Olasılık

Ünlü bir matematikçinin doğum günü paradoksunu nasıl çözdüğüne dair bilgi bulunamadı. Ancak, doğum günü paradoksu şu şekilde çözülebilir: Olası çiftlerin hesaplanması. Olasılık hesaplaması. Olasılıkların çarpımı. Olasılığın bulunması. 23 kişilik bir grupta, iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı yaklaşık %50'dir.

Olasılık sorularının nasıl ayırt edilebileceğine dair bilgi bulunamadı. Ancak, olasılık sorularında kullanılan bazı kavramlar şunlardır: Olay: Belli bir özelliğe sahip çıktıların belirttiği durum. Çıktı: Gözlemlenebilen bir işlemde elde edilebilen her bir durum. Eş olasılıklı olay: Bir olaydaki her bir çıktının olasılığının eşit olduğu olay. İmkansız olay: Bir olayın gerçekleşmesinin mümkün olmadığı olay. Kesin olay: Bir olayın gerçekleşmesinin kesin olduğu olay. Olasılık soruları ile ilgili daha fazla bilgi için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: kunduz.com; derspresso.com.tr; tr.khanacademy.org.

Negatif binom dağılımı, olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir ayrık olasılık dağılım tipidir. Bu dağılım, iki parametre ile tam olarak tanımlanır: p. r. Negatif binom dağılımı, bir Bernoulli süreci için her denemede başarı olasılığı p olan ve r tane başarı elde etmek için gerekli başarısızlık sayısının olasılığını açıklar. Geometrik dağılım, negatif binom dağılımının özel bir halidir; yani Geometrik(p) = NegBin(1, p).

Evet, LGS'de olasılık soruları bulunmaktadır. 2025 yılı LGS soru dağılımına göre, matematik dersinde "olasılık" konusundan 1 soru sorulacaktır. Ayrıca, geçmiş yıllarda da LGS'de olasılık soruları çıkmıştır.

İki olay bağımsız ise, bu olaylardan birinin gerçekleşme olasılığı, diğer olayın gerçekleşip gerçekleşmediğine bağlı değildir. Bağımsız olayların bazı özellikleri: Olasılık hesaplaması: Eğer A ve B bağımsız ise, P(A ve B) = P(A) × P(B) olur. Koşullu olasılık: B olayının gerçekleşmiş olduğu bilinmek üzere, A'nın koşullu olasılığı, A'nın koşulsuz olasılığına eşittir (Pr(A|B) = Pr(A)). Örnek: Standart bir kart destesinden bir karo (A) seçilip desteye geri konulduktan sonra, ikinci olarak bir maça (B) seçilmesi bağımsız olaylardır.

Evet, Monty Hall teorisi pratikte işe yarar ve kazanma şansını artırır. Bu teori, ABD televizyon programı "Let's Make a Deal" (Bir Anlaşma Yapalım) yarışmasına dayanan bir olasılık problemidir. Teorinin pratikteki işleyişi şu şekildedir: 1. Üç kapıdan birini seçin. 2. Sunucu, arkasında keçi olan bir kapıyı açar. 3. İlk seçiminizi değiştirmeniz teklif edilir. 4. Seçimi değiştirmek, arabanın diğer kapının arkasında olma olasılığı %50 değil, %66 olduğu için kazanma şansını iki katına çıkarır. Bu teori, birçok kez simülasyon ve gerçek deneylerle doğrulanmıştır.

Aynı ortamda bulunan kişilerin aynı gün doğma ihtimali, gruptaki kişi sayısına bağlı olarak değişir: 23 kişilik bir grupta, en az iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı yaklaşık %50'dir. 50 kişilik bir grupta, bu olasılık %97'ye çıkar. 75 kişilik bir grupta, olasılık neredeyse %100'dür. Bu durum, "Doğum Günü Paradoksu" olarak bilinir. Bireysel olarak bir kişinin aynı gün doğma olasılığı ise yaklaşık %0,27'dir.

