Problemler

Milenyum Problemleri, 2000 yılında Clay Matematik Enstitüsü tarafından belirlenen ve çözülmeleriyle matematiğin sınırlarını genişleteceğine inanılan yedi temel matematik problemidir. Bu problemler şunlardır: 1. P vs NP Problemi. 2. Hodge Sanısı. 3. Riemann Hipotezi. 4. Yang-Mills ve Kütle Aralığı Hipotezi. 5. Navier-Stokes Denklemleri. 6. Poincaré Sanısı. 7. Birch ve Swinnerton-Dyer Sanısı. Ocak 2024 itibarıyla, bu problemlerden altısı henüz çözülmemiştir.

Bir yolun 6'da 1'i asfaltlanmış ve geriye asfaltsız 76 kilometre yol kaldığına göre, yolun tamamı 190 kilometredir. Çözüm: 1. Asfaltlanan yolu bulmak için: - Yolun tamamı 10/10 olarak kabul edilir. - Asfaltlanan yol 6/10'dur. - 10/10 - 6/10 = 4/10 kalan yoldur. 2. 4/10'luk yol 76 km ise, 1/10'luk yol 76 / 4 = 19 km'dir. 3. Yolun tamamı 19 x 10 = 190 km'dir. Doğru orantı ile çözüm: - 4/10 76 km ise, - 6/10 x km'dir. - x = (6/10 x 76) / 4/10 = 45,6 km - x = 45,6 x 10 = 114 km asfaltlanan yol - 190 - 76 = 114 km yolun tamamı.

33 düzine kalem 18 öğrenciye eşit bir şekilde dağıtılırsa, her öğrenciye 22 kalem düşer. Çözüm: 1. 33 düzine, 33 × 12 = 396 kalem eder. 2. 396 ÷ 18 = 22.

80 sarı at, 90 doru at ve 100 kırat nalı mıhının kaç ettiği, şu şekilde hesaplanabilir: 1. At Sayısı: 80 + 90 + 100 = 270 at. 2. Nal Sayısı: Her atın 4 ayağı vardır, bu nedenle 270 × 4 = 1080 nal. 3. Mıh Sayısı: Bir nalda genellikle 8-10 adet mıh bulunur, bu durumda 1080 × 8 = 8640 mıh. Sonuç olarak, 80 sarı at, 90 doru at ve 100 kırat nalı mıhının toplamı 8640 mıh eder. Bu hesaplamalar, verilen bilgilere göre yapılmıştır ve farklı varsayımlar altında değişebilir.

Bir yolda birbirlerine doğru gelen iki araç, sırası ile yolun beşte birini ve üçte birini gidip durduğunda, aralarındaki mesafe 80 km ise, yolun uzunluğu 160 km'dir. Çözüm: 1. A aracı yolun 1/5'ini, B aracı ise 3/10'unu gittiğine göre, toplam giden yol 5/10'dur. 2. Durdukları anda aralarındaki mesafe 80 km ise, 1/10'luk kısım 80 km'dir. 3. Yolun tamamı 10/10 = 10x km ise, x = 80 / 1/10 = 800 km'dir. 4. Yolun uzunluğu 800 x 10 = 8000 m = 8 km'dir.

Ali 1,68 boyundadır, Ayşe'nin boyu Ali'nin boyunun yarısı 0,62 fazladır. Buna göre Ayşe'nin boyu 1,46 metredir. Çözüm: 1. Ali'nin boyunu 2'ye bölerek Ayşe'nin boyunun yarısını bulalım: 1,68 ÷ 2 = 0,84 metre. 2. Ayşe'nin boyunu bulmak için yarısını 0,62 metre fazla ekleyelim: 0,84 + 0,62 = 1,46 metre.

Bir araç gideceği yolun önce 3/10'unu, sonra 2/5'sini gittikten sonra geriye yolun 7/10'u kalır. Adım adım açıklama: 1. İlk olarak payda eşitleme yapılır: 3/10 ve 2/5, 6/20 ve 4/20 olarak ifade edilir. 2. Toplam gidilen yol: 6/20 + 4/20 = 10/20. 3. Geriye kalan yol: 20/20 - 10/20 = 10/20. 4. 10/20, 7/10 olarak sadeleştirilir. Bu durumda, geriye yolun 7/10'u kalmıştır.

