Açıortay

İç teğet çemberin merkezi, üçgenin içine çizilebilen teğet çemberin merkezidir ve üçgenin köşelerinden çıkan açıortayların kesişim noktasında yer alır.

Dış açıortayda geçerli olan bazı kurallar şunlardır: 1. Kesişim Noktası: Bir üçgende iki dış açıortay ve kullanılmayan diğer açının iç açıortayı tek bir noktada kesişir. 2. Dik Uzunluklar: Dış açıortayın kollarına inen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. 3. Çevrel Çember: Dış açıortaylar, üçgenin çevrel çemberinin merkezini oluşturur. 4. Oran Bağıntısı: Bir üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, diğer kenarın uzunluğu ve aynı noktaya göre oluşan orana eşittir.

İç açıortay ve iç teğetin kesişim noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Stewart kuralı, geometride, bir üçgenin herhangi bir kenarını kesen doğru parçası ile kesilen kenar ve diğer kenarlar arasındaki bağıntıyı hesaplamak için kullanılır.

Açıortay kuralları şunlardır: 1. Tanım: Açıortay, bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen yapıdır. 2. Özellik: Açıortay tarafından bölünen açı ve onu oluşturan kenarlar birbirlerine eşittir. 3. Kesişim Noktası: Bir üçgenin iç açıortayları, üçgenin iç teğet çemberinin merkezinde kesişir. 4. Teoremler: - Açıortay Teoremi: Üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, diğer kenarın uzunluğu ve aynı noktalara göre hesaplanan orana eşittir. - Açıortay Uzunluğu Teoremi: Bir üçgenin açıortayının uzunluğu, karşı kenarı ve bu kenarı oluşturan iki parçanın uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

İç açıortay kuralı, bir üçgenin herhangi bir iç açısını iki eş parçaya ayırarak köşeyi karşı kenara birleştiren doğru parçasının özelliğidir. Bu kurala göre: - Açıortay üzerindeki bir noktadan açıortayın kollarına çizilen dikmelerin uzunlukları birbirine eşittir. - Aynı şekilde, dikmelerin açıortayın bacaklarıyla kesiştiği noktalardan açıortayın köşesine kadar olan uzunluklar da eşittir.

Dış ve iç açıortaylar ters orantılı değildir, aralarında doğrudan bir orantı ilişkisi vardır. Bu ilişki, benzerlik teoremleri kullanılarak açıklanır: bir üçgenin köşe noktasından üçgenin kenarına çizilen paralel, benzer üçgenler oluşturur ve bu üçgenlerde karşılıklı eş açıların karşılarındaki kenarların oranları sabittir.

Dış açıortay kuralı, bir üçgende iki dış açıortay ile kullanılmayan açının iç açıortayının bir noktada kesişmesi gerektiğini ifade eder. Bu kesişim noktası, üçgenin iç açıortayın karşısına denk gelen kenara ve diğer iki kenarın uzantısına teğet olan dış teğet çemberin merkezi olarak kabul edilir.

Dış açının açıortayı çizmek için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Üçgen çizilir ve A, B, C noktaları belirlenir. 2. A açısı uzatılır ve A açısının dışındaki bir D noktası seçilir. 3. D noktası üzerinden A açısını iki eşit parçaya bölen bir doğru çizilir. Ayrıca, açıölçer veya pergel kullanarak da dış açıortay çizilebilir.

Dış ve iç açıortaylar, üçgende herhangi iki köşeye ait olduğunda, bu açıortaylar bir noktada kesişir. Bu kesişme noktası, üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

Dış açıortay teoremi, herhangi bir üçgende iki dış açıortay ile diğer açının iç açıortayının bir noktada kesişmesi gerektiğini belirtir. Bu teoreme göre, söz konusu üçgenin bir kenar uzunluğu ile bu kenar tarafındaki köşeyle açıortayın kenarının kesiştiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, öteki kenarın uzunluğu ile aynı şekilde hesaplanan orana eşittir.

Dış Açıortay Teoremi şu şekilde bulunur: Bir üçgenin dış açıortayı, karşı kenarı iki parçaya ayırır ve bu parçaların uzunlukları, diğer iki kenarın uzunluklarıyla doğru orantılıdır. Matematiksel olarak ifade edilirse: BD / DC = AB / AC. Burada: - BD ve DC, dış açıortayın karşı kenarı ayırdığı iki parçadır; - AB ve AC, üçgenin iki kenarıdır.

Açıortay karesi kuralı olarak bilinen bir kural yoktur. Ancak, üçgende açıortaylarla ilgili iki önemli bağıntı vardır: 1. Açıortay Teoremi: Bir üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, diğer kenarın uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranına eşittir. 2. Açıortay Uzunluğu Teoremi: Bir ABC üçgeninde, A açısına ait iç açıortayın BC'yi kestiği nokta D olmak üzere, |AD|² = |AB| × |AC| − |CD| × |DB|.

Evet, kenarortay açıortayı keser. Üçgenin bir köşesinden karşı kenarı iki eş parçaya ayıracak şekilde çizilen kenarortay, aynı zamanda o köşeye ait açıyı da iki eş parçaya ayıran açıortayı keser.

Dış açıortay ve iç açıortay bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: 1. Dış Açıortay: Bir üçgende iki dış açıortay ile diğer açının iç açıortayı bir noktada kesişir. 2. İç Açıortay: Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir ve bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir.

İç ve dış açıortaylar geometrik şekillerde açıları iki eşit parçaya bölen ışınlardır. İç açıortay bulmak için: 1. Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş açıya bölen ışını çizmek gerekir. 2. İç açıortayın geçtiği noktadan kenarlara indirilen dik uzunluklar eşittir. Dış açıortay bulmak için: 1. Üçgenin iki dış açıortay ile kullanılmayan açının iç açıortayı bir noktada kesişir. 2. Bu kesişme noktası, iç açıortayın karşısında kalan kenara ve diğer iki kenarın uzantısına teğet olan dış teğet çemberin merkezi olarak kabul edilir.

Açıortay, kollara dik iner çünkü açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.

Dış açıortaylar, bir üçgenin iki köşesine ait dış açıortayların kesiştiği noktada kesişir, çünkü bu nokta dış teğet çemberinin merkezi olarak adlandırılır.

Üçgende açıortay kuralı, bir üçgenin bir açısını iki eşit açı şeklinde bölen açıortayın, karşı kenarı kestiği nokta ile o köşe arasındaki oranın, diğer kenarın uzunluğu ve onun karşısındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki orana eşit olmasıdır. Bu kuralın formülü şu şekildedir: |AC| / |CD| = |AB| / |BD|.

İki dış açıortayın ve bir iç açıortayın kesiştiği noktanın dış teğet çemberin merkezi olduğunu iki şekilde ispatlamak mümkündür: 1. Çember Yardımı ile İspat: Bir ABC üçgeninde, A açısına ait iç açıortayın BC'yi kestiği nokta D ve A açısının dış açıortayının BC'yi kestiği nokta E olsun. 2. Benzerlik Teorisi ile İspat: Üçgenin dış açıortayları, açıortayların üzerinden açının kollarına indirilen dikmeler sayesinde birbirine eşit olur.