Türev

Türevin sıçraması, fonksiyonun uç noktalarında ve dikey asimptotların olduğu noktalarda gerçekleşir. Bunun nedeni, bu noktalarda fonksiyonun eğiminin sonsuza gitmesi ve değişim oranının tanımlanamamasıdır.

Mat 101 dersi, genellikle aşağıdaki konuları kapsar: 1. Limit: Fonksiyonların limiti ve süreklilik kavramları. 2. Türev: Türevin tanımı, genel türev alma kuralları ve türev uygulamaları. 3. İntegral: Belirli ve belirsiz integral, integral alma teknikleri. 4. Fonksiyonlar: Temel fonksiyonlar ve fonksiyon grafiği çizme. 5. Logaritmik Fonksiyonlar: Logaritmik fonksiyonların anlaşılması ve işlemler. Ayrıca, ders kapsamında problem çözme becerileri ve matematiksel analiz de önemli yer tutar.

1/x fonksiyonunun türevi, kuvvet kuralı kapsamında değerlendirilir.

Türevin fiziksel anlamı, bir fonksiyonun değişim hızını veya anlık eğimini ifade etmesidir. Bazı fiziksel bağlamlarda türevin anlamları: - Konum-zaman grafiğinde: Türev, anlık hızı verir. - Hız-zaman grafiğinde: Türev, ivmeyi gösterir. - Basit harmonik harekette: Trigonometrik fonksiyonların türevleri, hız ve ivme hesaplamalarında kullanılır.

Bir eğriye orijin noktasından çizilen teğetin eğimi, eğrinin x 0 noktasındaki türevine eşittir olarak gösterilir. Hesaplama adımları: 1. Fonksiyonun türevini hesaplayın. 2. Türevi, teğetin çizileceği x 0 değeri için değerlendirin. 3. Elde edilen değeri, y - y 0 = m(x - x 0) denkleminde eğim (m) olarak kullanarak teğet denklemini yazın.

İntegral ve türev, matematiğin iki temel kavramıdır. İntegral, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta toplam değişimini veya alanını bulmaya yarayan matematiksel bir işlemdir. Türev ise, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim oranını belirler. Bu iki kavram, birbirinin tersidir; bir fonksiyonun türevini alıp ardından integralini hesaplarsanız, fonksiyonun başlangıç haline geri dönebilirsiniz.

2. dereceden türev gösterimi için Leibniz gösterimi kullanılır ve şu şekilde ifade edilir: d²y/dx².

Türevin birkaç temel kuralı vardır: 1. Sabit Fonksiyonun Türevi: Sabit bir fonksiyonun türevi her zaman sıfırdır. 2. Kuvvet Kuralı: Üslü ifadelerin türevini almak için kullanılır ve formülü [x^n]' = n x^(n-1)'dir. 3. Çarpım Kuralı: İki fonksiyonun çarpımının türevini bulmak için kullanılır ve formülü [f(x) g(x)]' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)'dir. 4. Bölüm Kuralı: İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için kullanılır ve formülü [f(x) / g(x)]' = [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]^2'dir. Ayrıca, zincir kuralı ve L'Hopital kuralı gibi daha özel türev kuralları da bulunmaktadır.

2. türevde iç bükeylik ve dış bükeylik şu şekilde bulunur: 1. Fonksiyonun birinci ve ikinci türevleri hesaplanır. 2. İkinci türevin kökleri (ikinci türevi sıfır yapan noktalar) bulunur, yani f''(x) = 0 denklemi çözülür. 3. Aralıklar oluşturulur, kritik noktalar ve ikinci türevin kökleriyle. 4. Her aralıkta ikinci türevin işareti belirlenir: - İkinci türev pozitifse, fonksiyon bu aralıkta dışbükeydir. - İkinci türev negatifse, fonksiyon bu aralıkta içbükeydir.

Türevin "e" kısmı, üstel fonksiyonların türevini hesaplarken kullanılır ve bu fonksiyonların türevi e^x şeklindedir.

