Kalkülüs

İkinci türev, bir fonksiyonun türevinin türevini hesaplayarak fonksiyonun eğriliğinin değişim hızını verir.

Desmos'ta aşağıdaki işlemler yapılabilir: 1. Denklemlerin ve eşitsizliklerin grafiğini çizme. 2. Tablo oluşturma. 3. Hesaplama yapma. 4. Slider kullanma. 5. İstatistiksel analiz. 6. Grafikleri paylaşma.

Thomas Kalkülüs serisi iki cilt olarak yayımlanmıştır.

Ln(x) integralini bulmak için aşağıdaki yöntem kullanılabilir: 1. Parçalı integral: ln(x) fonksiyonunun integrali, u-substitution yöntemi ile hesaplanır. Bu yöntemde: - u = ln(x); - du = 1/x dx. 2. Integrasyon by parts: ∫ udv = uv - ∫ vdu formülü kullanılır. Burada: - u = ln(x); - dv = dx. Sonuç olarak, ln(x) integralinin formülü xln(x) – x + C şeklindedir. Burada C, integral sabitidir.

Türevin sıfır olduğu noktaları bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Fonksiyonun türevini almak. 2. Türevin denklemini sıfıra eşitlemek. 3. Elde edilen denklemin köklerini bulmak. Eğer fonksiyon ikinci mertebeden türevlenebilirse, ikinci türev testi de uygulanabilir.

∫, ∬, ∭ ve ∮ sembolleri, matematikte farklı türdeki integralleri temsil eder: 1. ∫ (integral sembolü): Genel integral işlemini temsil eder ve bir eğrinin altındaki alanı veya miktar birikimini bulmak için kullanılır. 2. ∬ (çift integral sembolü): İki değişken üzerinde bir fonksiyonun entegrasyonunu temsil eder ve genellikle üç boyutlu uzaydaki bir yüzeyin altındaki hacmi gösterir. 3. ∭ (üçlü integral sembolü): Üç değişken üzerinde bir fonksiyonun entegrasyonunu temsil eder ve genellikle üç boyutlu uzaydaki bir cismin hacmini gösterir. 4. ∮ (çevrel integral sembolü): Bir vektör alanında bir eğri boyunca entegrasyonu temsil eder.

Evet, türevin sıfır olduğu yerde ekstremum olabilir. Bir fonksiyonun birinci türevi sıfır olduğunda, bu noktanın ekstremum noktası olabilmesi için türevin o noktada işaret değiştirmesi gerekir.

Epsilon sembolü (ε) matematikte çeşitli alanlarda kullanılır: 1. Limit Teorisi: Epsilon, sıfıra çok yakın sayıları ifade etmek için kullanılır ve limit hesaplamalarında yer alır. 2. Kalkülüs ve Analiz: Keyfi küçük pozitif bir sayıyı temsil etmek için yaygın olarak kullanılır. 3. Dual Sayılar: Matematikte dual sayıları ifade etmek için kullanılır (a + bε, ε2=0 ve ε≠0). 4. Diğer Alanlar: Set teorisi, sayısal analiz ve istatistik gibi alanlarda da epsilon sembolü karşımıza çıkar.

Mat 101 dersi, genellikle aşağıdaki konuları kapsar: 1. Limit: Fonksiyonların limiti ve süreklilik kavramları. 2. Türev: Türevin tanımı, genel türev alma kuralları ve türev uygulamaları. 3. İntegral: Belirli ve belirsiz integral, integral alma teknikleri. 4. Fonksiyonlar: Temel fonksiyonlar ve fonksiyon grafiği çizme. 5. Logaritmik Fonksiyonlar: Logaritmik fonksiyonların anlaşılması ve işlemler. Ayrıca, ders kapsamında problem çözme becerileri ve matematiksel analiz de önemli yer tutar.

2. dereceden türev gösterimi için Leibniz gösterimi kullanılır ve şu şekilde ifade edilir: d²y/dx².

İntegral ile alan hesabı, Kalkülüsün Temel Teoremi ile ilişkilidir.

Fx türevini bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Fonksiyonun türevi hesaplanır. 2. Kritik noktalar belirlenir. 3. Türevin işaret tablosu oluşturulur. 4. İkinci türev bulunur. Bazı türev kuralları: - Sabit fonksiyonların türevi sıfırdır. - Sabit sayı ile çarpılmış bir fonksiyonun türevi alınırken, sabit sayı türevin dışına çıkarılır. - Üslü fonksiyonların türevi: [x^n]' = n x^(n-1).

