Mantık

Matematiksel mantık, biçimsel mantığın matematiğe uygulanmasıyla ilgilenen bir matematik dalıdır. Matematiksel mantığın temel konuları: biçimsel sistemlerin ifade gücü; biçimsel ispat sistemlerinin tümdengelim gücü. Matematiksel mantık şu alanlara ayrılır: küme teorisi; model teorisi; hesaplanabilirlik teorisi; ispat teorisi. Önerme, doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren cümledir. Bazı temel mantık sembolleri: Değil (¬); Ve (∙ veya Ù); Veya (∨). Matematiksel mantık, bilgisayar bilimi, felsefe ve dil bilimini birleştirir.

Analitik soru, verilen sorunlara mantıksal bir sonuca veya çözüme ulaşma yeteneğini test eden sorudur. Analitik sorular, her grup tek bir pasaja dayalı olacak şekilde gruplar halinde sunulur. Örnek bir analitik soru: > "8, 43, 11, 41, __, 39, 17, ... dizisinde eksik olan sayı nedir?". Doğru cevap: 43. Analitik sorular, genellikle şu tür konuları içerir: grafikleri, tabloları ve verileri analiz etme; sonuç çıkarma; tahminlerde bulunma. Ayrıca, mülakatlarda da analitik sorular sorulabilir.

P ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p'dir. Koşullu önermenin karşıtı, bileşenlerin sıralaması değiştirilerek elde edilir.

Ayrık matematikte ilk iki haftada işlenen konular, üniversiteye ve eğitim programına göre değişiklik gösterebilir. Ancak, genel olarak ilk iki haftada işlenen bazı konular şunlardır: Hafta 2: Toplama, çarpma sembolleri, fonksiyonlar, kümeler gibi genel matematik kavramları ve mantık kavramları: ve, veya, ise, ancak ve ancak.... Hafta 3: Mantık 2: Yüklem mantığı (predicate logic), varlıksal niteleyiciler, evrensel niteleyiciler, önermeleri olumsuzlaştırmak, De Morgan kuralı, totoloji. Ayrık matematik ders içerikleri hakkında daha detaylı bilgi için aşağıdaki kaynaklar kullanılabilir: academia.edu'da "Ayrık Matematik Ders Notları"; firism.com'da "Ayrık Matematik Giriş & Motivasyon"; temirlabs.com'da "Ayrık Matematik Ders Notları 2024".

Totolojik kıyas, mantıkta bir bileşik önermenin kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman doğru sonuç vermesi durumunu ifade eder. Totoloji, aynı zamanda bir şeyin gereksiz yere, ek bilgi içermeden tekrar edilmesi anlamında da kullanılır. Ayrıca, tartışmaya hiçbir şey katmayan, çok bariz bir iddia veya söylem için de totoloji terimi kullanılır.

"Platon Bir Gün Kolunda Bir Ornitorenkle Bara Girer" kitabı, felsefi kavramları esprilerle açıklayan, mizahın da felsefi bir içerik barındırdığını gösteren bir eserdir. Harvard'lı felsefe profesörleri Thomas Cathcart ve Daniel Klein tarafından yazılan kitap, 10 temel felsefe başlığını ele alır: 1. Metafizik. 2. Mantık. 3. Epistemoloji. 4. Etik. 5. Din felsefesi. 6. Varoluşçuluk. 7. Dil felsefesi. 8. Toplum ve siyaset felsefesi. 9. Görelilik. 10. Metafelsefe. Bu başlıkların her biri, pek çok alt başlığa ayrılmış ve üzerine yüzlerce tez yazılmış konulara dair temel farkındalık oluşturacak bilgileri iki-üç sayfada sunar. Kitap, Türkiye’de bazı üniversitelerde felsefe bölümlerinde ders konularına yardımcı olması amacıyla okutulmaktadır.

