Çarpma

Bir çarpma işleminde çarpanlardan biri verilmediğinde, bu çarpanı bulmak için çarpım (sonuç), verilen çarpana bölünür. Örnek: 345 sayısı ile hangi sayıyı çarparsak sonuç 255645 eder? - Çözüm: 255645 : 345 = 741. Bu durumda, verilmeyen çarpan 741'dir. Bu yöntem, çarpma işleminin bölme işlemi ile ters orantılı olmasından kaynaklanır.

Köklü ifadelerde toplama ve çarpma işlemleri farklıdır. Toplama işlemi: Köklü ifadelerde toplama işlemi yapılabilmesi için kök içlerinin eşit olması gerekir. Çarpma işlemi: Köklü sayılar, aynı kök içinde çarpılabilir.

Altı küp çarpı altı küp, 6³ × 6³ = 216 × 216 = 46 656 eder. Bir sayının küpü, o sayının kendisiyle üç kez çarpımına eşittir.

Dağılma özelliği, matematikte çarpma işleminin toplama veya çıkarma işlemi üzerine dağılması şeklinde iki farklı şekilde uygulanabilir. Çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği: Bir doğal sayı, parantez içindeki toplam sayılarla çarpılır ve daha sonra bu çarpımlar toplanır. Örnek: 3 x (12 + 5) = (3 x 12) + (3 x 5) = 51. Çarpmanın çıkarma üzerine dağılma özelliği: Bir doğal sayı, parantez içindeki diğer doğal sayılarla çarpılır ve ortaya çıkan sonuçlar birbirinden çıkarılır. Örnek: 7 x (15 - 4) = (7 x 15) - (7 x 4) = 77. Dağılma özelliği, harf içeren işlemlerde de ön plana çıkar. Dağılma özelliği ile ilgili daha fazla bilgi ve örneklere aşağıdaki kaynaklardan ulaşılabilir: youtube.com'da "Dağılma Özelliği ve Ortak Çarpan Parantezi" videosu; tr.khanacademy.org'da "Dağılma Özelliğini Nasıl Gösterebiliriz?" alıştırması.

1 basamaklı sayı ile 3 basamaklı sayının çarpımı, 3 basamaklıdır. Çünkü çarpma işleminde her basamaktaki rakamlar ayrı ayrı çarpılır ve sonuçlar toplanır.

5.222,4 sayısı, 222,4 ondalık sayısının beş ile çarpılması sonucu elde edilir.

5'in 6 ile çarpımı 5 × 6 = 30 şeklindedir. Çarpma işlemi şu şekilde yapılabilir: 1. Çarpılacak sayılar yazılır. 2. Sağdan sola doğru üstteki sayının her basamağı, alttaki sayının birler basamağındaki rakamla çarpılır. 3. Eğer bir basamaktaki çarpma işlemi sonucu 9'dan büyükse, bu sonucun onlar basamağı bir sonraki çarpmaya elde olarak aktarılır. 4. Bir basamaktaki sonucu bulmak için çarpma işleminin sonucuna alt basamaktan gelen elde eklenir. 5. Alttaki sayının birler basamağıyla yapılan çarpma işlemleri bittiğinde, onlar basamağına geçilir ve bu basamaktaki rakamla üstteki sayının tüm basamakları çarpılır. 6. Tüm çarpma işlemleri bittikten sonra kısmi çarpımlar alt alta toplanır. Çarpma işlemi için aşağıdaki siteler de kullanılabilir: rapidtables.org; matematikdelisi.com; mega-calculator.com.

Yukarıda verilen işlem (+3) · (-6) · (+2) sonucu -36 eşittir.

Çift basamaklı sayılarla çarpma işleminde sayılar şu şekilde hizalanır: 1. Onlar basamağındaki sayılar çarpılır ve sonuca iki sıfır eklenir. 2. Onlar basamağındaki sayılar toplanır. 3. Aynı olan birler hanesi ile çarpılır. 4. Elde edilen sayının sonuna bir sıfır eklenir. Örnek: 36 × 27 çarpma işlemi şu şekilde yapılır: 1. 36 × 7 = 252 (birler basamağından başlayarak). 2. 36 × 20 = 720 (onlar basamağındaki 2, 20'yi temsil eder). 3. 252 + 720 = 972 (sonuç).

