Kalkülüs

Türevlenebilir fonksiyonlar, soldan ve sağdan türevleri var olan ve birbirine eşit olan fonksiyonlardır. Bazı türevlenebilir fonksiyon türleri: - Sabit fonksiyonlar: Türevi her zaman sıfırdır. - Kuvvet fonksiyonu: f(x) = x^n şeklinde bir fonksiyon için türevi f'(x) = n x^(n-1)'dir. - Mutlak değer fonksiyonu: f(x) = |x| fonksiyonu için, x > 0 iken türevi 1, x < 0 iken -1'dir. - Trigonometrik fonksiyonlar: sin(x)'in türevi cos(x), cos(x)'in türevi ise -sin(x)'dir. - Üstel ve logaritmik fonksiyonlar: Üstel fonksiyonun (e^x) türevi e^x, logaritmik fonksiyonun (ln x) türevi ise 1/x'dir.

1/x ifadesinin türevi −1/x² şeklindedir.

Fonksiyon eğrisinin altında kalan alana "integral" denir.

e^(2x) integralini bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. U-ikaması (substitution) yöntemi kullanılır. 2. dx'in türevi hesaplanır: du/dx = 2 ve dx = (1/2)du. 3. İntegral denklemi şu şekilde yazılır: ∫e^(2x) dx = ∫e^u (1/2)du. 4. e^u integralinin çözümü uygulanır: (1/2) ∫e^u du = (1/2) e^u + C. Sonuç olarak, e^(2x) integralinin cevabı (1/2) e^(2x) + C şeklindedir, burada C sabit entegrasyon terimidir.

İntegralde sinüs kuralı, sinüs fonksiyonunun integralini hesaplamaya yönelik temel formüllerden biridir ve şu şekildedir: ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C. Burada C, entegrasyon sabitidir ve integralin sonucuna her zaman eklenir.

Limit, türev ve integral konularının ne kadar sürede biteceği, kişinin çalışma disiplinine, ön bilgisine ve çalışma hızına bağlı olarak değişir. Bazı tahminlere göre: - Limit konusu 1-2 hafta gibi bir sürede tamamlanabilir. - Türev konusu, çalışma hızına bağlı olarak 2-3 hafta sürebilir. - İntegral konusu da türevle benzer bir sürede, yani 2-3 haftada bitirilebilir. Daha yoğun bir programla bu konular 4-6 hafta içinde de bitirilebilir.

Gradyanın yönü, bir fonksiyonun kısmi türevlerinin vektörüne göre belirlenir. Bu vektör, fonksiyonun hangi yönde arttığını gösterir ve gradyan yönünde ilerlendiğinde maksimuma, ters yönünde ilerlendiğinde ise minimuma yaklaşılır.

Gradyanın yönü, bir fonksiyonun kısmi türevlerinin vektörüne göre belirlenir. Bu vektör, fonksiyonun hangi yönde arttığını gösterir ve gradyan yönünde ilerlendiğinde maksimuma, ters yönünde ilerlendiğinde ise minimuma yaklaşılır.

Evet, integrali türevin tersi olarak düşünmek doğrudur. Kalkülüsün Temel Teoremi'ne göre, bir değişkenin önce integralini, sonra türevini almak (ya da tam tersi) değişkenin kendisini verir.

Çarpımın integrali almak için iki temel kural kullanılır: 1. Sabit Sayı Kuralı: Bir sabit sayıyı fonksiyon dışında bir faktör olarak kabul edersek, bu sabit sayıyı integral işlemine dahil edebiliriz. 2. Zincir Kuralı: Bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon bulunduğunda, zincir kuralı kullanılır. Ayrıca, kısmi integrasyon yöntemi de çarpımın integralini almak için kullanılır.

Leibniz, integral ve türev hesaplamalarını birbirinden bağımsız olarak geliştirmiştir. İntegral kalkülüsü bulma sürecinde Leibniz, 1684 yılında Leipzig Üniversitesi'nde Acta Eruditorum adlı kitabını yayımlamış ve bu kitapta integral ve diferansiyel kalkülüsü açıklamıştır. Türev kalkülüsü için ise Leibniz, "diferansiyeller" ve "integraller" adını verdiği bir sistem oluşturmuş ve dy/dx gibi semboller icat etmiştir.

Belirsiz integralin amacı, türevi veya diferansiyeli bilinen bir fonksiyonun kendisini (ilkeli) bulmaktır.

Kolay integral alınan fonksiyonlar arasında şunlar bulunur: 1. Polinom Fonksiyonları: Üs kuralı kullanılarak kolayca integrali alınabilir. 2. Üstel Fonksiyonlar: ∫e^xdx = ex + c formülü ile integrali yapılır. 3. Logaritmik Fonksiyonlar: ∫1/xdx = ln|x| + c (x>0) formülü ile integrali alınır. 4. Trigonometrik Fonksiyonlar: Değişken değiştirme ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak integrali bulunabilir. Ayrıca, rasyonel fonksiyonların integrali de kesirli fonksiyonların pay ve payda kısımlarının ayrı ayrı işlenmesiyle yapılabilir.

İntegralde toplama kuralı, iki fonksiyonun toplamının integralini alırken her bir terimin integralini ayrı ayrı hesaplamayı ifade eder. Bu kural matematiksel olarak şu şekilde gösterilir: ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx. Burada f(x) ve g(x) iki farklı fonksiyonu temsil eder.

