Üçgen

Hipotenüs, bir dik üçgende dik kenarların karşısındaki en uzun kenardır ve Pisagor Teoremi kullanılarak bulunur. Hipotenüs hesaplama adımları: 1. Dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarını belirleyin (a ve b). 2. Her iki kenarın uzunluklarının karelerini alın (a² ve b²). 3. Elde edilen iki kareyi toplayın (a² + b²). 4. Toplamın karekökünü alın, bu size hipotenüsün uzunluğunu verecektir (c = √(a² + b²)). Örneğin, kenar uzunlukları a = 3 cm ve b = 4 cm olan bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu şu şekilde hesaplanır: 1. a² = 3² = 9 2. b² = 4² = 16 3. a² + b² = 9 + 16 = 25 4. c = √25 = 5 cm.

İç açıortay ve iç teğetin kesişim noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Stewart kuralı, geometride, bir üçgenin herhangi bir kenarını kesen doğru parçası ile kesilen kenar ve diğer kenarlar arasındaki bağıntıyı hesaplamak için kullanılır.

Açıortay teoremi, bir üçgenin iç açısı üzerine çizilen açıortayın, bu açıya karşılık gelen kenarı iki eşit parçaya böldüğünü ifade eder. Bu teoremi bulmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir: 1. Benzer üçgenlerin oluşturulması: Üçgenin köşe noktasından üçgenin kenarına bir paralel çizilerek benzer üçgenler oluşturulur. 2. Oranların belirlenmesi: Benzer üçgenlerin kenarları arasındaki oranlar sabit olduğundan, iç açıortay teoremi ve dış açıortay teoremi elde edilir. 3. Thales teoreminden yararlanma: Dış açıortay teoremi, Thales teoreminden yararlanarak da ispatlanabilir.

Sinüs alan formülü, bir üçgenin alanını hesaplamak için kullanılan matematiksel bir formüldür. Formül şu şekilde ifade edilir: A = (1/2) a b sin(C). Burada: - A: Üçgenin alanı. - a ve b: Üçgenin iki kenarının uzunlukları. - C: Bu iki kenar arasındaki açıdır.

Tanjant (tan) ve kotanjant (cot) değerleri, trigonometrik fonksiyonlardır ve bir açının karşısındaki ve komşu dik kenar uzunluklarının oranlarıyla hesaplanır. - Tanjant (tan): Bir dik üçgende bir dar açının tanjantı, karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranıdır. - Kotanjant (cot): Bir dik üçgende bir dar açının kotanjantı, komşu dik kenar uzunluğunun karşı dik kenar uzunluğuna oranıdır. Ayrıca, birim çember üzerinde de bu fonksiyonlar tanımlanabilir: - Tanjant: Birim çemberde, bir açının tanjant değeri, açının kollarının tanjant eksenini (x=1 doğrusunu) kestiği noktanın ordinatına eşittir. - Kotanjant: Birim çemberde, açının kollarının kotanjant eksenini (y=1 doğrusunu) kestiği noktanın apsisine eşittir.

Thales Teoremi, geometride bir çemberin üzerinde yer alan bir doğrunun, çemberi iki noktada kesmesi durumunda, kesilen bu doğrunun çemberin merkezini de içeren çapın orta noktasından geçmesi ilkesini ifade eder. Bu teorem, aynı zamanda bir üçgenin tabanı ve iki açısı verildiğinde, üçgenin çizilebileceğini de belirtir.

Açıortay kuralları şunlardır: 1. Tanım: Açıortay, bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen yapıdır. 2. Özellik: Açıortay tarafından bölünen açı ve onu oluşturan kenarlar birbirlerine eşittir. 3. Kesişim Noktası: Bir üçgenin iç açıortayları, üçgenin iç teğet çemberinin merkezinde kesişir. 4. Teoremler: - Açıortay Teoremi: Üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, diğer kenarın uzunluğu ve aynı noktalara göre hesaplanan orana eşittir. - Açıortay Uzunluğu Teoremi: Bir üçgenin açıortayının uzunluğu, karşı kenarı ve bu kenarı oluşturan iki parçanın uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

Öklid bağıntısı, İskenderiyeli Yunan matematikçi Öklid'in geometri alanında ortaya attığı bir bağıntıdır. Bu bağıntı, bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik uzunluğunun karesinin, hipotenüs üzerinde ayırdığı iki kenarın çarpımına eşit olduğunu ifade eder.

İç açıortay kuralı, bir üçgenin herhangi bir iç açısını iki eş parçaya ayırarak köşeyi karşı kenara birleştiren doğru parçasının özelliğidir. Bu kurala göre: - Açıortay üzerindeki bir noktadan açıortayın kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. - Aynı şekilde, dikmelerin açıortayın bacaklarıyla kesiştiği noktalardan açıortayın köşesine kadar olan uzunluklar da eşittir.