Hiperbolik fonksiyonların türevleri, temel türev kurallarına dayanarak bulunur. İşte bazı temel hiperbolik fonksiyonların türevleri: sinh(x) fonksiyonunun türevi cosh(x)'tir. cosh(x) fonksiyonunun türevi sinh(x)'tir. tanh(x) fonksiyonunun türevi sech²(x)'tir. coth(x) fonksiyonunun türevi -csch²(x)'tir. sech(x) fonksiyonunun türevi -sech(x) tanh(x)'tir. Türev hesaplamalarında ayrıca zincir kuralı, toplam kuralı ve çarpma kuralı gibi yöntemler de kullanılır.

Sec (sekant) ve tan (tanjant) fonksiyonlarının türevi, trigonometrik türevlerin temel kurallarından biridir. - Sec (sekant) fonksiyonunun türevi: `sec(x) tan(x)` şeklindedir. - Tan (tanjant) fonksiyonunun türevi: `sec²(x)` şeklindedir.

Yerel ve mutlak minimum noktaları şu şekilde ayırt edilir: 1. Yerel Minimum: Fonksiyonun artandan azalana yön değiştirdiği bir noktadır. 2. Mutlak Minimum: Fonksiyonun tanım aralığında aldığı en küçük değerdir.

Limit, türev ve integral konularının kaç günde biteceği, kişinin çalışma disiplinine, ön bilgisine ve çalışma hızına bağlı olarak değişir. Genel olarak: - Limit: 1-2 hafta. - Türev: Çalışma hızına bağlı olarak 2-3 hafta. - İntegral: Türevle birlikte ele alındığında 4-6 hafta. Ayrıca, her gün 5 saat çalışarak: - Limit-Süreklilik: 3 gün. - Türev: 9 gün. - İntegral: 8 gün sürer.

0/0 belirsizliği türevde, L’Hospital kuralı kullanılarak çözülür. Örnek bir çözüm: lim⁡x→0sin⁡(x)x\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} limitinde, 0/0 belirsizliği mevcuttur.

Kalkülüsün Temel Teoremi'nin birinci kısmı — bir integralin türevini bulmak için kullanılan teoremdir ve böylece türev ile integral arasındaki bağlantıyı tanımlar.

Cosx fonksiyonunun türevi -sinx'tir. Hesaplama adımları: 1. Cosx fonksiyonu, trigonometrik fonksiyonlardan biri olduğu için türevi hakkında bilinen sonuçları kullanmak gerekir. 2. Türev alırken, fonksiyonun sabit çarpanlarını da göz önünde bulundurmak gerekir. Örnek: f(x) = 3cosx olduğunda, türevi şu şekilde bulunur: f'(x) = 3 (-sinx) = -3sinx.

Fx türevini bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Fonksiyonun türevi hesaplanır. 2. Kritik noktalar belirlenir. 3. Türevin işaret tablosu oluşturulur. 4. İkinci türev bulunur. Bazı türev kuralları: - Sabit fonksiyonların türevi sıfırdır. - Sabit sayı ile çarpılmış bir fonksiyonun türevi alınırken, sabit sayı türevin dışına çıkarılır. - Üslü fonksiyonların türevi: [x^n]' = n x^(n-1).

Kök x'in türevi (√x)'in hesaplanması için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Fonksiyonun yazılması: √x fonksiyonu, kuvvet biçiminde x^0.5 olarak ifade edilir. 2. Kuvvet kuralının uygulanması: Kuvvet kuralına göre, bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun üssünün önüne çarpı olarak geçip üssün bir azalmasıyla elde edilir.

Karesi alınan fonksiyonun türevin türevi kuralı, iki fonksiyonun bölümünün türevi kuralına benzer şekilde hesaplanır. Eğer f(x) ve g(x) iki türevlenebilir fonksiyon ise ve g(x) ≠ 0 ise, f(x)'in karesinin türevi şu şekilde yazılır: f'(x) . g(x) - g'(x) . f(x) / [g(x)]².