Üçgen

Dik üçgenin en uzun kenarına "hipotenüs" denir.

Üçgen prizma, iki tabanı üçgen, diğer üç yüzü ise dikdörtgen olan bir geometrik cisme benzer.

Üçgenin yardımcı elemanları şunlardır: 1. Yükseklik: Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya uzantısına çizilen dik doğru parçasıdır. 2. Açıortay: Üçgenin bir köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran doğru parçasıdır. 3. Kenarortay: Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasıdır, bu kenarları ortadan böler. 4. Kenar Orta Dikme: Üçgenin kenarlarını dik olarak iki eş parçaya bölen doğrulardır.

Dik üçgen alan formülü, Pisagor teoremi ile doğrudan bağlantılı değildir. Pisagor teoremi, dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder ve bu teoreme göre bir dik üçgenin iki dik kenarının uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir (a² + b² = c²). Dik üçgenin alanı ise, birbirine dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir (x.y / 2).

15° - 75° - 90° üçgeni, iç açıları 15 derece, 75 derece ve 90 derece olan bir dik üçgendir. Bu üçgenin bazı özellikleri: İki dar açının toplamı, diğer iç açının toplamına eşittir. İç açıları toplamı 180 derecedir. Belirli bir formül kapsamında kenar uzunlukları birbiriyle ilişkilidir. İki dar açının birbirine oranı 1/5 olmalıdır. Hipotenüse ait olan yükseklik, hipotenüs uzunluğunun 1/4 kadarıdır. Hipotenüse ait yükseklik indirildiğinde, birbirine eşit olmayan iki farklı üçgen oluşur. 15 derece ve 75 derece karşısındaki kenarlar üzerinden üçgenin alanı kolayca bulunabilir.

Üçgende çevre sorularını çözmek için üçgenin tüm kenar uzunluklarını toplamak gerekmektedir. Formül: Çevre = a + b + c. Burada a, b ve c üçgenin kenar uzunluklarını temsil eder. Örnek sorular ve çözümleri: 1. Kenar uzunlukları 10 cm, 11 cm ve 12 cm olan bir üçgenin çevre uzunluğu: Çevre = 10 + 11 + 12 = 33 cm. 2. Kenar uzunlukları 5 metre, 7 metre ve 10 metre olan üçgen şeklindeki bir bahçenin etrafında 5 tur atılırsa: Çevre (bahçenin) = 5 + 7 + 10 = 22 metre, toplam yol = 5 x 22 = 110 metre yürünmüş olur.

8-10-12 üçgeni, kenar uzunlukları 8, 10 ve 12 birim olan bir üçgendir. Bu üçgenin özellikleri: Alan: Üçgenin alanı, Heron formülü ile hesaplanabilir. Çevre: Çevre, üçgenin tüm kenar uzunluklarının toplamı olarak hesaplanır (C = a + b + c). Açılar: Üçgenin iç açıları, kenar uzunlukları ile orantılıdır ve toplamları 180°'dir. Üçgenin Pythagorean bir üçgen olmadığını belirlemek için, en uzun kenarın karesinin, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşit olup olmadığı kontrol edilebilir.

Dik üçgenin en zor konusu olarak Öklid bağıntıları gösterilebilir.

Eşkenarlı üçgen ve eşkenar dörtgen aynı şey değildir. Eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgendir. Eşkenar dörtgen ise bütün kenar uzunlukları birbirine eşit, karşılıklı kenarları paralel ve karşılıklı açıları eşit olan dörtgendir.

Üçgen ve dikdörtgenin tarihi şu şekilde özetlenebilir: - Üçgen, doğanın ilk başından beri var olan bir konsepttir ve üzerinde çalışmalar Antik Mısır'dan Antik Yunan'a kadar birçok farklı bölgede devam ettirilmiştir. - Dikdörtgenin tarihi hakkında spesifik bir bilgi bulunmamakla birlikte, dörtgenlerin geometrik şekil olarak kullanımı, üçgenlerde olduğu gibi, eski medeniyetlere kadar uzanır.

Dış açıortay ve iç açıortayın özellikleri şunlardır: 1. Dış Açıortay: Bir üçgenin bir dış açısını iki eş parçaya ayıran ışına denir. 2. İç Açıortay: Bir üçgenin bir iç açısını iki eş parçaya ayıran ışına denir.

