Kombinatorik

4 top, her kutuda en az 1 top olacak şekilde 3 kutuya 64 farklı biçimde dağıtılabilir. Bu, her topun 4 farklı kutuya yerleştirilme olasılığının çarpılmasıyla hesaplanır (4 × 4 × 4 = 64).

7 kişinin bilgisayar ekranında 6 bölme şeklinde doldurulma olasılığı, her öğretmenin ve öğrencinin farklı bir bölmede yer alması durumuna göre hesaplanır. 1. Öğretmenlerin Yerleştirilmesi: 2 öğretmen olduğu için, her biri için 3 bölme (üstte yan yana) kullanılabilir. Bu durumda, öğretmenlerin yerleştirilmesi 3! (3 faktöriyel) farklı şekilde yapılabilir. 2. Öğrencilerin Yerleştirilmesi: 5 öğrenci kaldığı için, her biri için 2 bölme kullanılabilir. Bu durumda, öğrencilerin yerleştirilmesi 5! (5 faktöriyel) farklı şekilde yapılabilir. Toplam farklı yerleştirme sayısı, öğretmenlerin ve öğrencilerin yerleştirme sayılarının çarpımı ile hesaplanır: 3! 5! ≈ 10.368 farklı şekilde doldurulabilir.

3 kitap 9 çocuğa permütasyon yöntemiyle dağıtılması için, her çocuğun alabileceği kitap sayısının farklı olması durumunda, bu dağıtımın kaç farklı şekilde yapılabileceğini hesaplamak gerekir. Bu hesaplamada, P(9,3) formülü kullanılır, burada P permütasyon anlamına gelir ve 9 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt kümelerinin permütasyonlarının sayısını verir. Sonuç olarak, bu dağıtım 360 farklı şekilde yapılabilir.

Beş kişi, aynı saatte başlayan üç filmi izlemek için 125 farklı şekilde filmi seçebilir.

Tokalaşma sayısını hesaplamak için kullanılan formül: n(n-1)/2'dir. Burada n, gruptaki kişi sayısını ifade eder.

Permütasyon, sıralamanın önemli olduğu durumlarda matematiksel problemleri çözmek için önemlidir. İşte permütasyonun bazı kullanım alanları: Yarışmalar: Dereceye giren yarışmacıların kaç farklı şekilde sıralanabileceğini belirlemede kullanılır. Günlük yaşam: Telefon şifreleri, bilgisayar giriş kodları gibi sıralamanın önemli olduğu sistemlerde kullanılır. Lojistik ve ulaşım: Teslimat rotalarının belirlenmesi ve ürünlerin yüklenme sıraları gibi işlemleri optimize eder. Genetik ve biyoloji: DNA dizilimleri ve proteinlerin oluşumu gibi biyolojik süreçler, belirli yapı taşlarının dizilimiyle gerçekleşir. Tiyatro ve organizasyon: Bir tiyatro oyununda sahneye çıkacak oyuncuların sıralaması ve organizasyonlarda oturma düzenleri gibi durumlarda kullanılır.

6 beşli (kişi) 720 farklı şekilde sıralanabilir.

Permütasyon sorularını ayırt etmek için cümlede geçen ifadelere bakmak gerekir: - Sıralama veya diziliş ifadeleri geçiyorsa, bu tür sorularda permütasyon kullanılır. - Oluşturma, seçme veya seçim gibi ifadeler varsa, bu sorularda kombinasyon kullanılır.

3'ün 2'li permütasyonları 6 tanedir. Bu permütasyonlar şunlardır: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1) ve (3, 2).

5 farklı matematik ve 4 farklı edebiyat kitabı, aynı tür kitaplar bir arada olmak koşuluyla, 9! (doksan faktöriyel) şeklinde dizilir.

547 değişik biçimde yerleştirilebilir. Çözüm: 1. 8 kişiden üçü C(8,3) = 56 farklı şekilde seçilir. 2. Kalan 5 kişiden üçü de C(5,3) = 10 farklı şekilde seçilir. 3. Son olarak, iki kişi C(2,2) = 1 farklı şekilde yerleştirilir. 4. Tüm durumlar: 56 10 1 = 560. 5. İki kişinin aynı odada kalması durumları çıkarılır: 6 + 6 + 1 = 13. 560 - 13 = 547.

4 matematik kitabı ve 5 Türkçe kitabı bir rafa yan yana yerleştirildiğinde: a. Kaç farklı şekilde dizilebilir: Bu kitaplar toplamda 9 kitap yapar ve 9! şeklinde sıralanır. b. Matematik kitapları bir arada olmak koşulu ile kaç farklı şekilde dizilebilir: Matematik kitapları bir kitap gibi kabul edilir ve 5 kitap yapar. Bu durumda 5! . 5! şeklinde sıralanır.

Saymanın temel ilkesi 10. sınıfta iki veya daha fazla olayın gerçekleşmesinin farklı sayılarını bulmak için kullanılır. Bu ilkeye göre, n1 farklı şekilde gerçekleşebilen bir olayla n2 farklı şekilde gerçekleşebilen bir olayın birlikte gerçekleşme sayısı n1 n2'dir.

Kombinolojide iki çeşit kombinasyon vardır: basit kombinasyon ve bileşik kombinasyon.

Pascal Üçgeni'nin 15. satırında bulunan sayılar şunlardır: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 7150, 5005, 1365, 105, 15, 1.

6 öğretmen ve 4 öğrenci, yan yana olmak şartıyla 720 farklı sırada oturabilirler. Bu hesaplamada, 6 öğretmenin ve 4 öğrencinin farklı şekillerde sıralanabileceği durumlar dikkate alınmıştır: 1. Öğretmenlerin sıralanması: 6! = 720 farklı şekilde. 2. Öğrencilerin sıralanması: 4! = 24 farklı şekilde. Toplam sıralama sayısı, bu iki durumun çarpımı ile bulunur: 720 \ 24 = 17280. Ancak, öğretmenlerin yan yana olmaması gerektiği belirtilmediği için bu sayıdan 48 farklı sıralama (2 öğretmenin yan yana olduğu durumlar) çıkarılmalıdır. Sonuç olarak, 17280 - 48 = 720 farklı sıralama elde edilir.

İki çeşit permütasyon vardır: 1. Farklı Elemanların Sıralanışı: n elemanlı bir kümenin, birbirinden farklı olacak şekilde r elemanından oluşabilecek dizilişler. 2. Tekrarlı Permütasyon: Özdeş olan elemanlar arasında sıralama yapabilmek için kullanılan formül.

Banu'nun ikili koltuğa oturması şartıyla, Can ve Ali'nin kaç farklı şekilde oturabileceği 80'dir. Bu sonuç, her bir kişinin oturabileceği 6 farklı yer olduğu ve Banu için 4 farklı ikili koltuk seçeneği bulunduğu varsayımına dayanır.

3 yataklı ve 2 yataklı odalar bulunan bir otelde 8 kişi, 560 farklı biçimde kalabilir. Bu hesaplama, her kişinin farklı bir odada kalmasını ve odalarda yatak sıralamasının önemli olmadığını varsayar.

A'dan C'ye gidip dönerken kullandığı yolları tekrar kullanmamak şartıyla, 54 farklı yol vardır.