Arthur C. Clarke'a göre, her iki olasılık da eşit derecede ürkütücüdür. Bu söz, dünya dışı yaşamın var olma veya yok olma ihtimallerinin her ikisinin de benzer bir korku yaratabileceğini ifade eder.

8. sınıf matematik ders kitabı sayfa 127'de genellikle olasılık konuları yer alır. Örneğin, MEB yayınlarına ait 8. sınıf matematik ders kitabında sayfa 127'de, üç basamaklı, rakamları farklı doğal sayıların tek sayı olma olasılığı ve bir sınıftaki öğrencilerin derslerden proje ödevi alma olasılıklarının hesaplanması gibi konular işlenebilir. Ayrıca, Ada Matbaacılık Yayıncılık'a ait 8. sınıf matematik ders kitabında da sayfa 127'de benzer konular bulunabilir. Daha fazla bilgi için aşağıdaki kaynaklara başvurulabilir: YouTube: 8. sınıf MEB matematik ders kitabı sayfa 124, 127, 128, 129. ingilizceciyiz.com: 8. sınıf Ada Matbaacılık Yayıncılık matematik ders kitabı sayfa 127 cevapları. evvelcevap.com: 8. sınıf MEB Yayınları matematik ders kitabı sayfa 127 cevapları.

Galton kutusu, ünlü İngiliz istatistikçisi Francis Galton (1822-1911) tarafından icat edilen ve olasılık ile istatistik derslerinde kullanılan bir cihazdır. Galton kutusunun özellikleri: Yapı: Dik bir tahtadan oluşur; üstünde küçük bilyelerin veya fasulyelerin dökülmesini sağlayan bir huni, tahtaya yatay olarak yerleştirilmiş çiviler ve bilyelerin toplandığı dikey kutucuklar bulunur. Çalışma prensibi: Bilyeler huniden kutunun içine dökülür. Kullanım amacı: Galton kutusu, hatalar kuralı, normal dağılım, binom dağılımı ve merkezi limit teoremi gibi istatistiksel kavramları pratik bir şekilde göstermek için kullanılır.

Milli Piyango İdaresi'ne göre, Süper Loto'da 6 tutturma ihtimali 25 milyon 827 bin 165'te 1'dir. Bu hesaplama, tüm oyun ihtimallerinin milyonlarca insan tarafından oynandığı varsayımına dayanır.

Milli Piyango'da büyük ikramiyeyi kazanma ihtimali, bilet numaralarının her biri için 10 milyonda 1'dir. Bu hesaplama, yılbaşı çekilişlerinde kullanılan 7 rakamlı biletlere dayanmaktadır. Diğer çekilişlerde, 6 rakamlı biletler kullanıldığında büyük ikramiyeyi kazanma ihtimali 1 milyonda 1 seviyesindedir. Bu hesaplamalar, tüm bilet numaralarının eşit şansa sahip olduğu varsayımına dayanır. Milli Piyango gibi oyunlar, düzenleyicilere kâr sağlayacak şekilde tasarlandığından, beklenen değer genellikle negatiftir.

"Olasılıksız" kitabı, epilepsi hastası ve olasılık teorisi uzmanı David Caine'in hikayesini anlatır. Caine, geçirdiği bir nöbetin ardından deneysel bir tedaviye katılır ve zamanla geleceği öngörebilme yetisi kazandığını fark eder. Kitap, aynı zamanda kuantum fiziği, Laplace Şeytanı ve Einstein'ın görecelik kuramı gibi bilimsel teorilere de yer verir. "Olasılıksız" romanı, 2025 yılında Disney Plus'ta yayınlanması beklenen bir dizi uyarlaması da yapılmaktadır.

"Herhalde" ve "galiba" kelimeleri, cümleye olasılık katmak için kullanılır. Herhalde: Büyük ihtimalle anlamına gelir ve bitişik yazılmalıdır. Galiba: Belki, galiba anlamında kullanılır ve ayrı yazılmalıdır.

