Cebir

Cebir ve cebirsel ifade arasındaki fark şu şekildedir: - Cebir, matematiğin bir dalıdır ve sayıların ve değişkenlerin cebirsel ifadelerle temsil edilmesini sağlar. - Cebirsel ifade ise, içinde en az bir bilinmeyen bulunan ve işlem içeren ifadedir.

El-Harezmi'nin en büyük başarılarından biri, sıfır rakamını açıklaması ve ondalık sayı sistemini geliştirmesi olarak kabul edilir. Ayrıca, cebir alanında yaptığı çalışmalar ve "El-Kitab'ul Muhtasar fi'l Hesab'il Cebir ve'l Mukabele" adlı eserinde birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözümlemelerini açıklaması da önemli katkılarıdır.

Problemlerin en zor konusu genellikle cebir ve köklü sayılar olarak kabul edilir.

İki kare farkı ve iki kare toplamının formülleri farklıdır. İki kare farkı formülü: a² – b² = (a + b) • (a – b) şeklindedir. İki kare toplamı formülü: a² + b² = (a + b)² – 2 • a • b = (a – b)² + 2 • a • b şeklindedir.

İki küp farkının çarpanlara ayrılması için kullanılan formül: a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) şeklindedir. Bu formülü uygulamak için, ifadede a ve b yerine ilgili terimleri koymak yeterlidir.

Doğrusal denklem ve doğrusal fonksiyon aynı şeyi ifade eder. Doğrusal fonksiyon, y = mx + c formülüyle ifade edilen, grafiği bir doğru olan fonksiyondur. Doğrusal denklem ise, en yüksek dereceli terimi bir olan ve ifadede eşit bir işaret bulunan cebirsel bir ifadedir.

Birim fonksiyonda f(x) = x şeklindedir.

İki küp farkını bulmak için a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) formülü kullanılır. Burada a ve b, iki farklı gerçel sayıyı temsil eder.

Harezmî'nin matematiğe katkıları şunlardır: 1. 0 Rakamını Açıklaması ve Ondalık Sayı Sistemini Geliştirmesi: Harezmî, sıfır rakamını kullanarak pozisyonel sayı sisteminin temellerini atmıştır. 2. Cebir Alanında Çalışmaları: "Kitab al-Jebr wa-l-Muqabala" adlı eseriyle cebir dalını bağımsız bir disiplin olarak ele almış ve birinci ve ikinci dereceden denklemlerin çözüm yöntemlerini açıklamıştır. 3. Algoritma Kavramını Oluşturması: Algoritma teriminin kökeni, Harezmî'nin isminin Latince biçimi olan "Algoritmi" kelimesine dayanır. 4. Kesirler ve Aritmetik İşlemler: Kesirler ve çeşitli aritmetik işlemler için yeni yöntemler geliştirmiştir. Ayrıca, Harezmî'nin astronomi, coğrafya ve haritacılık alanlarında da önemli katkıları olduğu bilinmektedir.

İki kare toplamı formülü, iki sayının karelerinin toplamını ifade eder ve şu şekilde hesaplanır: a² + b². Bu formülün açılımı ise şu şekildedir: a² + b² = (a + b)² - 2ab.

İki küp toplamı ve farkı özdeşlikleri şu şekildedir: 1. İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). 2. İki küp farkı: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).

Determinant, birkaç bilinmeyenli birinci dereceden eşitlik sistemlerini çözmede kullanılan yardımcı cebirsel bir anlatımdır. Ayrıca, kare matrisleri bir sayıya eşleyen fonksiyon olarak da tanımlanabilir.

Çift fonksiyon, kartezyen koordinatlarda grafiği düşey eksene göre simetrik olan fonksiyondur. Özellikleri: - Her x için f(x) değeri, -x için de aynıdır, yani f(-x) = f(x). - Çift fonksiyonların polinomlarında, tek dereceli terimlerin katsayıları sıfırdır.

Polinomlarla ilgili örnek sorular: 1. Kalan Bulma Sorusu: P(x) = x² – 2x + 12 polinomunun (x – 6) ile bölümünden kalan kaçtır? - Çözüm: x – 6 = 0 eşitliğinden x = 6 olarak bulunur ve P(6) hesaplanır: P(6) = 6² – 2 . 6 + 12 = 36. 2. Katsayılar Toplamı Sorusu: P(x) = 4x² – 3x – 15 polinomunun x + 5 ile bölümünden kalan kaçtır? - Çözüm: x + 5 = 0 eşitliğinden x = –5 olarak bulunur ve P(–5) hesaplanır: P(–5) = 4 . (–5)² – 3 . (–5) – 15 = 100. 3. Çok Değişkenli Polinom Sorusu: P(3x + 2) = x³ – 3x² + 3x + 4 veriliyor. P(x + 7) polinomunun katsayılar toplamını bulalım? - Çözüm: x = 1 verilirse P(8) elde edilir ve P(8) = 6 bulunur. 4. Eşitlik Sorusu: (a – 3)x³ + (b – 1)x² + cx + d polinomları eşit olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır? - Çözüm: Aynı dereceli terimlerin katsayıları eşit olmalıdır: a – 3 = 2 ⇒ a = 5, b – 1 = 3 ⇒ b = 4, c = 4, d = –7 ⇒ a + b + c + d = 5 + 4 + 4 – 7 = 6.

İki kare farkı formülü, a² - b² = (a - b)(a + b) şeklindedir.

İki küp toplamının formülü: a³ + b³ = (a + b) . (a² – ab + b²).

TCK'nın 108. maddesi, cebir suçunu düzenler ve şu şekildedir: "Bir şeyi yapması veya yapmaması ya da kendisinin yapmasına müsaade etmesi için bir kişiye karşı cebir kullanılması halinde, kasten yaralama suçundan verilecek ceza üçte birinden yarısına kadar artırılarak hükmolunur".

Harezmi, tam adıyla Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el-Harezmi, 780 yılında Özbekistan'ın Harezm bölgesinin Hive şehrinde doğmuş ünlü bir Türk-İslam bilim insanıdır. Hayatı: - Temel eğitimini Harezm'de aldıktan sonra, ilim öğrenmek için Bağdat'a gitti ve oradaki alimlerden ders aldı. - Abbasi Halifesi Me'mun'un dikkatini çekerek, Bağdat Saray Kütüphanesi'nin idaresine getirildi. - Burada birçok eser yazdı ve çeviriler yaptı, ayrıca halifenin isteği üzerine bir grup bilim insanıyla birlikte dünyanın haritasını çıkardı. - 850 yılında Bağdat'ta vefat etti. Katkıları: - Cebirin ve algoritmanın kurucusu olarak kabul edilir. - Ondalık sayı sistemini ve sıfırın kullanımını Batı dünyasına tanıttı.