Bulanık mantık, 1965 yılında Prof. Dr. Lotfi A. Zadeh tarafından geliştirilen ve belirsizliklerin 0 ile 1 arasında değişen doğruluk dereceleri kullanılarak modellenmesine olanak tanıyan bir mantık yapısıdır. Temel ilkeleri: Üyelik dereceleri: Her bir nesnenin bir üyelik derecesi vardır ve bu derece, 0 ile 1 arasında herhangi bir değer olabilir. Esnek niteleyiciler: Kesin kümelerdeki ikili değişkenler (örneğin, sıcak-soğuk), bulanık kümelerde "biraz soğuk", "biraz sıcak" gibi esnek niteleyicilerle genişletilir. Süreklilik: Değişkenler, doğru ve yanlış arasındaki bir süreklilikte herhangi bir değer alabilir. Yaklaşık sonuçlar: Bulanık mantık, belirsizlik ortamında değerlendirme yaparak yaklaşık sonuçlar elde etmeyi sağlar.

Önermelerde ters döndürmenin özellikleri şunlardır: Tümel olumlu (A) önermenin ters döndürmesi: Yine tümel olumlu (A) bir önerme olur. Tümel olumsuz (E) önermenin ters döndürmesi: Tikel olumsuz (O) bir önerme olur. Tikel olumlu (I) önermenin ters döndürmesi: Yoktur. Tikel olumsuz (O) önermenin ters döndürmesi: Yine tikel olumsuz (O) bir önerme olur.

Tümelin en iyi örneği, ortak özellikleri paylaşan nesnelerin genel bir kategorisini ifade eden kavramlardır. Bazı tümel örnekleri: İnsan. Kuş. Memeliler. Tümel kavramı, ayrıca bilimsel sınıflandırmalarda, dil ve iletişimde, genelleyici yargılarda da kullanılır.

Tümdengelim (dedüksiyon) örnek cümleleri: Bütün insanlar ölümlüdür. Tüm balıklar denizde yaşar. Tüm sporcular antrenman yapar. Tüm arabalar dört tekerlidir. Karadenizliler mavi gözlüdür.

Aristo mantığının ilk ilkeleri şunlardır: 1. Özdeşlik ilkesi: Bir şey, kendisiyle aynıdır (A, A'dır). 2. Çelişmezlik ilkesi: Bir şey hem kendisi hem de başka bir şey olamaz (ya siyahtır ya beyazdır, ama ikisi birden olamaz). 3. Üçüncü hâlin imkânsızlığı ilkesi: Bir önerme ya doğru ya da yanlıştır, üçüncü bir ihtimal yoktur.

Prolog kelimesi, farklı bağlamlarda çeşitli anlamlar taşır: Genel anlam: Ön deyiş, başlangıç, giriş bölümü, önsöz. Tiyatro: Trajedi türündeki oyunlarda anlatıcının yer aldığı ilk bölüm. Sinema: Filmin en ilgi çekici sahnelerinden birini, henüz başında göstermek. Edebiyat: Roman ve öykü gibi eserlerde karakterlerin ve mekanların tanıtıldığı kısa giriş bölümü. Bilgisayar bilimi: Alain Colmerauer tarafından geliştirilen, mantıksal ve sembolik düşünmeye uygun bir programlama dili.

Mantıkta dağıtıcılık, kategorik önermelerdeki özne ve yüklem arasındaki ilişkiyi açıklamak için kullanılır. Tümel olumlu önermelerde, özne ve yüklem dağıtılmıştır. Tümel olumsuz önermelerde, özne ve yüklem birbirine göre tam olarak dağıtılmıştır. Tikel olumlu önermelerde, özne ve yüklem birbirine göre dağıtılmamıştır. Tikel olumsuz önermelerde, özne yükleme göre dağıtılmamışken, yüklem özneye göre dağıtılmıştır.

