Türev

Türevin ikinci türevi, birinci türevin türevinin alınması gerektiği durumlarda ortaya çıkar. Bir fonksiyonun ikinci türevi, genellikle hareket eden bir cismin zamana göre konumunun birinci türevi olan hızın, zaman ilerledikçe nasıl değiştiğini göstermek için kullanılır. Daha yüksek mertebeden türevler, benzer şekilde, daha yüksek mertebeden türevlenebilir fonksiyonlar için tanımlanır.

Fonksiyonların çarpımının türevi, çarpma kuralına uyar. Çarpma kuralı, şu şekilde ifade edilir: > (f ⋅ g)' = f' ⋅ g + f ⋅ g' Bu kural, Gottfried Leibniz tarafından türetildiği için Leibniz kuralı olarak da bilinir.

Türevin limitin özel bir hali olmasının sebebi, bir noktadaki türevin fonksiyona o noktada teğet olan doğrunun eğimini veren limit ifadesine dayanmasıdır. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türev değeri, fonksiyon grafiğine o noktada çizilen teğet doğrunun eğimine eşittir. Türevin limit tanımı şu şekildedir: x = a noktası, f fonksiyonunun tanım kümesi içindeki bir açık aralıkta bir nokta olmak üzere, limx→a (f(x) - f(a)) / (x - a) = L limiti bir reel sayı olarak tanımlı ise bu limit değerine fonksiyonun x = a noktasındaki türevi denir ve f'(a) ile gösterilir. f'(a) = L. Bir fonksiyon için belirli bir noktada yukarıdaki limit bir reel sayı olarak tanımlı ise fonksiyonun bu noktada türevlenebilir olduğu, aksi takdirde türevlenebilir olmadığı söylenir.

Çok değişkenli zincir kuralı, bir değişkene bağlı bir fonksiyonun değişkeninin başka bir değişkene bağlı olması durumunda, fonksiyonun türevinin şu şekilde yazılabilmesini sağlar: Formül: ∂f/∂w = ∂f/∂u ∂u/∂w + ∂f/∂v ∂v/∂w. Bu kural, çok değişkenli fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasında kullanılır ve her iki karışık kısmi türevlerin (birden fazla değişkene göre kısmi türevler) sürekli olmasını gerektirir. Ayrıca, çok değişkenli zincir kuralı, türevlerin limit tanımları bağlamında nasıl göründüğünü de ifade edebilir. Daha fazla bilgi ve örnekler için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: Khan Academy'de "Çok Değişkenli Zincir Kuralında Tanımın Uygulanması" başlıklı video; derspresso.com.tr sitesinde "Zincir Kuralı" başlıklı makale.

Türev alma sırası önemlidir, çünkü farklı türev alma kuralları farklı sıralamalarla uygulanır. Örneğin, iki fonksiyonun çarpımının türevi, çarpanların türevlerinin toplamına eşittir: [f(x) g(x)]' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x). Bazı önemli türev alma kuralları: Sabit fonksiyonun türevi: Her zaman 0'dır. Üslü fonksiyonların türevi: Üs, terimin başında katsayı olarak yazılır ve üs 1 azaltılır. İki fonksiyonun toplamının türevi: Her bir fonksiyonun türevi ayrı ayrı alınır ve toplanır. Türev alma kurallarını doğru sırayla uygulamak, doğru sonuçları elde etmek için gereklidir.

Belirli integral, kalkülüsün temel teoremi gereği, türevin tersi olarak kabul edilir. Dolayısıyla, belirli integral türevin birinci konusu olarak ele alınabilir. Kalkülüsün temel teoremi, bir değişkenin önce integralinin, sonra türevinin alındığında veya tam tersi yapıldığında, değişkenin kendisinin elde edildiğini belirtir.

Avrupa finans piyasalarının temel kavramlarından bazıları şunlardır: Finansal piyasa türleri. Finansal varlıklar. Fon arz ve talep edenler. Aracı kurumlar. Düzenleyici ve denetleyici unsurlar. Ayrıca, faiz oranları, likidite, volatilite, risk ve getiri gibi kavramlar da Avrupa finans piyasalarında önemli yer tutar.

Türevde cos2x yerine ne yazılacağı sorgusuna yanıt bulunamadı. Ancak, cos2x'in türevi -2sin2x'tir. Türev hesaplamaları için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: derspresso.com.tr. forum.donanimhaber.com. youtube.com. bylge.com.

Kutupsal formda türev almak için kullanılan formül şu şekildedir: dy/dx = (r'(\theta)sinθ + r(θ)cosθ) / (r'(\theta)cosθ - r(θ)sinθ). Burada: r = r(θ) kutupsal denklemdir. r'(\θ) bu denklemin türevidir. θ parametre olarak kullanılır. Örnek: r(θ) = 2θ olmak üzere, r'(\θ) = 2 olduğunda türev formülü şu şekilde hesaplanır: dy/dx = (2sinθ + 2θcosθ) / (2cosθ - 2θsinθ). Bir kutupsal denklemin orijindeki türevini bulmak için: Formülde r = 0 koyarak aşağıdaki sonuca ulaşılır: dy/dx = (r'(\θ)sinθ) / (r'(\θ)cosθ) = tanθ.

