Katlar

1'den 100'e kadar 3'ün katları 33 tanedir. Bu katlar şunlardır: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99.

8. sınıf çarpanlar ve katlar konusunun püf noktaları şunlardır: Çarpan (Bölen) Kavramı: Her pozitif tam sayı, iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Asal Çarpanlara Ayırma: Asal çarpanlarına ayırmak için sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sürekli asal sayılara bölünür. En Büyük Ortak Bölen (EBOB): İki doğal sayının EBOB'u, sayıları asal çarpanlarına ayırıp, her ikisini de bölen asal sayıların çarpımı ile bulunur. En Küçük Ortak Kat (EKOK): EKOK, tabanların aynı olanların üssü büyük olanlarıyla, aynı olmayanların çarpımı şeklinde yazılır. Bu konular hakkında daha fazla bilgi edinmek için YouTube, derslig.com ve pruvaakademi.com.tr gibi kaynaklar kullanılabilir.

EBOB (En Büyük Ortak Bölen) ve EKOK (En Küçük Ortak Kat) kuralları şu şekildedir: EBOB: İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. EKOK: İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. EBOB ve EKOK'u asal çarpanlar yardımıyla bulmak için: 1. Sayılar, en küçük asal sayıdan başlanarak 1 elde edilinceye kadar asal sayılara bölünür. 2. Her iki sayıyı da aynı anda bölen asalların çarpımı EBOB'u, tüm asalların çarpımı ise EKOK'u verir. Bazı özellikler: EBOB(a,b) = 1 ise a ve b sayıları aralarında asaldır. EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b. Birbirinin katı olan iki sayının EBOB'u küçük olan sayıya, EKOK'u ise büyük olan sayıya eşittir.

2 ve 6'nın ortak katları şunlardır: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, .... İki sayının ortak katlarını bulmak için, her bir sayının katlarını listelemek ve bu katlardan ortak olanları belirlemek gerekir.

3 ve 7'nin ortak katları şunlardır: 21, 42, 63, 84 ve 105.

3 ve 4'ün 100'e kadar olan ortak katları şunlardır: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. Bu sayılar sonsuza kadar devam eder.

4'ün katları 100'e kadar 25 tanedir. Bu katlar şunlardır: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.

320 sayısının ortak katları şunlardır: 320'nin katları: 320, 640, 960, 1280, 1600, 1920, 2240, 2560, 2880, 3200, .... Diğer sayılarla ortak katlar: 320'nin 240 ve 120 ile ortak katları arasında 960 bulunur. En küçük ortak kat (EKOK) hesaplamak için, sayıların asal çarpanlarını bulup, en yüksek sayıda bulunan faktörleri çarpmak gerekir.

Hacimde 10'un katlarını bulmak için, 10 sayısını herhangi bir pozitif tam sayı ile çarpmak yeterlidir. İlk birkaç 10'un katı şu şekildedir: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100.

OBEB (En Büyük Ortak Bölen) ve OKEK (En Küçük Ortak Kat) hesaplamak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: Asal Çarpanlarına Ayırma Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlar belirlenir. Ortak asal çarpanların en küçük üslü olanları çarpılır (OBEB için), tüm asal çarpanlar çarpılır (OKEK için). Bölme Yöntemi (EKOK için): Büyük sayı, küçük sayıya bölünür, kalan yazılır. Küçük sayı, kalan sayıya bölünür, kalan tekrar yazılır. Kalan sıfır olana kadar işlem tekrarlanır. Kalan sıfır olduğunda, sıfır öncesinde en son kalan sayı OKEK'tir. Katlar Yöntemi (OKEK için): Her sayının katları yazılır. Ortak olan en küçük kat OKEK'tir. Çevrimiçi Hesaplayıcılar: hesaplama.net; radyolojinet.com. Örnek: 18 ve 24 sayılarının OBEB ve OKEK'ini bulalım. OBEB (18, 24): 18 ve 24'ün ortak bölenleri {1, 2, 3, 6} kümesidir. OKEK (18, 24): 18 ve 24'ün katları sırasıyla 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, ... ve 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240, ... olarak bulunur.