Çarpma işleminde sağlama yapılmasının temel sebebi, yapılan işlemin doğruluğunu kontrol etmek ve hatayı baştan yakalamaktır. Çarpma işleminin sağlaması, bölme işlemi ile yapılır. Sağlama yapmanın önemli olduğu bazı durumlar şunlardır: Okul ödevleri ve sınavlar. Finansal hesaplamalar. Ölçüm ve projeler.

5, 7, 124 sayılarını kullanarak çarpma işlemi gerektiren bazı problemler: Bir çiftlikteki koyun, keçi ve tavukların ayak sayıları toplamı 124'tür? Bir çiftinin 12 dönümlük arazisi vardır? Elif, 5 kilosu 15 lira olan soğandan 2 kilo, 7 kilosu 14 lira olan patatesten bir kilo almıştır? Ahmet'in 5 kalemi vardır, bunun 7 katı Zehra'da vardır?

Köklü sayılarda çarpma işlemi şu şekilde yapılır: 1. Katsayıların çarpımı: Kök işaretinin önündeki sayılar çarpılır. 2. Kök içindeki ifadelerin çarpımı: Kök içindeki sayılar çarpılır ve sonuç tekrar kök içine yazılır. 3. Kök dışına çıkabilen sayıların çıkarılması: Eğer varsa, kök dışına çıkarılarak çarpan olarak yazılır. Örnek: 3√2 × 2√6 işleminin sonucu şu şekilde bulunur: 1. Katsayıların çarpımı: 3 × 2 = 6. 2. Kök içindeki ifadelerin çarpımı: 2 × 6 = 12. 3. Sonuç: 6√12. Daha karmaşık örnekler için matematik kaynaklarında detaylı açıklamalar bulunabilir.

Japon çarpma işleminin kolay olmasının sebebi, çarpma işlemini görselleştirme imkânı sunmasıdır. Bu yöntemde her sayı için bir düz çizgi çizilir ve basamaklarına göre uygun biçimde aralarında boşluk bırakmadan kaç rakamı varsa o sayıda yan yana düz çizgi çizilir. Bu yöntem, özellikle ilkokul kademesinde çocuklara çarpma kavramını daha iyi kavratmak amacıyla öğretilmektedir. Ancak büyük basamaklı sayılarla uğraşırken bu yöntem çizgi çizmenin zorluğu nedeniyle pek kullanışlı değildir.

Kesirlerde çarpma işlemi sadeleştirilirken şu adımlar izlenir: 1. Payların Çarpılması: Kesirlerin payları çarpılır ve çarpım pay olarak yazılır. 2. Paydaların Çarpılması: Kesirlerin paydaları çarpılır ve çarpım payda olarak yazılır. 3. Sadeleştirme: Sonuç kesrin pay ve paydası, en büyük ortak bölene (EBOB) bölünerek sadeleştirilir. Örnek: 2/3 x 6/5 işleminin sadeleştirilmesi: 1. Paylar çarpılır: 2 x 6 = 12. 2. Paydalar çarpılır: 3 x 5 = 15. 3. Sadeleştirme: 12 ve 15'in EBOB'u 3'tür. 12'yi 3'e bölerek 4, 15'i 3'e bölerek 5 elde edilir. Sonuç: 4/5. Çapraz sadeleştirme de kullanılabilir; bu, çapraz değerleri ortak bir bölene bölmeyi içerir.

9 × 9 = 81 eder.

