KarmaşıkSayılar

Reel olmayan sayılar, reel (gerçek) sayılar kümesinin dışında kalan sayılardır. Reel olmayan sayılara örnekler: İrrasyonel sayılar. Hayali sayılar. Tüm irrasyonel sayılar bir arada bulunamaz ve kesirli bir biçimde ifade edilemez.

Hayır, ln(0) işaretsiz karmaşık sonsuzluğa eşit değildir. ln(0), gerçek sayı sisteminde tanımsızdır ve sınırı pozitif taraftan sıfıra yaklaştığında negatif sonsuzluğa (−∞) yaklaşır. Karmaşık sayı sisteminde ise, ln(0) için karmaşık değerler vardır, ancak bu değerler gerçek sayıların ötesinde, daha ileri düzeydeki karmaşık analiz konularına girer.

Reel sayılarda, (-1) sayısının karekökü yoktur. Bunun nedeni, bir sayının karekökü alındığında sonucun her zaman pozitif olmasıdır. Bu tür karmaşık sayılar, sanal sayılar olarak adlandırılır ve matematikçiler tarafından i veya -i şeklinde gösterilir.

i'nin 4n kuvveti, n'in çift veya tek olmasına göre farklı sonuçlar verir: n çift olduğunda (4n+2): i'nin 4n+2 kuvveti -1'e eşittir. n tek olduğunda (4n+1 veya 4n+3): i'nin 4n+1 kuvveti 1, 4n+3 kuvveti ise -i'ye eşittir. Örneğin, i^8 = -1 (4n+2), i^9 = 1 (4n+1), i^11 = -i (4n+3).

Diskriminant (Δ) sıfırdan küçükse (Δ < 0), ikinci dereceden denklemin iki karmaşık kökü vardır. Bu kökleri bulmak için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Diskriminantı hesapla: Δ = b² – 4ac. 2. Karmaşık kök formülünü uygula: x = (-b ± √Δ) / 2a. Bu formülde, a denklemin katsayısı, b ikinci dereceli terimin katsayısı ve c sabit terimdir.

Karmaşık kökler, hayali sayılar içeren polinom denklemlerinin çözümleridir ve ayırt edilmeleri için aşağıdaki yöntemler kullanılır: 1. Diskriminant Değeri: İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı (D) sıfır olduğunda, iki kök de eşittir ve bu duruma çakışık kök denir. 2. Köklerin Grafiksel Temsili: Karmaşık kökler, karmaşık düzlemde grafiksel olarak temsil edilir; burada x ekseni köklerin gerçek kısmını, y ekseni ise hayali kısmını gösterir. 3. Hesaplama Araçları: Newton-Raphson yöntemi gibi karmaşık kök hesaplayıcıları, verilen bir polinom denkleminin tüm köklerini (gerçek ve karmaşık) bulmak için kullanılabilir.

Karmaşık sayıların kareleri neden negatiftir, çünkü karmaşık sayılar kümesinde karesi negatif değer veren sayılar vardır.

Diskriminant (Δ) 0'dan küçükse (Δ < 0), denklemin reel (gerçek) kökü yoktur. Ancak, denklemin her zaman iki kökü vardır; bu kökler karmaşık sayılardır ve birbirinin eşleniğidir.

Karmaşık sayının eşleniği, sayının sanal kısmının işaretinin tersine çevrilmesiyle bulunur. Formül: Z = a + bi ise, Z eşleniği = a - bi olur.

Polar formda çarpma işlemi, iki karmaşık sayının modüllerini (büyüklüklerini) çarparak ve açılarını toplayarak yapılır. Formül şu şekildedir: zw = r1r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]. Burada: - z ve w iki karmaşık sayıyı temsil eder; - r1 ve r2 bu sayıların modülleridir; - θ1 ve θ2 açılarıdır.

Sanal reel sayı, karmaşık sayıların bir alt kümesidir. Reel sayılar ise, hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içeren, sayı doğrusunda gösterilebilen tüm sayılardır.

Negatif bir sayının karekökü gerçek sayılar kümesinde tanımlı değildir. Ancak, karmaşık sayılar adı verilen sanal sayı kümesinde negatif sayıların karekökü bulunabilir.