Kalkülüs

Limite göre ters türev, bir fonksiyonun türevini alarak elde edilen yeni bir fonksiyondan, başlangıçtaki fonksiyonu geri elde etme işlemidir. Bu işlem, entegrasyon olarak da adlandırılır ve belirli bir fonksiyonun integralini hesaplamak için kullanılır.

X küpün (x³) türevi aşağıdaki adımlarla hesaplanır: 1. Fonksiyonu tanımlayın: f(x) = g(x)³ şeklinde tanımlayın, burada g(x) herhangi bir fonksiyondur. 2. Zincir kuralını uygulayın: Türev almak için zincir kuralını kullanarak f'(x) = 3g(x)² g'(x) formülünü elde edin. 3. g(x) ve g'(x) değerlerini yerleştirin: Belirli bir g(x) fonksiyonu için g(x) ve g'(x) değerlerini yerine koyarak f'(x) değerini hesaplayın. Örnek: g(x) = 2x + 1 fonksiyonu için: - g(x) = 2x + 1 - g'(x) = 2 - f'(x) = 3(2x + 1)² 2 = 6(2x + 1)².

Jacobian determinantinin hesaplanması için aşağıdaki adımlar izlenir: 1. Fonksiyonun Girilmesi: Hesaplanacak fonksiyon F(x, y) veya F(x, y, z) şeklinde Jacobian hesaplayıcısına girilir. 2. Değişkenlerin Belirlenmesi: Kısmi türevleri hesaplanacak değişkenler listelenir. 3. Kısmi Türevlerin Bulunması: Her bir değişkene göre birinci dereceden kısmi türevler hesaplanır. 4. Jacobian Matrisinin Oluşturulması: Türevler bir matris formatında düzenlenir. 5. Determinantın Hesaplanması: Jacobian matrisinin determinantı bulunur, bu değer koordinat dönüşümlerinde ve değişken değişiminde önemlidir. Jacobian determinantını hesaplamak için ayrıca numpy.linalg.det() fonksiyonu da kullanılabilir.

Türevde x'e göre türev almak, fonksiyonun bağımsız değişkeni olan x'in değişimine bağlı olarak bağımlı değişken y'nin değişim oranını hesaplamak anlamına gelir. x'e göre türev alma işlemi şu adımlarla yapılır: 1. Fonksiyonu tanımlamak: Türevi alınacak fonksiyon belirlenir. 2. Uygun türev kuralını seçmek: Fonksiyonun türüne göre (kuvvet kuralı, çarpım kuralı vb.) ilgili türev kuralı seçilir. 3. Kuralı uygulamak: Seçilen kural, fonksiyona uygulanır. 4. Sonucu sadeleştirmek: İşlem tamamlandıktan sonra elde edilen ifade gerekirse sadeleştirilir. Türev, matematiksel ifadelerde "dy/dx" şeklinde gösterilir ve buradaki "d" diferansiyeli, yani sonsuz küçük değişimi temsil eder.

İntegralde çarpım kuralı (zincir kuralı), bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon bulunması durumunda kullanılır. Bu kurala göre: ∫ f(g(x)) · g'(x) dx = F(g(x)) + C. Burada F(g(x)), dış fonksiyonun integralini ve C ise entegrasyon sabitini temsil eder.

Gama fonksiyonunun integrali, Γ(z), şu formülle hesaplanır: ∫₀∞ x⁽ˣ⁻¹⁾e⁻ˣ dx. Bu integral, Re(z) > 0 koşulu sağlandığında mutlak yakınsaktır. Örnek hesaplamalar: - Γ(1) değeri, z = 1 konularak bulunur: ∫₀∞ e⁻ˣ dx = 1. - Γ(2) değeri için z = 2 yazılır: Γ(2) = ∫₀∞ xe⁻ˣ dx ve bu integral, entegrasyon by parts yöntemiyle hesaplanır, sonuç yine 1'dir.

Kapalı bir fonksiyonun türevini bulmak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: 1. Klasik Türev Alma Kuralları: Temel türev alma kuralları, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri için geçerlidir. 2. Zincir Kuralı: Bir bileşke fonksiyonun türevini alırken kullanılır ve dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevini çarparak hesaplanır. 3. Parametrik Türev: Kapalı fonksiyon parametrik bir biçimde tanımlanmışsa, bu durumda parametrik türev alma teknikleri kullanılır. 4. Sayısal Türev: Analitik türev almak zor olduğunda, sayısal yöntemler kullanılarak türev yaklaşık olarak hesaplanır. Kapalı fonksiyonların türevini bulmak için ayrıca F(x, y) = 0 eşitliğinde her iki tarafın x'e göre türevi alınarak ve bulunan ifadede y yalnız bırakılarak da türev bulunabilir.

Secant (sec x) fonksiyonunun integrali şu şekilde bulunur: ∫ sec(x) dx = ln |sec(x) + tan(x)| + C, burada ln doğal logaritmayı, sec(x) sekant fonksiyonunu, tan(x) tanjant fonksiyonunu ve C sabit integrali temsil eder. Bu formül, sekant fonksiyonunun antiderivatifi olarak bilinir.

İntegralin temeli, kalkülüsün diğer ana dalı olan türev ile birlikte yatar. İntegral, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta toplam değişimini veya biriken değişim miktarını hesaplamak için kullanılır.