Tunç Kurt'un "Türev" kitabı, kullanıcılar tarafından genel olarak olumlu değerlendirmeler almıştır. Bazı kullanıcılar, kitabın konuyu anlaşılır bir şekilde sunduğunu ve soru bankası hissi vermeden türev kavramını kavramaya yardımcı olduğunu belirtmiştir. Kitap hakkında daha fazla bilgi ve farklı kullanıcı yorumları için Hepsiburada, Trendyol gibi platformlardaki ürün değerlendirmeleri incelenebilir.

f'(x)=0, "f(x)'in türevi sıfırdır" anlamına gelir. Bu durum, sabit fonksiyonların türevi için geçerlidir. Örneğin, f(x) = 5 fonksiyonunun türevi f'(x) = 0'dır.

Cos(x) fonksiyonunun derece cinsinden türevi hakkında bilgi bulunamadı. Ancak, cos(x) fonksiyonunun türevi -sin(x) olarak ifade edilir. Trigonometrik fonksiyonların türevlerini hesaplamak için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: tr.wikipedia.org. calculatored.com.

Bir fonksiyonun artan olup olmadığını belirlemek için aşağıdaki kriterler kullanılabilir: Tanım kümesindeki her x1 ve x2 değeri için: x1 < x2 olduğunda f(x1) ≤ f(x2) ise fonksiyon artan veya azalmayan bir fonksiyondur. x1 < x2 olduğunda f(x1) < f(x2) ise fonksiyon kesin artan bir fonksiyondur. Türev testi: (a, b) aralığında sürekli ve türevli bir fonksiyon için, aralığın her x değeri için f'(x) > 0 ise fonksiyon artan bir fonksiyondur. Temel fonksiyonlardan bazıları ve artan oldukları aralıklar şu şekildedir: Doğrusal fonksiyon. Parabol. Üstel fonksiyon. Fonksiyonun artan olup olmadığını belirlemek için bir uzmana danışılması önerilir.

İntegral alırken kullanılan bazı türev kuralları şunlardır: Kuvvet kuralı. Sabit fonksiyonun integrali. Toplamın integrali. İntegral alma kuralları, türev alma kurallarına yakından bağlıdır. İntegral alma kuralları ve türev-integral ilişkisi hakkında daha fazla bilgi için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: derspresso.com.tr; acikders.ankara.edu.tr; evrimagaci.org.

Calculus'ta içbükeylik, bir eğrinin bükülme şeklini ve nasıl kıvrıldığını ifade eder. Bir fonksiyonun içbükeyliği, ikinci türevi ile belirlenir: İçbükey yukarı (convex): İkinci türev pozitiftir (f''(x) > 0). İçbükey aşağı (concave): İkinci türev negatiftir (f''(x) < 0). İçbükeylik, bir fonksiyonun kritik noktalarındaki davranışını ve eğrinin şeklini tahmin etmede yardımcı olur.

Tan ve cot türevleri, trigonometrik fonksiyonların türevleri konusunun bir parçasıdır. Trigonometrik fonksiyonların türevleri, kalkülüs konusunun 2. ünitesinde ele alınan 22. ders konusudur.

Sekantın türevi, tanjant ile sekantın çarpımına eşittir. Formül şu şekildedir: f'(x) = sec(x) · tan(x). Alternatif olarak, sekantın türevi, sinüs x’in kosinüs x’in karesine bölümü olarak da tanımlanabilir. f'(x) = sec(x) · tan(x) = 1/cos(x) · sen(x)/cos(x) = sen(x)/cos²(x). Ayrıca, zincir kuralı uygulanarak, bir fonksiyonun sekantının türevi, fonksiyonun sekantının çarpı fonksiyonun tanjantı çarpı fonksiyonun türevinin çarpımı olarak da bulunabilir.

E li ifadelerin (üstel fonksiyonlar) türevleri şu şekilde hesaplanır: f(x) = e^x fonksiyonunun türevi f'(x) = e^x'dir. f(x) = e^{g(x)} fonksiyonunun türevi f'(x) = e^{g(x)} · g'(x)'dir. Örneğin, f(x) = e^{2x^3 - x^2} fonksiyonunun türevi f'(x) = e^{2x^3 - x^2} · (2x^3 - x^2)' olarak hesaplanır. Üstel fonksiyonların türevleri, özel formüller gerektirir.

Köklü fonksiyonların türevi, kuvvet kuralı ve köklü ifadelerin türevi kurallarıyla bulunur. Kuvvet kuralı: Bu kurala göre, a üssüne sahip bir x değişkeninin türevi şu şekilde alınır: f'(x) = ax^a-1. Köklü ifadelerin türevi: Köklü ifadeler aslında üslü fonksiyonlar olduğundan, türevleri de üslü fonksiyon kuralıyla alınır.

X küpün türevi şu şekilde alınır: Fonksiyon: f(x) = x³. Türev: f'(x) = 3x². Bu, kuvvet kuralı kullanılarak yapılır; eğer f(x) = x^a ise, f'(x) = a x^(a-1) olur. Türev hesaplamaları için aşağıdaki çevrimiçi araçlar da kullanılabilir: mathgptpro.com; mathdf.com.