30° - 60° - 90° dik üçgen kuralı şu şekildedir: 1. 30°'nin karşısındaki kenar, hipotenüsün yarısına eşittir. 2. 60°'nin karşısındaki kenar, 30°'nin karşısındaki kenarın √3 katıdır.

Eşkenar üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu "a" olmak üzere, A = (√3 / 4) \ a² formülü ile bulunur. Örnek hesaplama: Kenar uzunluğu 6 cm olan bir eşkenar üçgenin alanını bulalım: 1. İlk olarak (6)² = 36 bulunur. 2. Daha sonra bu değer √3 / 4 ile çarpılır: A = (√3 / 4) \ 36 = 9√3 cm². Yaklaşık olarak: A ≈ 9 \ 1.732 ≈ 15.588 cm².

Üçgen alanı, tabanın uzunluğu (b) ve yüksekliğin (h) çarpımının yarısına eşittir. Hesaplama adımları: 1. Üçgenin taban uzunluğunu ve yüksekliğini belirleyin. 2. Hesaplayıcıda "Taban Uzunluğu" ve "Yükseklik" alanlarına değerleri girin. 3. "Hesapla" düğmesine tıklayın. 4. Sonuç ekranında üçgenin alanı ve hesaplama detayları görüntülenecektir.

Pisagor teoreminin ispatlanmasında farklı yöntemler kullanılmıştır ve günümüzde bilinen 400'den fazla ispat bulunmaktadır. İşte bazı yaygın ispat yöntemleri: 1. Öklid'in İspatı: Dik üçgendeki karelerin alanlarını kullanarak teoremi açıklar. - Bir ABC üçgeni çizilir ve A açısı dik olacak şekilde ayarlanır. - Üçgenin etrafına, bir kenarı bu üçgenin kenar uzunluğu olacak şekilde kareler çizilir. - Başlangıç noktası A köşesi olacak şekilde, D ve E kenarına doğru bir dik çekilir. - Öklid ispatına göre, çizilen dikin iki tarafındaki alanların birbirine eşit olduğu bulunur. 2. Bhaskara İspatı: Üçgen benzerlik kurallarını kullanarak ispat yapar. - Bir dik üçgen çizilir ve hipotenüse bir dik indirilir. - A açısı, her iki üçgende de ortak açı olduğu için, ABC üçgeni ile CBE üçgeni benzerdir. - E ve C açıları da iki üçgenin dik açıları olarak kabul edilir. 3. James A. Garfield'ın İspatı: Trapez alanları kullanılarak yapılmıştır.

Eşkenar üçgenin çevresi formülü: Ç = 3 × a. Burada "a", eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğunu temsil eder.

Diklik merkezinin özellikleri şunlardır: 1. Kesişim Noktası: Bir üçgenin yükseklikleri tek bir noktada kesişir, bu noktaya diklik merkezi denir. 2. Konumu: Üçgenin türüne göre değişir: - Dar açılı üçgende iç bölgededir. - Dik üçgende dik açının tam karşısındadır. - Geniş açılı üçgende üçgenin dışındadır. 3. Geometrik Anlam: Üçgenin simetrisi ve dengesi hakkında bilgi verir. 4. Diğer Merkezlerle İlişkisi: Ağırlık merkezi ve çevrel çemberin merkezi ile ilişkilidir.

Üçgende orta dikme, bir kenarın orta noktasından karşı köşeye dik olarak inen doğru parçasıdır. Orta dikmeyi bulmak için aşağıdaki adımları izlemek gerekir: 1. Üçgenin köşelerini A, B ve C olarak adlandırın. 2. A ve B noktaları arasındaki kenarın orta noktasını belirleyin ve bu noktaya M deyin. 3. M noktasından C noktasına doğru bir dikme çizin. Ayrıca, bir üçgenin tüm kenar orta dikmelerinin kesiştiği noktanın, o üçgenin çevrel çemberinin merkezi olduğunu unutmamak gerekir.

Eşkenar üçgende alan formülü: A = (a² √3) / 4 şeklindedir. Burada "a", eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğudur.

Kenar orta dikme ve orta taban farklı kavramlardır. Kenar orta dikme, bir üçgenin kenarının orta noktasından geçen ve kenara dik olan doğru parçasıdır. Orta taban ise, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasıdır.

Üçgenin alanı, taban uzunluğu (b) ve yükseklik (h) kullanılarak formülle hesaplanır: Alan = 1/2 × b × h. Hesaplama adımları: 1. Taban uzunluğunu belirleyin. 2. Yüksekliği ölçün, bu taban ile karşı köşeden tabana indirilen dik mesafedir. 3. Hesaplayıcıda "Taban Uzunluğu" ve "Yükseklik" alanlarına değerleri girin. 4. "Hesapla" düğmesine tıklayın, sonuç ekranda üçgenin alanı ve hesaplama detaylarıyla birlikte görüntülenecektir.