Riemann üst ve alt toplamları arasında şu ilişki vardır: herhangi bir kesitteki herhangi bir Riemann toplamı, bu toplamların arasında kalır.

Türevin temel kavramları, genellikle lise eğitimi sırasında öğrenilir.

İntegralin temel teoremi ile ilgili sorular genellikle şu adımları içerir: 1. Verilen diferansiyel denklemi çözmek: İntegralin temel teoremi, bir diferansiyel denklemin çözümünün, denklemin sürekli bir fonksiyon olması durumunda tek bir fonksiyon olduğunu belirtir. 2. Belirli integral hesaplamaları: Belirli integral, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta toplamını hesaplar ve kalkülüsün temel teoremi ile ilişkilidir. 3. Değişken değiştirme yöntemi: İntegral alma yöntemlerinden biri olan değişken değiştirme, daha karmaşık fonksiyonların integralini daha basit hale getirir. Örnek bir soru: "Denkleminin bir çözümünü bulun ve çözümün tekliğini ispat edin".

Mutlak değer fonksiyonu, türev alma kurallarından bölüm kuralına girer.

Sir Isaac Newton, kalkülüsü 1660'ların ortalarında, İngiltere'deki veba salgını nedeniyle karantinada kaldığı dönemde keşfetti. Newton, "fluxions" adını verdiği bir matematiksel yöntem geliştirdi. Ancak Newton, akademik çevrelerden gelecek olası eleştirilerden çekinerek bu çalışmalarını hemen yayınlamadı.

Arcsin ve arccos türevleri, kalkülüsün ters trigonometrik fonksiyonların türevleri konusunda yer alır.

Romberg integralinde, h adımının her iki katına çıkarıldığında, integral hesaplamalarında iki kat daha fazla terim dikkate alınır.

Fonksiyon çeşitleri ve özellikleri şu şekilde özetlenebilir: Fonksiyon Çeşitleri: 1. Doğrusal Fonksiyonlar: y = mx + b formülü ile ifade edilir, her x değeri için tek bir y değeri üretir. 2. Quadratik Fonksiyonlar: y = ax² + bx + c formülü ile tanımlanır, parabol şeklinde grafik oluşturur. 3. Kübik Fonksiyonlar: y = ax³ + bx² + cx + d şeklinde ifade edilir, üçüncü dereceden polinom olup en fazla üç köke sahip olabilir. 4. Üstel Fonksiyonlar: y = aⁿ formülü ile tanımlanır, büyüme veya azalma oranlarını modellemek için kullanılır. 5. Logaritmik Fonksiyonlar: y = logₐ(x) formülü ile tanımlanır, üstel fonksiyonların tersidir. 6. Trigonometrik Fonksiyonlar: Sinüs, kosinüs ve tanjant gibi fonksiyonlar, döngüsel ve periyodik özelliklere sahiptir. Fonksiyon Özellikleri: 1. Tanım Kümesi ve Değer Kümesi: Fonksiyonun tanım kümesi, girdi olarak alınan değerlerin kümesidir; değer kümesi ise çıktı olarak elde edilen değerlerdir. 2. Teklik ve Çokluk: Bir fonksiyon, her x değeri için yalnızca bir y değeri üretiyorsa "tekil", birden fazla y değeri üretiyorsa "çoklu" olarak tanımlanır. 3. Artan ve Azalan Fonksiyonlar: Artan fonksiyonlar, x değerleri arttıkça y değerlerinin de arttığı, azalan fonksiyonlar ise x değerleri arttıkça y değerlerinin azaldığı fonksiyonlardır. 4. Limit ve Süreklilik: Fonksiyonların limitleri, x'in belirli bir değere yaklaşırken y'nin neye yaklaşacağını tanımlar; süreklilik ise bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değerinin, o noktadaki limitine eşit olması durumudur. 5. Türev ve İntegral: Türev, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranını, integral ise bir fonksiyonun altında kalan alanı hesaplamak için kullanılır.

Belirli integralin türevi, o integralin içindeki fonksiyonun türevine eşittir.

İntegralde kolay çözülen ifadeler şunlardır: 1. Sabit Sayılar: Sabit sayılar, fonksiyon dışında bir faktör olarak kabul edildiğinde integral işlemine dahil edilebilir. 2. Toplam Kuralı: İki fonksiyonun toplamı alındığında, her bir terimin integrali ayrı ayrı hesaplanabilir. 3. Çarpan Kuralı (Zincir Kuralı): İç içe geçmiş fonksiyonların integralinde, dış fonksiyonun integrali alınır. 4. Üs Kuralı: Üs fonksiyonlarının integrali belirli bir formüle dayanır ve yaygın olarak kullanılır. Ayrıca, trigonometrik fonksiyonların integralleri için değişken değiştirme ve kısmi integrasyon gibi yöntemler de integrali kolaylaştırabilir.

Calculus 1 ve Calculus 2 arasındaki temel fark, ele aldıkları matematiksel konuların sırasıdır: - Calculus 1, genellikle diferansiyel kalkülüs olarak adlandırılır ve limit, türev ve integrasyonun temellerini içerir. - Calculus 2 ise integral kalkülüs olarak adlandırılır ve Calculus 1'in devamı niteliğindedir.