3 basamaklı sayı ile 1 basamaklı sayının çarpımı şu şekilde yapılır: 1. Çarpılacak sayılar alt alta yazılır ve her bir basamağın üzerine bir çizgi çizilir. 2. Çarpma işlemine birler basamağından başlanır. 3. Birler basamağındaki rakam ile çarpan sayı çarpılır ve sonuç, birler basamağına yazılır. 4. Eğer bir sonraki basamağa elde varsa, bu elde bir sonraki basamağa eklenir. 5. İşlem, onlar ve yüzler basamağı için de tekrarlanır. 6. Elde edilen sonuçlar toplanır ve sonuç yazılır. Örnek: 845 × 6 işleminin sonucu şu şekilde bulunur: 1. Birler basamağı: 6 × 5 = 30, 3 elde edilir. 2. Onlar basamağı: 6 × 4 = 24, 2 elde edilir. 3. Yüzler basamağı: 6 × 8 = 48, 2 elde edilir. 4. 48 + 2 = 50, 5 yazılır. Sonuç olarak, 845 × 6 = 5070. Daha fazla örnek ve detaylı bilgi için aşağıdaki kaynaklar incelenebilir: matematikdelisi.com; öğretmenevde.com.tr.

6 ile çarpma işlemi yapmak için aşağıdaki adımları izleyebilirsiniz: 1. Sayıları yazın: Çarpılacak sayıları aynı basamaklar üst üste gelecek şekilde yazın. 2. Sağdan sola doğru çarpma: Sağdan sola doğru, üstteki sayının her basamağını alttaki sayının birler basamağındaki rakamla çarpın. 3. Elde taşıma: Bir basamaktaki çarpma işleminde sonuç 9'dan büyükse, bu sonucun onlar basamağını bir sonraki çarpmaya elde olarak geçirin. 4. Sonucu bulma: Bir basamaktaki sonucu bulmak için çarpma işleminin sonucuna alt basamaktan gelen eldeyi ekleyin. 5. Alt satıra yazma: Alttaki sayının birler basamağıyla yapılan çarpma işlemleri bittiğinde, onlar basamağına geçin ve bu basamaktaki rakamla üstteki sayının tüm basamaklarını çarpın. Bulduğunuz sonuçları alt alta birer basamak kaydırarak yazın. 6. Toplama: Tüm çarpma işlemleri bittikten sonra kısmi çarpımları alt alta toplayın. Ayrıca, 6 ile çarpma işlemi için çeşitli çevrim içi çarpım tablosu eğitici araçları da kullanılabilir.

6 x 9 = 54 eder.

Gerçek sayıların bazı işlem özellikleri: Kapalılık özelliği: a ∈ R ve b ∈ R ise, a + b ∈ R olur. Değişme özelliği: a ∈ R ve b ∈ R ise, a + b = b + a olur. Birleşme özelliği: a ∈ R, b ∈ R ve c ∈ R ise, (a + b) + c = a + (b + c) olur. Birim (etkisiz) eleman: ∀ m ∈ R için m + 0 = 0 + m olduğundan toplama işleminin birim (etkisiz) elemanı 0’dır. Ters eleman: ∀ m ∈ R ve m ≠ 0 için m + (−m) = (−m) + m = 0 olduğundan m’nin toplama işlemine göre tersi −m’dir. Yutan eleman: ∀ m ∈ R için m • 0 = 0 • m = 0 olduğundan çarpma işleminin yutan elemanı 0’dır. Çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği: ∀ m, t, n ∈ R için m • (t + n) = m • t + m • n ve m • (t − n) = m • t − m • n olur.

İki basamaklı sayılarla üç basamaklı sayıların çarpımı için aşağıdaki adımlar izlenebilir: 1. Basamak kaydırma: Çarpma işlemi yapılırken, üç basamaklı sayının bir basamağı bir basamak sağa kaydırılır. 2. Eldeli çarpma: İşlem, iki basamaklı sayılarla çarpma işlemi gibi yapılır. 3. Sonucun kontrolü: Basamak kaydırma sırasında sıfır eklenmişse, bu sıfır sonucu değiştirmediğinden yazılmaz. Bu konuda daha fazla örnek ve açıklama için matematikdelisi.com ve ilkokuldokumanlari.com gibi siteler ziyaret edilebilir. Ayrıca, YouTube ve Yandex Video gibi platformlarda "3. Sınıf İki Basamaklı ve Üç Basamaklı Sayılarla Çarpma İşlemi" başlıklı videolar da bulunmaktadır.