8. sınıf matematik dersinde "Çarpanlar ve Katlar" konusu, genellikle 6. sınıfta öğrenilen bilgilerin tekrarı şeklinde başlar. Bu konudan sonra işlenecek bazı konular şunlardır: Asal Sayılar; En Büyük Ortak Bölen (EBOB); En Küçük Ortak Kat (EKOK); Aralarında Asal Sayılar.

İki doğal sayının ortak bölenleri ile ortak katlarını belirlemek için şu adımlar izlenebilir: 1. Ortak Bölenler: - Verilen doğal sayıların bölenlerini (aynı zamanda çarpanları olarak da adlandırılır) ayrı ayrı tespit edin. - Ortak olan bölenleri belirleyin. 2. Ortak Katlar: - Sayıların katlarını ayrı ayrı bulun. - Ortak olan katları belirleyin. Örnekler: Ortak Bölenler: 20 ve 30 sayılarının ortak bölenleri 1, 2, 5 ve 10'dur. Ortak Katlar: 3 ve 4 sayılarının ortak katları 12, 24, 36, 48, 60 sayılarıdır ve bu ortak katlar 60’ta sona ermez, sonsuza kadar devam eder. Bu konuda daha fazla bilgi ve örnek için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: derslig.com; cepokul.com; matematikdefterim.net.

7'nin katları ve 11'in katları aynı değildir, ancak bazı ortak katları vardır. 7'nin katları: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, .... 11'in katları: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, .... Ortak katları: 77, 154, 231, ....

20 ile 30 arasındaki 7'nin katı olan sayıların çarpımı 588'dir. Bu sonuca ulaşmak için: 1. 7'nin 20 ile 30 arasındaki katları bulunur: 21 ve 28. 2. Bu sayılar çarpılır: 21 × 28 = 588.

15'in katları şunlardır: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195, 210. Bu sayılar, 15'in üzerine her seferinde 15 eklenerek elde edilir.

12 ve 10'un ortak katları şunlardır: 60 120 180 240 300 360 Bu sayılar, 12 ve 10'un katlarının ortak olanlarıdır.

Hayır, bir sayının çarpanları ve katları aynı şey değildir. Çarpanlar (bölenler), bir doğal sayıyı tam bölen diğer doğal sayılardır. Katlar, bir doğal sayının herhangi bir doğal sayıyla çarpımı sonucu elde edilen sayılardır. Bir sayının çarpanları, o sayının katlarının da çarpanlarıdır, ancak bir sayının katları, o sayının çarpanlarının tümünü içermeyebilir.

225 sayısının katları şunlardır: 225 x 1 = 225; 225 x 2 = 450; 225 x 3 = 675; 225 x 4 = 900; 225 x 5 = 1125; 225 x 6 = 1350; 225 x 7 = 1575; 225 x 8 = 1800; 225 x 9 = 2025; 225 x 10 = 2250. Daha fazla kat için 225 ile diğer doğal sayıları çarpmak mümkündür.

Doğal sayılarda 25'in katı bulmak için 25 sayısı, 1'den büyük doğal sayılarla çarpılır. Örnekler: 25 × 1 = 25; 25 × 2 = 50; 25 × 3 = 75; 25 × 4 = 100. 25'in katları: 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, ....

Çarpma işleminde 5'in katları şu şekilde bulunur: 5 sayısının katlarını bulmak için toplama işlemi yapılır. 5 sayısının 3 katını bulmak için, üç adet beş sayısı toplanır. 5'in katlarından bazıları şunlardır: 5 10 15 20 25 30 35 40 Ayrıca, 5'in katları ile ilgili bilgi edinmek için matific.com sitesindeki "5'in katları" başlıklı içerik incelenebilir.