Cebir

Özdeşlik ve iki kare farkı şu şekilde ayırt edilir: 1. Özdeşlik: Değişkenlerin tüm değerleri için doğru olan eşitliklerdir. En yaygın özdeşlikler şunlardır: - (a + b)² = a² + 2ab + b²; - (a - b)² = a² - 2ab + b²; - a² - b² = (a + b)(a - b). 2. İki Kare Farkı: İki kareli terimin farkı olarak ifade edilir ve şu özdeşliğe dayanır: a² - b² = (a - b)(a + b).

5x² = 12x denklemi şu şekilde çözülür: 1. Denklemi düzenleyelim: 5x² - 12x = 0. 2. Bu, ax² + bx = 0 biçimindeki bir tam kare denklemidir. 3. Denklemi çarpanlarına ayırarak çözelim: x(5x - 12) = 0. 4. Ürün sıfır olduğunda, çarpanlardan biri sıfırdır: - x = 0. - 5x - 12 = 0 ⇒ 5x = 12 ⇒ x = 12 : 5 ⇒ x = 2,4. Sonuç olarak, x = 0 ve x = 2,4 kökleri bulunur.

2(x - 5) = 3x - 10 denkleminin çözümü x = 10'dur.

(-6x + 12) - (-7x + 9) cebirsel ifadesinin en sade hali x + 3'tür.

Fonksiyonların çarpımı, iki veya daha fazla fonksiyonun bir arada kullanılarak yeni bir fonksiyon oluşturulması işlemidir. Fonksiyonların çarpımı bulmak için: 1. Her iki fonksiyonun bağımsız değişken için değerlerini belirleyin. 2. Bu değerleri çarpın. Sonuç, yeni bir fonksiyonun çıktısı olacaktır. Örnek: f(x) = 2x ve g(x) = 3x² fonksiyonlarının çarpımı: - (f g) (x) = f(x) g(x) = (2x) (3x²) = 6x³.

Cebirsel ifadeler ve denklemler aynı şey değildir, ancak birbirleriyle ilişkilidirler. Cebirsel ifade, sayılar, değişkenler ve matematiksel işlemlerin sembollerle temsil edildiği bir ifadedir. Denklem ise, en az biri cebirsel ifade olan iki ifadenin eşitliğini gösteren matematiksel bir ifadedir.

Matematiğin Temelleri 2 dersinde genellikle aşağıdaki konular işlenir: 1. Cebirsel İfadeler: Cebirsel ifadelerin çarpanlarına ayrılması, işlemlerde kullanılması. 2. Denklem ve Eşitsizlikler: Denklem ve eşitsizliklerin çözümü, denklem sistemleri. 3. İki Değişkenli Fonksiyonlar: Sürekli ve kesikli fonksiyonların grafikleri. 4. Geometri: Düzlemsel şekiller, alan ve çevreleri, cisimler, bunların alan ve hacimleri, eşlik ve benzerlik kavramları. 5. Trigonometri: Temel trigonometrik kavramlar. 6. Doğru ve Çemberin Analitik İncelenmesi: Doğru ve çemberin geometrik analizi. Ayrıca, 2. sınıf matematik müfredatında doğal sayılar, toplama-çıkarma, çarpma-bölme, kesirler, zaman ölçüleri gibi konular da yer alır.

Tam kare özdeşliği, iki terimin toplamının karesini ifade eden özdeşliktir ve şu şekilde yazılır: (a + b)² = a² + 2ab + b². Bu özdeşlik, bir ifadenin karesini alırken kullanılan önemli bir kuraldır.

3 katsayısı, bir cebirsel ifadede bir terimdeki değişkenler atıldığında geriye kalan sabit sayıyı ifade eder.

Polinom denklemi, değişkenlerin polinomlarla ifade edildiği denklemdir. Polinom denklemini ayırt etmek için aşağıdaki özelliklere dikkat edilmelidir: 1. Sonlu sayıda terim: Polinom içeren ifadeler sonlu sayıda terim içermelidir. 2. Tam sayılı derece: Dereceler her zaman tam sayılı terim içermelidir ve değişkenlerin kuvvetleri sadece sıfır veya pozitif tam sayıları kapsar. 3. Birlikte bulunma: Polinomlarda değişken ve sabit terimler birlikte bulunmalıdır. 4. Katsayılar: Değişkenlerin katsayıları; tam, rasyonel, karmaşık veya gerçek sayılardan seçilir. Polinom denklemlerinin genel formu P(x) = an xn + ... + a1x + a0 şeklindedir.