Riemann toplamı, bir fonksiyon grafiğinin altındaki alanı bulmak için kullanılan bir yöntemdir. Bu yöntem, bölgeyi farklı şekillere bölüp (dikdörtgenler veya yamuklar) her bir şeklin alanını hesaplayarak ve ardından bu küçük alanların toplamını alarak yapılır. Riemann toplamının dört farklı yöntemi vardır: 1. Sol Riemann toplamı: Dikdörtgenlerin sol uç noktalarının kullanılması ve taban uzunluğunun Δx, yüksekliklerin ise f(a + iΔx) olarak alınmasıyla hesaplanır. 2. Sağ Riemann toplamı: Taban uzunluğu Δx, yükseklikler ise f(a + iΔx) olan dikdörtgenler kullanılır. 3. Orta değer Riemann toplamı: Fonksiyonun orta noktalarını kullanarak dikdörtgenler oluşturulur. 4. Yamuklu toplama: Sol ve sağ Riemann toplamlarının ortalamasıdır.

İntegralde toplama kuralı, bir fonksiyonun toplamının integralinin, her bir terimin integralinin toplamına eşit olmasıdır. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir: ∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx.

Kalkülüsün Temel Teoremi'nin birinci kısmı — bir integralin türevini bulmak için kullanılan teoremdir ve böylece türev ile integral arasındaki bağlantıyı tanımlar.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri, temel türev kurallarına dayanarak bulunur. İşte bazı temel hiperbolik fonksiyonların türevleri: sinh(x) fonksiyonunun türevi cosh(x)'tir. cosh(x) fonksiyonunun türevi sinh(x)'tir. tanh(x) fonksiyonunun türevi sech²(x)'tir. coth(x) fonksiyonunun türevi -csch²(x)'tir. sech(x) fonksiyonunun türevi -sech(x) tanh(x)'tir. Türev hesaplamalarında ayrıca zincir kuralı, toplam kuralı ve çarpma kuralı gibi yöntemler de kullanılır.

Karesi alınan fonksiyonun türevin türevi kuralı, iki fonksiyonun bölümünün türevi kuralına benzer şekilde hesaplanır. Eğer f(x) ve g(x) iki türevlenebilir fonksiyon ise ve g(x) ≠ 0 ise, f(x)'in karesinin türevi şu şekilde yazılır: f'(x) . g(x) - g'(x) . f(x) / [g(x)]².

Türevin birkaç temel kuralı vardır: 1. Sabit Fonksiyonun Türevi: Sabit bir fonksiyonun türevi her zaman sıfırdır. 2. Kuvvet Kuralı: Üslü ifadelerin türevini almak için kullanılır ve formülü [x^n]' = n x^(n-1)'dir. 3. Çarpım Kuralı: İki fonksiyonun çarpımının türevini bulmak için kullanılır ve formülü [f(x) g(x)]' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)'dir. 4. Bölüm Kuralı: İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için kullanılır ve formülü [f(x) / g(x)]' = [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]^2'dir. Ayrıca, zincir kuralı ve L'Hopital kuralı gibi daha özel türev kuralları da bulunmaktadır.

lnx'in türevi 1/x olarak alınır. Bu sonucu elde etmek için iki farklı yöntem kullanılabilir: 1. İlk prensip (türevin tanımı) kullanılarak: f(x) = lnx fonksiyonu için türev, f'(x) = limh→0 [ln(x + h) - lnx] / h formülü ile hesaplanır. 2. Örtülü diferansiyel yöntemi kullanılarak: y = lnx fonksiyonu için türev, y' = x' / x formülü ile bulunur.

Bölümün türevi, çarpım kuralına uymaz, çünkü çarpım kuralı, iki fonksiyonun çarpımından oluşan bir fonksiyonun türevini almak için kullanılır. Bölümün türevi için ise bölüm kuralı geçerlidir ve bu kurala göre, bir fonksiyonun diğerine bölümünün türevi, paydanın karesiyle çarpılan payın türevi eksi pay çarpılan paydanın türevinin, paydanın karesine bölünmesine eşittir.