Reel değerli fonksiyonların türevi, f(x) fonksiyonunun x değişkenine göre türevinin alınmasıyla bulunur. Bunun için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Türev Tanımı: lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h limiti hesaplanır. 2. Türev Kuralları: Türev alma kurallarına göre işlem yapılır. Örneğin: - (x^n)′ = n. x^n-1. - (c. f(x))′ = c. f′(x) (c sabitse). - (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g(x) (f ve g fonksiyonlar türevlenebilirse). 3. Özel Fonksiyonların Türevi: Trigonometrik, üstel, logaritmik gibi özel fonksiyonların türevleri, bu fonksiyonların tanımlarına göre hesaplanır.

Kalkülüs, yani böbrek ve safra kesesinde oluşan taşlar, çeşitli nedenlerden kaynaklanabilir: 1. Yetersiz sıvı alımı ve sağlıksız beslenme: Yüksek oranda hayvansal gıdalar, aşırı tuzlu yemekler ve meyve, sebze ile süt ürünlerinin yeterince tüketilmemesi böbrek taşı oluşumuna zemin hazırlar. 2. Bakteriyel enfeksiyonlar: Bakterilerin böbreklere yerleşerek çoğalması idrar değerlerini değiştirir ve kalkülüs oluşumuna yol açabilir. 3. Genetik yatkınlık: Ailede kalkülüs öyküsü olan kişilerde risk daha yüksektir. 4. Obezite: Vücut kitle indeksinin yüksek olması, kalkülüs oluşumunu tetikleyebilir. Ayrıca, diş kalkülüsü olarak bilinen tartar da tükürüğün mineralleşmesi ve plak birikmesi sonucu oluşur ve diş eti iltihabı ile periodontit gibi diş eti hastalıklarına neden olabilir.

Türev sorularını çözmek için aşağıdaki adımları izlemek gerekir: 1. Fonksiyonu incelemek ve türev alınacak ifadeyi belirlemek. 2. Uygun türev kuralını seçmek (sabit fonksiyon, üslü fonksiyon, çarpım kuralı vb.). 3. Kuralları uygulamak ve işlemi gerçekleştirmek. 4. Sonucu sadeleştirmek. Bazı önemli türev formülleri: - Sabit fonksiyonun türevi: f(x) = 5 ise f'(x) = 0. - Üslü fonksiyonun türevi: f(x) = x^n ise f'(x) = n x^(n-1). - İki fonksiyonun çarpımının türevi: [f(x) g(x)]' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x). - İki fonksiyonun bölümünün türevi: [f(x) / g(x)]' = [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]^2. Örnek soru çözümü: f(x) = 2x³ - 5x² + 3x - 1 fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm: 1. Fonksiyonun türevini almak için her terimin türevini ayrı ayrı hesaplamak gerekir: - f'(x) = 6x² - 10x + 3.

Mutlak değer fonksiyonunun integrali şu adımlarla bulunur: 1. Kritik noktaların belirlenmesi: Mutlak değer fonksiyonunun içini sıfır yapan değerler, yani kritik noktalar bulunur. 2. Fonksiyonun parçalı yazılması: Fonksiyon, kritik noktalara göre farklı aralıklarda yazılır veya bir işaret tablosu yardımıyla her aralıktaki tanımı belirlenir. 3. Her aralıkta integral alınması: Her bir aralıkta fonksiyon, mutlak değer olmadan entegre edilir. 4. Sonuçların toplanması: Eğer integral sınırları birden fazla aralığa karşılık geliyorsa, her bir aralığın integrali toplanarak toplam integral elde edilir. Örnek bir integral hesabı: - ∫₀⁵ |2x - 6| dx integralinde, 2x - 6 = 0 denkleminden x = 3 kritik noktası bulunur. - Fonksiyon, x ≤ 3 ve x > 3 aralıklarında ayrı ayrı entegre edilir: ∫₀³ (-2x + 6) dx ve ∫³⁵ (2x - 6) dx. - Sonuç olarak, ∫₀⁵ |2x - 6| dx = 9 bulunur.

Kalkülüs için önerilen bazı kitaplar şunlardır: 1. "Matematik (Kalkülüs), Cilt I" - D.G. Zill ve W.S. Wright (Çeviri Editörü: İsmail Naci Cangül), Nobel Yayınları. 2. "Kalkülüs Kavram ve Kapsam (Diferansiyel ve İntegral Hesap)" - J. Stewart (Çevirenler: Ş. Alpay, F. Arslan, D. Dönmez, T. Ergenç, E. Keyman, B. Korkmaz, M. Korkmaz, F. Kuzucuoğlu, Z. Nurlu, M. Uğuz), TÜBA Yayınları. 3. "Thomas Kalkülüs, Cilt 1" - G.B. Thomas, M.D. Weir, J.R. Hass (Çeviri Editörü: Mustafa Bayram), Pearson Education Yayıncılık. 4. "Kalkülüs Eksiksiz Bir Ders, Cilt I" - R.A. Adams, C. Essex, (Çevirenler: Mehmet Terziler, Tahsin Öner), Palme Yayıncılık. 5. "İşletme, İktisat, Yaşam Bilimleri ve Sosyal Bilimler için Genel Matematik" - M.A. Barnett, M.R. Zeigler, K.E. Byleen (Çeviri Editörü: Arif Sabuncuoğlu), Nobel Yayınları.

Ortalama değer teoremi, kısmi integral kuralıyla ilgilidir.