teoremi kullanılır. 2. ∠BDA ve ∠BAD açıları eşit olduğundan, denklemlerin sağ tarafları birbirine eşit olur. 3. Sol taraflar da eşit olacağından, |BD| / |DC| = |AB| / |AC| ifadesi elde edilir. Açıortay teoremi, açıortayları ve yan uzunlukları bilindiğinde hesaplamalarda veya ispatlarda kullanılabilir. Açıortay teoremi ile ilgili daha fazla bilgi ve ispatlar için aşağıdaki kaynaklar incelenebilir: tr.wikipedia.org; derspresso.com.tr; kolaykampus.com.

Sinüs ve kosinüs değerleri, bir dik üçgende kenarların oranlarından hesaplanır: Sinüs (sin), açının karşı kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. Kosinüs (cos), açının komşu kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. Birim çember üzerinde de bu değerler şu şekilde bulunabilir: Sinüs (sinθ), P noktasının y eksenindeki değerine eşittir. Kosinüs (cosθ), P noktasının x eksenindeki değerine eşittir. Ayrıca, sinüs ve kosinüs değerlerinin karelerinin toplamı 1'e eşittir (sin²θ + cos²θ = 1).

Açıortay kuralları şunlardır: Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir. Bir üçgenin iç açıortayları her zaman tek bir noktada ve üçgenin içinde kesişir. İki açıortayın kesiştiği nokta biliniyorsa, üçüncü açıortay da bu noktadan geçmek zorundadır. Bir üçgenin en uzun açıortayı, üçgenin en kısa kenarına aittir. İç açıortay teoremi gereği, üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, diğer kenarın uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranına eşittir. İç açıortay uzunluğu teoremi gereği, üçgende A köşesinden çizilen açıortay uzunluğuna nA dersek; |AN|² = |AB| × |AC| − |BN| × |NC| olur. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı 90°'dir. Bir üçgende iki dış açıortay ve kullanılmayan diğer açının iç açıortayı bir noktada kesişir. Bu nokta, iç açıortayın karşısında kalan kenara ve diğer iki kenarın uzantısına teğet olan dış teğet çemberin merkezidir.

İç açıortay kuralı, bir üçgenin iç açıortayının karşı kenar üzerinde ayırdığı parçaların uzunlukları oranının, diğer iki kenarın uzunlukları oranına eşit olması şeklinde ifade edilir. Ayrıca, bir üçgenin iç açıortayları her zaman tek bir noktada ve üçgenin içinde kesişir.

Eşkenar üçgenin alanı, bir kenar uzunluğunun karesinin kök üç ile çarpılıp dörde bölünmesi yoluyla bulunur. Örnek: Bir kenarının uzunluğu 10 cm olan eşkenar üçgenin alanını hesaplayalım. 1. Formül: (√3 / 4) x a². 2. Hesaplama: (√3 / 4) x 10² = (√3 / 4) x 100 = 25√3 cm². Alternatif olarak, daha kolay bir yöntemle de alan hesaplanabilir: Herhangi bir kenarın uzunluğunu kullanarak bir daire çizilir. Eşkenar üçgenin üç tepe noktası daire üzerinde belirlenir. Oluşan daire, üç eşkenar üçgenin toplam alanına eşdeğer olduğundan, eşkenar üçgenin alanı, dairenin alanının üçte birine eşittir. Not: Eşkenar üçgenin iç açıları 60 derece, dış açıları ise 120 derecedir.

Pisagor teoremi, çeşitli yöntemlerle ispatlanabilir. İşte bazı ispat yöntemleri: Öklid'in ispatı: Bu ispat, "Elementler" adlı eserde yer alır ve karelerin alanlarını kullanarak yapılır. Bhaskara'nın ispatı: Hintli matematikçi Bhaskara tarafından yapılan bu ispat, benzer üçgenlerin kenar oranlarına dayanır. Geometrik ispat: İki büyük karenin içindeki beyaz boşlukların eşit alana sahip olduğunu göstererek yapılır. Benzerlik ispatı: Benzer üçgenlerin kenar oranlarını kullanarak yapılır. Pisagor teoremi, tarih boyunca birçok matematikçi tarafından farklı şekillerde ispatlanmıştır ve toplamda 300'den fazla ispat bulunmaktadır.

Eşkenar üçgenin çevre formülü Çevre = 3a şeklindedir. Burada "a" üçgenin bir kenar uzunluğunu ifade eder.

Diklik merkezinin bazı özellikleri: Konumu: Üçgenin türüne göre farklı yerlerde bulunur: Dar açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin iç kısmında yer alır. Geniş açılı üçgenlerde diklik merkezi üçgenin dışında bulunur. Dik üçgenlerde diklik merkezi, 90°'lik açının köşesinde yer alır. İşlevi: Üçgenin yükseklikleri (köşelerden karşı kenara veya uzantısına çizilen dikmeler) her zaman diklik merkezinde kesişir. Diğer merkezlerle çakışma: Eşkenar üçgende diklik merkezi, aynı zamanda ağırlık merkezi, çevrel çember merkezi ve iç teğet çember merkezidir; bu özel noktalar çakışır. Kullanım alanları: Matematik ve fizikte, bir cismin dengede durmasıyla ilgili hesaplamalarda, mimari tasarımlarda ve fiziksel kuvvetlerin dengelenmesi gereken durumlarda kullanılır.

