Fonksiyonlar

Trigonometrik fonksiyonların pozitif veya negatif olması, açının bulunduğu bölgeye bağlıdır. Dört bölge şu şekilde tanımlanır: 1. 0° - 90°: Tüm trigonometrik fonksiyonlar pozitiftir. 2. 90° - 180°: Sinüs ve kosekant fonksiyonları pozitif, kosinüs ve tanjant fonksiyonları negatiftir. 3. 180° - 270°: Sadece tanjant ve kotanjant fonksiyonları pozitif, sinüs ve kosinüs fonksiyonları negatiftir. 4. 270° - 360°: Kosinüs ve sekant fonksiyonları pozitif, sinüs ve tanjant fonksiyonları negatiftir.

Fonksiyonun n. türevi, bir fonksiyonun ardışık olarak n kez türevinin alınması anlamına gelir. Daha resmi bir ifadeyle, f(x) fonksiyonunun n. türevi d^n y/dx^n sembolü ile gösterilir.

Fonksiyonlarda tanım kümesini kısıtlayan bazı şartlar şunlardır: 1. Değişkenlerin Kısıtlamaları: Fonksiyonda kullanılan değişkenlerin alabileceği değerler üzerinde kısıtlamalar varsa, bunlar tanım kümesini belirler. 2. Matematiksel İşlemler: Bölme, kök alma gibi işlemler, belirli değerlerin tanım kümesine dahil edilmemesi gerektiğini gösterir. 3. Gerçek Sayı Kümesi: Genellikle tanım kümesi, gerçek sayı kümesi (R) veya doğal sayı kümesi (N) gibi belirli bir sayı kümesi ile kısıtlanabilir. 4. Payda Sıfır Olmamalı: Rasyonel fonksiyonlarda paydayı sıfıra eşitleyen değerler tanım kümesinden çıkarılır. 5. Kök İçinin Negatif Olmaması: Köklü ifadelerin içinde negatif sayı olmaması gerekir. 6. Logaritmanın Argümanı Pozitif Olmalı: Logaritmik fonksiyonlarda logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır.

Mutlak değerin parçalı gösterimi, içindeki ifadenin işaretine göre farklı değerler alması durumunda kullanılır. Bu gösterim şu adımlarla yapılır: 1. Kritik noktanın bulunması: Mutlak değer içini sıfır yapan x değeri belirlenir, bu değere mutlak değerli ifadenin kritik noktası denir. 2. Fonksiyonun parçalara ayrılması: Kritik nokta, fonksiyonu her birinin tanımı farklı olan iki parçaya ayırır. 3. Mutlak değerin işaretine göre açılması: x, kritik değerden büyük olduğunda mutlak değer içindeki ifade pozitif, küçük olduğunda ise negatif olarak dışarı çıkar. Örneğin, f(x) = |2x - 6| ifadesi parçalı fonksiyon şeklinde şu şekilde yazılır: - x ≥ 3 olduğunda: 2x - 6; - x < 3 olduğunda: 6 - 2x.

Secx (sekant) ve cosecx (kosekant) fonksiyonları, tanımsız oldukları değerler paydalarında bulunan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarına göre değişir: - Secx fonksiyonu, paydasında kosinüs olduğundan, kosinüsün 0 olduğu, 90 derece ve tek sayı katlarında tanımsız olur. - Cosecx fonksiyonu ise paydasında sinüs olduğundan, sinüsün 0 değeri olduğu, 180 derece ve çift katlarında tanımsız olur.

Ters trigonometrik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonların ters fonksiyonlarıdır ve şunlardır: 1. Arcsinüs (Arksin, Arcsin, Asin): sin−1(x) olarak gösterilir ve tanım aralığı -1 ≤ x ≤ 1'dir. 2. Arkosinüs (Arkkos, Arccos, Acos): cos−1(x) olarak gösterilir ve tanım aralığı 0 ≤ x ≤ π'dir. 3. Arktanjant (Arkatan, Arctan, Atan): tan−1(x) olarak gösterilir ve tüm reel sayılar için tanımlıdır. 4. Arksekant (Arksec, Arcsec, Asec): sec−1(x) olarak gösterilir ve x ≤ −1 veya 1 ≤ x için tanımlıdır. 5. Arkkosekant (Arkkosec, Arccsc, Acsc): cosec−1(x) olarak gösterilir ve tanım aralığı (0, π) hariç tüm reel sayılardır. 6. Arkkotanjant (Arkkot, Arccot, Acot): cot−1(x) olarak gösterilir ve 0 < x < π için tanımlıdır.

Python'da `print()` fonksiyonu, ekrana veya başka bir çıktı akışına veri yazdırmak için kullanılır. Bu fonksiyonun bazı işlevleri: - Ekrana yazdırma: Programların akışını izlemek, hata ayıklamak veya kullanıcıya bilgi vermek için kullanılır. - Değişken yazdırma: Değişkenlerin değerlerini ekrana yazdırmak için kullanılır: `sayi = 42; print("Sayının değeri:", sayi)`. - Birden fazla değeri yazdırma: Birden fazla değeri aynı anda yazdırmak mümkündür: `print("Sayının değeri:", sayi, "ve adı:", isim)`.