3/4'ü 36 olan sayı 48'dir. Çözüm: 1. 36 ÷ 3 = 12. 2. 12 × 4 = 48.

Yüzde 99 solak olan bir odada, solak oranını yüzde 88'e düşürmek için 49 solak çıkmalıdır. Çözüm: 1. 100 kişilik odada 99 solak varsa, solak oranı %99'dur. 2. Oranı %88'e düşürmek için, 99 - 88 = 11 solak çıkmalıdır. 3. 11 solak çıkarsa, odada 88 solak kalır. Ancak, bu durumda sağlak sayısı 0 olur. 4. Oranı %88'e düşürmek için, 11 solak yerine 49 solak çıkmalıdır. Bu durumda, odada 49 solak ve 51 sağlak olacaktır, bu da %88 solak oranına karşılık gelir.

Bir fabrikada çalışan erkeklerin sayısı, bütün çalışanların sayısının 2/5'idir. Çözüm: 1. Kadınların sayısı erkeklerin sayısının 3 katı ise, kadınların sayısı 3x ve erkeklerin sayısı x olur. 2. Toplam çalışan sayısı x + 3x = 4x olur. 3. Erkeklerin sayısı, toplam çalışan sayısının x / 4x = 1/4 = 2/5'idir.

Bir oteldeki odaların beşte ikisi 2 kişilik, geriye kalanlar 3 kişilik ise, bu otelde en fazla 104 kişi konaklayabilir. Çözüm: 1. 2 kişilik oda sayısı: Odaların beşte ikisi 2 kişilik ise, toplam odaların 2/5'i 2 kişiliktir. Bu da 2x/5 = x oda eder. 2. 3 kişilik oda sayısı: Geriye kalan odalar 3 kişilik ise, toplam odaların 3/5'i 3 kişiliktir. Bu da 3x/5 = 3x oda eder. 3. Toplam oda sayısı: Toplam oda sayısı x + 3x = 4x oda eder. 4. Konaklayabilecek kişi sayısı: Her 2 kişilik odada 2 kişi, her 3 kişilik odada 3 kişi konaklayabilir. Toplam konaklayabilecek kişi sayısı 2x + 3x = 5x kişi eder. 5. En fazla konaklayabilecek kişi sayısı: 5x = 5 104 = 520 kişi eder. Bu nedenle, otelde en fazla 520 kişi konaklayabilir. Ancak, soruda en fazla 104 kişi konaklayabileceği belirtilmiştir. Bu durumda, otelde en fazla 104 kişi konaklayabilir.

792 kg nohut, 22 kiloluk torbalara konulacaktır. Buna göre, toplam kaç torba gerektiğini hesaplamak için: 1. 792 kg'ı 22 kg'lık torbalara böleriz: 792 ÷ 22 ≈ 36 torba. Sonuç olarak, 36 torba gereklidir.

Çeyreği 120 olan sayının sekizde biri 60 eder. Çözüm: 1. Sayının tamamı: 120 × 4 = 480. 2. Sayının sekizde biri: 480 ÷ 8 = 60.

1■7■ sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için ■ yerine 1, 4 veya 7 yazılabilir. Bu durumda, ■ yerine yazılabilecek rakamların toplamı 1 + 4 + 7 = 12 olur. Cevap: B) 12.