Üçgende orta dikme bulmak için aşağıdaki bilgiler kullanılabilir: Orta dikme, bir üçgenin kenarlarının orta noktalarından çizilen dikmelere denir. Bir üçgenin (ya da çokgenin) tüm köşelerinden geçen çembere çevrel çember denir ve bir üçgenin orta dikmeleri her zaman tek bir noktada kesişir. Orta dikmelerin kesişim noktası, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir. Bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktanın üçgenin köşelerine olan uzaklıkları eşittir ve bu uzaklık, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Orta dikme ile ilgili daha fazla bilgi ve örnek sorular için derspresso.com.tr ve bikifi.com gibi siteler ziyaret edilebilir.

Hayır, kenar orta dikme ve orta taban aynı şey değildir. Kenar orta dikme, bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğrudur. Orta taban, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.

Muhteşem Üçlü kuralı, bir dik üçgende, dik açıdan hipotenüse çizilen kenarortayın hipotenüsü iki eşit parçaya ayırması ve bu parçaların uzunluklarının birbirine eşit olması ilkesine dayanır. Muhteşem Üçlü kuralının bulunmasıyla ilgili bazı bilgiler: Çember ilişkisi: Dik üçgenin çevresel çemberi üzerinden yapılan ispatta, yarıçapların eşitliği muhteşem üçlüyü ortaya çıkarır. Açı ve kenarlar: Bir üçgende iki eşit kenar, ikizkenar üçgen anlamına gelir ve aynı uzunluktaki kenarların karşısına aynı açılar gelir. İspat bilgisi: Kuralın ispatını bilmek, muhteşem üçlü olduğunda soruyu daha doğru çözmeyi sağlar. Muhteşem Üçlü kuralıyla ilgili daha fazla bilgi ve örnekler için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: YouTube: "Muhteşem Üçlü Kuralı Konu Anlatımı ve Soru Çözümleri". mmsrn.com: "Geometri Muhteşem Üçlü Konu Anlatımı ve Örnekler". kunduz.com: "Üçgende Kenarortay ve Muhteşem Üçlü Kuralı". webders.net: "Muhteşem Üçlü Teoremi". matematiktutkusu.com: "Muhteşem Üçlü Kuralı Özelliği".

Kenarortay teoremi, bir üçgende kenarortayların oluşturduğu oranları ve formülleri ifade eder. Kenarortay teoreminin bazı sonuçları: Bir üçgende kenarortay uzunluğu, üçgenin kenar uzunlukları cinsinden şu formülle ifade edilebilir: > 2 V_a^2 = b^2 + c^2 - a^2/2. Bir üçgende ağırlık merkezi, kenarortayı 2:1 oranında böler. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir. Dik üçgende dik kenarlara ait kenarortayların karelerinin toplamı, hipotenüse ait kenarortayın karesinin beş katına eşittir.

Dış ve iç açıortaylar ters orantılı değildir, aralarında doğru orantılı bir ilişki vardır. Bu ilişki, benzerlik teoremleri kullanılarak açıklanır: Bir üçgenin köşe noktasından üçgenin kenarına çizilen paralel, benzer üçgenler oluşturur ve bu üçgenlerde karşılıklı eş açıların karşılarındaki kenarların oranları sabittir.

Orta taban ve orta dikmenin kesiştiği nokta hakkında bilgi bulunamadı. Ancak, bir üçgenin kenar orta dikmelerinin kesiştiği nokta, çevrel çemberin merkezidir. Orta taban; bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Orta dikme ise bir doğru parçasının orta noktasından geçen ve doğru parçasına dik olan doğrudur.

Kenarortay, üçgenin bir köşesini karşısındaki kenarın orta noktası ile birleştiren doğru parçasıdır. Kenarortayların kesişim noktası, üçgenin ağırlık merkezi olarak adlandırılır ve bu nokta, kenarortayı 2'ye 1 oranında böler. Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir.

Üçgende kenarortay bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: Kenarortay Teoremi: Bir üçgende kenarortay uzunluğu, üçgenin kenar uzunlukları cinsinden şu formülle ifade edilebilir: > 2 V_a^2 = b^2 + c^2 - a^2/2 Katlama Yöntemi: Üçgenin bir kenarını katlayıp açarak, o kenara ait kenarortayı çizilebilir. Ayrıca, bir üçgenin kenarortayları her zaman tek bir noktada ve üçgenin içinde kesişir.

Tanjant (tan) değeri, bir üçgenin karşı kenarının komşu kenarına bölünmesiyle bulunur. Ayrıca, açının sinüs değerinin kosinüs değerine bölünmesiyle de tanjant değeri elde edilebilir. Bazı tanjant değerleri: Tan 30: √3/3. Tan 45: 1. Tan 60: √3. Tan 90: Tanımsız (undefined).