Bileşik fonksiyonda öncelik, çarpma ve bölme işlemleridir.

İntegralde alınan fonksiyonlar şunlardır: 1. Belirsiz İntegral: Türevi verilen bir fonksiyon olan F(x)'in ilkel fonksiyonu, ∫f(x) dx şeklinde gösterilir. 2. Trigonometrik Fonksiyonlar: sinx, cosx, tanx gibi trigonometrik fonksiyonların integralleri, değişken değiştirme ve trigonometrik özdeşlikler kullanılarak hesaplanır. 3. Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar: e^x, ln(x) gibi fonksiyonların integralleri belirli kurallara göre alınır. 4. Rasyonel Fonksiyonlar: P(x) ve Q(x) polinomlarının oranı şeklinde ifade edilebilen fonksiyonların integralleri, basit kesirlere ayırma yöntemiyle hesaplanır. 5. Kısmi İntegrasyon: İki fonksiyonun çarpımının integralini almak için kullanılan bir yöntemdir.

Birim fonksiyonda y = x doğrusu, orijinden geçer.

İçine, örten ve içine fonksiyonların tersi şu şekilde bulunur: 1. İçine Fonksiyon: İçine fonksiyonun tersi yoktur, çünkü değer kümesinde en az bir eleman açıkta kalır. 2. Örten Fonksiyon: Örten fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir görüntüsü olduğu için, tersi de bir fonksiyondur. 3. Birebir Fonksiyon: Birebir fonksiyonun tersi de birebirdir ve f : A → B fonksiyonu bire bir ise, f⁻¹ : B → A ile gösterilir.

Mutlak değer parçalı fonksiyonun tepe noktasını bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Kritik noktayı belirleme: Mutlak değer içini sıfır yapan x değerini bulun. 2. Fonksiyonu parçalara ayırma: x, kritik değerden büyük olduğunda fonksiyonun bir parçası, küçük olduğunda ise diğer parçası tanımlanır. 3. Tepe noktasının koordinatlarını hesaplama: Her bir parçanın tepe noktasının x koordinatı, -b/2a formülü ile bulunur (burada a, b ve c ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır). Örneğin, f(x) = |2x - 6| fonksiyonunun tepe noktası, 2x - 6 = 0 denkleminin çözümü olan x = 3 noktasında bulunur.

Cosec (kosekant) ve sec (sekant) fonksiyonları trigonometrik fonksiyonlar olup, tüm kadranlarda tanımlıdır.

Türevde 1 bölü x kuralı, logaritmik fonksiyonların türevi kapsamında yer alır ve formülü `(ln x)' = 1/x` şeklindedir.

Hayır, "arc" ve "arcsin" aynı şey değildir. Arc, ters trigonometrik fonksiyonların genel adıdır ve "arcsin", "arccos", "arctan" gibi ifadelerde kullanılır. Arcsin ise özellikle sinüs fonksiyonunun ters fonksiyonunu ifade eder.

Bir fonksiyonun sıfırını bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: 1. Analitik Yöntemler: Cebirsel ve matematiksel teknikler kullanılarak fonksiyonun sıfırları hesaplanır. 2. Grafiksel Yöntemler: Fonksiyonun grafiği çizilerek sıfır noktaları görsel olarak belirlenir. 3. Sayısal Yöntemler: Bilgisayar kullanarak fonksiyonun sıfırları yaklaşık olarak bulunur. Ayrıca, f(x) = ax + b şeklindeki doğrusal fonksiyonların sıfırını bulmak için, f(x) = 0 denklemini çözmek yeterlidir.

Kosekantı (cosec) 0 yapan değer, 0 derecedir.

Ortalama değer teoremi, matematiksel olarak bir eğri üzerinde alınan bir aralıkta, fonksiyonun uç noktalarını birleştiren doğruya paralel, fonksiyonun en az bir teğet doğrusunun olduğunu ifade eder. Teoremin formülü: Eğer f fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli ve (a,b) açık aralığında türevlenebilirse, (a,b) açık aralığında öyle bir c noktası vardır ki c noktasının tanjantı, (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarının sekant doğrusuna paraleldir. Gündelik örnek: Bir araçta uzun bir yolculuğa çıkıldığında, araç hızlanacak ve yavaşlayacaktır, dolayısıyla farklı hız değerlerinde olunacaktır.

Sinx ve cosx fonksiyonları, bir açının dik kenarlarının uzunlukları arasındaki oranları temsil eder ve aşağıdaki formüllerle hesaplanır: - Sinüs (sinx): Karşı kenarın hipotenüse oranıdır. - Kosinüs (cosx): Komşu kenarın hipotenüse oranıdır. Bu fonksiyonların değerleri, birim çember üzerinde de tanımlanabilir; burada sinüs y-koordinatını, kosinüs ise x-koordinatını temsil eder.

İntegralin altında kalan alan, fonksiyonun grafiği x-ekseni altında kaldığında negatif olur.