Üçgende açı-kenar ilişkisinin nasıl bulunacağına dair beş örnek: 1. Örnek: ABC üçgeninde m(A) > m(B) > m(C) ise, a > b > c olur. 2. Örnek: Bir üçgende bir tane geniş açı olabilir ve geniş açının karşısındaki kenar daima en büyük kenar olur. 3. Örnek: İki üçgenin ikişer kenar uzunluğu eşitse, bu iki kenarın arasındaki açısı daha büyük olan üçgenin üçüncü kenar uzunluğu, diğer üçgenin üçüncü kenar uzunluğundan büyüktür. 4. Örnek: Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarının uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. 5. Örnek: İkizkenar üçgenlerde eşit açıların karşısında bulunan kenarlar da eşittir.

Şekildeki ABC dik üçgeninde, [AB] ⊥ [AC], [AH] ⊥ [BC], [AB] = 12 birim, [AC] = 0 olduğuna göre, |AH| = x'in kaç birim olduğuna dair bir bilgi bulunamamıştır. Ancak, dik üçgenlerle ilgili bazı bilgiler şu şekildedir: Hipotenüse dik yükseklik. Pisagor teoremi. Bu bilgiler ışığında, verilen ölçülere göre hesaplama yapılabilir.

Üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'dir. Bu kuralı kullanarak beş örnek çözelim: 1. Örnek: Bir üçgende iç açıları alfa (α), beta (β) ve gama (γ) olarak adlandıralım. 2. Örnek: Bir üçgende Alfa = 50° ve Beta = 60° ise, üçüncü açıyı bulmak için: Gama = 180° – (50° + 60°) = 180° – 110° = 70°. 3. Örnek: Bir ikizkenar üçgende taban açıları Alfa ve Beta eşitse ve üçüncü açı Gama ise: Alfa = Beta ve Alfa + Beta + Gama = 180°. 4. Örnek: Bir dik üçgende bir açı Alfa = 30° ise, diğer dar açı Beta = 90° – 30° = 60°. 5. Örnek: Bir eşkenar üçgende her bir iç açı: Alfa = Beta = Gama = 60°.

Üçgenin köşe sayısı 3'tür.

Dış teğet çemberi ağırlık merkezi, üçgenin bir iç açıortayı ile iki dış açıortayının kesişim noktası olarak bulunur.

5, 6, 7 üçgeninde yüksekliğin nasıl bulunacağına dair bilgi bulunamadı. Ancak, bir üçgenin yüksekliğini bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: Pisagor teoremi. Heron formülü. Alan ve taban kullanımı. Üçgen hesap makineleri de kullanılabilir. Trigonometrik hesaplamaların doğru ölçü birimleriyle (derece veya radyan) yapılması ve temel trigonometrik fonksiyonlara (sin, cos, tan) aşina olunması önerilir.

Komşu kenar ve karşı kenar bir dik üçgende, belirli bir açıya göre tanımlanır: - Karşı kenar: Verilen açının tam karşısında bulunan kenardır. - Komşu kenar: Verilen açının yanında yer alan, hipotenüs olmayan kenardır. Bu kenarları bulmak için trigonometrik oranlar kullanılır: - Sinüs (sin): Karşı kenarın hipotenüse oranıdır. - Kosinüs (cos): Komşu kenarın hipotenüse oranıdır. - Tanjant (tan): Karşı kenarın komşu kenara oranıdır.

Açıortay özellikleri şunlardır: 1. Tanım: Bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen ışın veya doğru parçasıdır. 2. Kesişim Noktası: Üçgenin iç bölgesindeki açıortaylar, bir noktada kesişir ve bu noktaya üçgenin iç teğet çember merkezi denir. 3. Dikme Uzunlukları: Açıortaydan açının kollarına inilen dikme uzunlukları birbirine eşittir. 4. Teoremler: Açıortay teoremi, bir üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranının, diğer kenarın uzunluğu ve aynı noktaya ait uzaklığın oranına eşit olduğunu ifade eder. 5. Üçgen Türleri: İç ve dış açıortaylar, üçgenin farklı açılarını iki eşit açıya böldüğü için bu türlere göre adlandırılır.

Diklik merkezi, üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.