SayıTeorisi

Ölçülemeyen reel sayılar, irrasyonel sayılar olarak adlandırılır. İrrasyonel sayılar, p ve q tam sayı olduğunda, q sıfıra eşit olmadığında, p/q kesri olarak ifade edilemeyen sayılardır. Bazı irrasyonel sayı örnekleri: π (pi) sayısı; √2 (karekök 2); -√7.

726 sayısı asal değildir. Asal sayı hesaplama araçları kullanılarak, bir sayının asal olup olmadığı test edilebilir.

Bir doğal sayının bölenlerini (aynı zamanda tam sayı bölenleri veya çarpanları olarak da adlandırılır) bulmak için aşağıdaki adımlar izlenebilir: 1. Sayıyı asal çarpanlarına ayırma. 2. Asal çarpanların üslerini belirleme. 3. Üslere 1 ekleme ve çarpma. Örnek: 12 sayısının bölenlerini bulalım: 1. 12 / 2 = 6. 2. 6 / 2 = 3. 3. 3 / 3 = 1. Bu durumda 12 = 2² 3¹ şeklinde yazılır. 4. 2'nin üssü olan 2'ye 1 eklenir: 2 + 1 = 3. 5. 3'ün üssü olan 1'e 1 eklenir: 1 + 1 = 2. 6. 3 2 = 6. Sonuç olarak, 12'nin 6 tane böleni vardır: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Büyük sayılar için bu işlem zaman alabilir, bu nedenle daha etkili algoritmalar kullanmak gerekebilir.

20 sayısının 6 tane doğal sayı çarpanı vardır. Bu çarpanlar şunlardır: 1 × 20; 2 × 10; 4 × 5.

Evet, 53 asal bir sayıdır. Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1’den büyük pozitif tam sayılardır.

Tam kare sayılar, karekökü bir doğal sayı olan sıfırdan farklı tam sayılara denir. Bazı tam kare sayı örnekleri: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49.... Tam kare sayıların bazı özellikleri: En küçük tam kare sayı 0'dır. Negatif tam sayıların kareleri pozitiftir. Tüm tam kare sayılar doğal sayılar kümesine dahildir. İki tam kare sayının çarpımı yine bir tam kare sayıdır.

Hayır, √2 rasyonel bir sayı değildir. Bunun nedeni, √2’nin kesir şeklinde ifade edilememesi ve ondalıklı halinin kesirli olmamasıdır. √2’nin rasyonel olmadığının kanıtı için çelişkiye dayalı bir yöntem kullanılabilir.

Hayır, √2 rasyonel bir sayı değildir. Bunun nedeni, √2’nin kesir şeklinde ifade edilememesi ve ondalıklı halinin kesirli olmamasıdır. √2’nin rasyonel olmadığının kanıtı için çelişkiye dayalı bir yöntem kullanılabilir.

Üçgen ve kare rasyonel sayı değildir. Rasyonel sayılar, a ve b tam sayıları olmak üzere, ab şeklinde yazılabilen sayılardır. Üçgen ve kare, bu formda ifade edilemediği için rasyonel sayı olarak kabul edilmezler. Bazı rasyonel sayı örnekleri: 6/8; 25/98; 5; 0; –3.

Hayır, sonsuz sayıdan daha büyük bir sayı yoktur. Matematikte en büyük sayıyı ifade etmek için sonsuz terimi kullanılır ve bu sayı ∞ sembolüyle gösterilir.

√2 ve √8'in tam kare olmamasının nedeni, bu sayıların karelerinin başka bir doğal sayının karesi olmamasıdır. Tam kare sayılar, bir doğal sayının karesi olan sayılardır. √2 ve √8'in kareleri olan 2 ve 8 sayıları, bu listede yer almamaktadır. Bu nedenle, bu sayıların karekökleri tam kare değildir.

Evet, 11 ve 15 aralarında asaldır. İki sayının aralarında asal olması için, en büyük ortak bölenlerinin (EBOB) 1 olması gerekir.

125 sayısının bölenleri (aynı zamanda çarpanları olarak da adlandırılır) şunlardır: 1, 5, 25, 125.

Evet, √46 irrasyonel bir sayıdır. Çünkü 46, tam kare olmayan bir sayıdır ve bu nedenle √46'nın sonucu irrasyoneldir.

Reel sayılar, kendi içinde dört ana gruba ayrılır: 1. Doğal Sayılar (N). 2. Tam Sayılar (Z). 3. Rasyonel Sayılar (Q). 4. İrrasyonel Sayılar (I). Ayrıca, reel sayılar pozitif ve negatif olarak da ayrılabilir. Reel sayılar kümesi, bu farklı grupların birleşiminden oluşur ve R sembolü ile gösterilir.

1 ve 3'ün neden asal olmadığına dair bilgi bulunamadı. Ancak, bir sayının asal sayılabilmesi için yalnızca 1 ve kendisine kalansız bölünebilmesi gerektiği bilinmektedir. 1 sayısının asal olmamasının nedeni, sadece tek bir bölene (kendisi) sahip olmasıdır. 3 sayısının asal olmamasının nedeni ise, 1'in yanı sıra 3'e de kalansız bölünebilmesidir.

31 sayısı asal sayıdır, çünkü sadece 1'e ve kendisine bölünebilir. Asal sayılar, 1'den başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılardır.

Sayı teorisi, saf matematik dallarından biridir. Tam sayılar ve bunların özelliklerini ve birbirleriyle olan ilişkilerini inceleyen bir matematik dalıdır. Sayı teorisinin bazı alt dalları: Analitik sayı teorisi; Cebirsel sayı teorisi; Geometrik sayı teorisi; Hesaplamalı sayı teorisi; Transandantal sayı teorisi.

Reel sayıların sayılamaz alt kümeleri, irrasyonel sayılar ve aşkın sayılar (transcendental) olarak ikiye ayrılır. İrrasyonel sayılar: İki tam sayının birbirine oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Aşkın sayılar: Herhangi bir polinomun kökü olamayan sayılardır. Reel sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi olduğu için (R = Q ∪ Q′) sayılamazdır.

Otomorfik formlar, belirli bir simetri grubu altında belirli bir şekilde dönüşen, yerel olarak simetrik bir uzayda tanımlanan karmaşık değerli fonksiyonlardır. Otomorfik formlar, sayı teorisinin incelenmesinde çok önemli bir rol oynar ve cebirsel geometri ve harmonik analiz alanlarıyla derinden bağlantılıdır. Otomorfik formlara örnek olarak, karmaşık düzlemde tanımlı Dedekind eta fonksiyonu verilebilir. Otomorfik formlar, 1857’de Riemann tarafından karmaşık bir fonksiyon olarak incelenmiş, ancak daha önce Euler ve diğerleri tarafından özel değerleri için ele alınmıştır. Otomorfik formlar teorisi, matematikte temsil teorisi, modüler formlar, Galois temsilleri ve eliptik eğriler gibi çeşitli alanları etkileyen kapsamlı sonuçlara sahiptir.