Olasılık konusu, öğrenciler tarafından zor olarak algılanan matematik konularından biridir. Bu durumun bazı nedenleri şunlardır: Soyutluk. Kavram yanılgıları. Yetersiz önbilgi ve muhakeme. Ancak, bu algı kişiden kişiye değişebilir ve bazı insanlar için olasılık konusu basit gelebilir.

Standart normal dağılım örnekleri şunlardır: Boy uzunluğu: İnsanlar üzerinde yapılan araştırmalarda boy uzunluğunun simetrik bir dağılım sergilediği gözlemlenmiştir. Zeka seviyesi: Birçok insanın zeka seviyesinin 85 ile 115 IQ arasında değiştiği durum. Sınav notları: Üniversite öğrencilerinin sınav notlarının hesaplanması sonrası sıklıkla kullanılan AA, BA, ... DD, FF şeklindeki puanlamalar. Standart normal dağılım, ortalaması 0 ve standart sapması 1 olan normal bir dağılımdır.

Normal dağılım, zar atılma olasılığında doğrudan kullanılmaz çünkü zar atılma olasılığı, her sonucun eşit olasılığa sahip olduğu bir durumdur ve bu, normal dağılımın aksine tek tip bir dağılımdır. Normal dağılım, genellikle sürekli değişkenlerin olasılık dağılımını tanımlamak için kullanılır ve çan eğrisi olarak da bilinir. Zar atılma olasılığıyla ilgili daha fazla bilgi için, her bir sonucun %16,666 olasılıkla gerçekleştiği ve 6 olası sonucun olduğu (1, 2, 3, 4, 5, 6) bir zar atma deneyi örnek verilebilir.

Olasılığa verilebilecek bazı örnekler: Yazı tura atmak: Yazı veya turanın gelme olasılığı %50'dir. Zar atmak: Zar atıldığında 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 gelme olasılığı eşittir. Kan bağışı: Kan bağışında bulunan bir kişide kan yoluyla bulaşan bir hastalık olma olasılığı. Hava durumu: Yağmurlu bir havada arabanın lastiğinin kayarak kaza yapma olasılığı. Hastalık riski: Maske takmadan, sosyal mesafeye uymadan ve temizliğe dikkat etmeden dışarı çıkıldığında korona virüse yakalanma olasılığı. Futbol maçı: Bir futbol maçının sonucu hakkında yapılan tahminler. Genetik hastalıklar: İki ebeveynin çocuğunda genetik hastalık olma olasılığı.

Gerçekleşme olasılığı %100 olan olaylara kesin olay denir. Kesin olayların olasılık değeri 1 ile gösterilir. Bazı kesin olay örnekleri: Cüzdanında sadece 2 adet 10 TL, 3 adet 20 TL ve 1 adet 50 TL parası olan Seda'nın bu cüzdandan rastgele çektiği bir paranın 5 TL'den yüksek olma olasılığı 1'dir. Tamamı kız öğrencilerden oluşan 10 kişilik bir sınıftaki en uzun öğrencinin kız olma olasılığı 1'dir. Şu an ekim ayındaysa, gelecek ayın kasım olma olasılığı 1'dir. Bugün çarşambaysa, yarının perşembe olma olasılığı 1'dir. Bir çift zar atılması olayında üst yüze gelen sayıların toplamının 13'ten küçük olma ihtimali kesindir.

Erf (Gauss hata) fonksiyonu, matematikte ve fizikte çeşitli alanlarda kullanılır. Başlıca kullanım alanları: Olasılık ve istatistik: Bir dizi ölçümün sonuçlarının normal dağılım ile tanımlandığı durumlarda, erf(⁠a/σ √2⁠) fonksiyonu, tek bir ölçüm hatasının -a ile +a arasında kalma olasılığını hesaplar. Diferansiyel denklemler: Sınır koşulları Heaviside basamak fonksiyonuyla verildiğinde, ısı denkleminin çözümlerinde erf ve tamamlayıcı erf fonksiyonları ortaya çıkar. Yüksek veya düşük olasılık tahminleri: Erf fonksiyonu ve yaklaşık değerleri, yüksek veya düşük olasılıkla geçerli olan sonuçları tahmin etmek için kullanılabilir.