Cebirsel ifadelerde toplama, çıkarma, çarpma ve özdeşlikler şu şekildedir: 1. Toplama ve Çıkarma: Benzer terimler toplanıp çıkarılabilir. - Örnek: (3x + 4) + (5x – 2) = 3x + 5x + 4 – 2 = 8x + 2. - Örnek: (6a – 3b + 7) – (2a + 5b – 4) = 6a – 2a – 3b – 5b + 7 + 4 = 4a – 8b + 11. 2. Çarpma: Sayı ile çarpma ve cebirsel ifadelerin çarpımı olarak ikiye ayrılır. - Sayı ile Çarpma: Tüm terimler çarpan ile çarpılır. - Örnek: 2(3x + 5) = 6x + 10. - Cebirsel İfadelerin Çarpımı: Aynı tabanlı ifadelerde üsler toplanır. - Örnek: x². x³ = x⁵. 3. Özdeşlikler: Her değerde doğru olan ifadelerdir. - Örnekler: - (a + b)² = a² + 2ab + b². - a² – b² = (a – b)(a + b).

Cebir ve cebirsel ifadeler arasındaki fark şu şekilde açıklanabilir: - Cebir, matematikte sayıların, şekillerin ve harflerin problemleri ifade etmek için kullanıldığı bir daldır. - Cebirsel ifadeler ise değişkenler ve sabitlerin işlemsel semboller kullanılarak birleştirildiği matematiksel ifadelerdir.

Cebir ve cebirsel ifadeler arasındaki fark şu şekilde açıklanabilir: - Cebir, matematikte sayıların, şekillerin ve harflerin problemleri ifade etmek için kullanıldığı bir daldır. - Cebirsel ifadeler ise değişkenler ve sabitlerin işlemsel semboller kullanılarak birleştirildiği matematiksel ifadelerdir.

Sabit bin Kurre'nin matematiğe katkıları şunlardır: 1. Diferansiyel ve integral hesapları: İlk defa bu hesapları kullanmıştır. 2. Cebiri geometriye uygulaması: Analitik geometrinin babası olarak kabul edilir. 3. Pisagor teoremi: Bu teorem üzerinde derinlemesine çalışarak genelleştirmeye çalışmıştır. 4. Üçüncü dereceden denklem çözümü: Geometrik metod denen bir yöntem geliştirmiştir. 5. Sayılar teorisi: Asal sayılar ve mükemmel sayılar üzerine önemli çalışmalar yapmıştır. 6. Matematiksel çeviriler: Yunan matematikçilerinin eserlerini Arapça'ya çevirerek İslam dünyasında matematik bilgisinin yayılmasına katkıda bulunmuştur.

Soyut matematiğin temel konuları şunlardır: 1. Küme Teorisi: Matematiksel nesnelerin ve bu nesnelerin arasındaki ilişkilerin incelenmesi. 2. İşlem ve Yapılar: Cebirsel yapılar, gruplar, halkalar ve cisimler gibi belirli işlemler altında kapalı olan kümeler. 3. Matematiksel Mantık: Matematiksel ifadelerin doğruluğunu, geçerliliğini ve anlamını inceleyen disiplin. 4. Fonksiyonlar ve İlişkiler: Bir kümeden diğer bir kümeye belirli bir kurala göre her bir öğenin eşlendiği ilişkiler. 5. Analiz ve Sınırlar: Sayıların ve fonksiyonların davranışını inceleyen alan, limit, süreklilik, türev ve integral kavramları.

3x + 6 = 60 denkleminin çözümü x = 18 şeklindedir.

Cebirsel ifadelerde karolar, cebirsel ifadeleri ve işlemleri modellemek için kullanılan cebir karoları ile hesaplanır. Hesaplama adımları: 1. Cebirsel ifadeyi dikdörtgen şeklinde oluştur: Cebir karolarını kullanarak ifadenin terimlerine göre dikdörtgen modeli yap. 2. Kenar uzunluklarını belirle: Oluşturulan dikdörtgenin kenar uzunlukları, cebirsel ifadenin çarpanlarını verir. Örneğin, 2x + 6 cebirsel ifadesi için 2 tane alanı x olan dikdörtgene ve 6 tane alanı 1 olan kareye ihtiyaç vardır.

x³ - 1 açılımı, iki küp farkı formülüne göre şu şekilde yapılır: x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1).

Eşit olmayan fonksiyonlar şunlardır: 1. İçine Fonksiyon: Tanım kümesindeki bazı elemanların değer kümesinde karşılık gelen bir değeri yoksa. 2. Tek Fonksiyon: Grafiği oy eksenine göre simetrik olmayan fonksiyonlar. 3. Çift Fonksiyon: Grafiği orijine göre simetrik olmayan fonksiyonlar. 4. Sabit Fonksiyon: Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki tek bir elemana eşleyen fonksiyonlar. 5. Birebir Olmayan Fonksiyon: Tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri aynı ise.

Polinomları sadeleştirme kuralları şunlardır: 1. Çarpanlara Ayırma: Polinom, pay ve paydası ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. 2. Ortak Çarpanların Belirlenmesi: Pay ve paydadaki ortak çarpanlar belirlenir. 3. Sadeleştirme: Ortak çarpanlar sadeleştirilir. Bu işlem, polinomun ifadesini daha basit ve anlaşılır hale getirir.