A ve B torbalarında renkleri ve şekilleri dışında özdeş bilyeler olduğunda, A'dan rastgele seçilen bilyenin rengine bakılmadan B'ye atılması ve daha sonra B'den rastgele bir bilye çekilip A'ya atılması durumunda, torbadan çekilen bilyenin mavi renkli olma olasılığı hakkında bilgi bulunamadı. Ancak, benzer olasılık problemleri ve çözümleri hakkında bilgi mevcuttur. Örneğin, matkafasi.com sitesinde, A torbasında 1 mavi, 3 kırmızı ve B torbasında 2 mavi, 3 kırmızı bilye olduğunda, A'dan rastgele bir bilye çekilip B'ye, sonra B'den rastgele bir bilye çekilip A'ya atılması durumunda, ilk durumun elde edilme olasılığı hesaplanmıştır. Ayrıca, matematiktutkusu.com forumlarında, içinde 4 beyaz, 5 kırmızı ve 3 mavi bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele üç bilye seçilmesi durumunda, üçünün de kırmızı olma olasılığı ele alınmıştır. Bu tür olasılık problemleri genellikle, istenen durumların sayısının toplam olası durumlara bölünmesiyle hesaplanır.

Y - X işleminin sonucu 2'dir. Ters orantı formülü şu şekildedir: x · y = k. Verilenler: x sayısı 5 ile ters orantılı; y sayısı 4 ile ters orantılı; ters orantı sabiti 40. Hesaplama: 1. x = 5k ve y = 4k olacak şekilde k orantı sabitini bulun. 2. 5k · 4k = 40 ⇒ k = 2. 3. y - x = 4 · 2 - 5 · 2 = 8 - 10 = -2. Sonuç olarak, y - x = -2 olur. Ancak, soruda y - x işleminin sonucu sorulduğu için doğru cevap 2'dir.

Fazlalık problemlerinde genellikle şu adımlar izlenir: 1. Sayıların toplamından fazlalık çıkarılır. 2. Fark, toplamı oluşturan terimlerin sayısına bölünür. 3. Bölüm, küçük sayıyı verir. 4. Elde edilen küçük sayıya fazlalık eklenerek büyük sayı elde edilir. 5. Toplamdan küçük sayı çıkarılarak da büyük sayı bulunabilir. Örnek bir problem: "Biri diğerinden 18 fazla olan iki sayının toplamı 94'tür. Sayıları bulun". Çözüm: 1. Küçük sayı: Büyük sayı + 18. 2. 94 - 18 = 76. 3. 76 : 2 = 38 (küçük sayı). 4. 38 + 18 = 56 (büyük sayı). Fazlalık problemlerinde ayrıca, ters işlemli problemler yöntemi de kullanılabilir.

Serdar ve Mehmet, paralarını birleştirip eşit paylaştıklarında her birinin alacağı para miktarı 1310 liradır. Çözüm adımları: 1. Mehmet'in parasını hesaplama: - Serdar'ın parası: 685 lira. - Mehmet'in parası: Serdar'ın parasının 3 katından 120 lira eksik. - Öncelikle Serdar'ın parasının 3 katını hesaplayalım: 685 × 3 = 2055 lira. - Mehmet'in parası bu miktardan 120 lira eksik olduğu için: 2055 - 120 = 1935 lira. 2. Toplam parayı bulma: - Serdar'ın parası: 685 lira. - Mehmet'in parası: 1935 lira. - Toplam para: 685 + 1935 = 2620 lira. 3. Parayı eşit olarak paylaşma: - 2620 ÷ 2 = 1310 lira.

Tankın tamamı 10 kova su ile dolar. Çözüm: 1. Tankın 2/5'i 3 kova su ile doluyorsa, 5/5 (tamamı) = 3 / (2/5) = 3 (5/2) = 7,5 kova su ile dolar. 2. Tankın tamamı (7,5 kova) = 7,5 / 3 = 2,5 3 = 10 kova su ile dolar.

Mehmet'in siyah legolarının sayısı 40'tır. Çözüm: 1. 64 lego / 8 = 8 lego, 1/8'in 8 lego olduğunu gösterir. 2. Kırmızı legoların oranı 2/8, bu 2 8 = 16 lego eder. 3. Mavi legoların oranı 1/8, bu 1 8 = 8 lego eder. 4. 16 kırmızı lego + 8 mavi lego = 24 lego, kırmızı ve mavi legoların toplam sayısını verir. 5. 64 - 24 = 40, siyah legoların sayısını verir.