Gottlob Frege'nin savunduğu bazı görüşler şunlardır: Mantıkçılık: Frege, matematiğin mantığa indirgenebileceğini savunur. Aritmetiğin mantıksal temeli: Sayıların saf mantığa dayandığını ve aritmetiğin bir mantık biçimi olduğunu öne sürer. Dil felsefesi: Felsefi etkinliğin temelinin dil ve anlam analizi olması gerektiğini savunur. Kavram ve nesne ayrımı: Kavram ve nesne ayrımını geliştirir. Anlamın doğası: Bir ifadenin anlamının bireysel zihin durumlarına bağlı olmadığını, nesnel düşünce alanından türediğini iddia eder. Frege'nin çalışmaları, analitik felsefenin doğuşunu tetiklemiş ve Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein gibi birçok düşünürü etkilemiştir.

Evet, dedüksiyon ve tümdengelim aynı şeyi ifade eder. Tümdengelim (dedüksiyon), öncül bilgilerden yeni sonuçlar çıkarma işlemidir. Tümdengelim örnekleri: "Bütün çiçekler bitkidir." "Bütün güller çiçektir." "O hâlde bütün güller de bitkidir." "Tüm insanlar ölümlüdür, Sokrates bir insandır." "Öyleyse Sokrates ölümlüdür." Ancak, "tümdengelim" terimi, "dedüksiyon" terimini tam olarak karşılamaz.

Felsefede tutarlılık, bir düşünce sisteminin veya argümanlar zincirinin içsel mantıksal uyumunu ifade eder. TDK'ya göre tutarlılık, bütünlüğü bozmayacak şekilde uyumlu olmak, birbirleriyle çelişen davranışlar içerisinde olmamak demektir. Felsefede tutarlılık şu anlamlara da gelir: Bir önermenin geçerli ve doğru olarak kabul edilmesi için öncelikli olarak tutarlı olması gerekir. Bir binanın ayakta tutan çelik iskelet gibi, fikirlerin, inançların ve eylemlerin birbiriyle çelişmeden, mantıksal bir bütünlük içinde ilerlemesi. Bir filozofun ortaya koyduğu kavramların, ilkelerin ve sonuçların birbiriyle çelişmemesi, birbirini desteklemesi ve genel bir bütünlük arz etmesi. Felsefede tutarlılık, bir sistemin doğru ya da yanlış olduğunu göstermez.

Özdeşlik ilkesi, "A, A'dır" şeklinde ifade edilir ve bir akıl yürütmede her kavram ve önermenin kendisiyle aynı manada olması gerektiğini belirtir. Çelişmezlik ilkesi ise "A, A olmayan değildir" şeklinde ifade edilir ve bir şeyin aynı zamanda hem kendisi hem de başka bir şey olamayacağını belirtir. Bu ilkeler, doğru düşüncenin temel kuralları olarak kabul edilir ve mantık sistemlerinin temelini oluşturur.

Matematikte "ve" ve "veya" ifadeleri şu anlamlara gelir: Ve (Λ). Veya (V). Ayrıca, "veya" kelimesi, "ve" ve "ya da" kelimelerinin birleşiminden oluşur ve öncesinde yazılan ifade ile sonrasında yazılan ifadenin aynı anda iksinin de olabileceği veya sadece birinin de olabileceğini anlatır.

George Boole'un mantığı, Boole Cebiri olarak bilinir. Boole Cebiri'nin temel işlemleri: VE (∧). VEYA (∨). DEĞİL (¬). Boole Cebiri, modern sayısal bilgisayarlarda ve elektronik anahtarlı devrelerde kullanılmaktadır.

Ussal karar verme, iki veya daha fazla uygun alternatif arasından, mevcut gerçeklere göre ve hislerden arındırılmış mantıklı analizlerle en iyi olanı seçme sürecidir. Bu süreçte temel adımlar şunlardır: Amaçların belirlenmesi. Tüm seçeneklerin incelenmesi. En iyi olanın seçilmesi. Ussal karar verme modeli, yöneticilerin nasıl karar vermesi gerektiğini açıklayan klasik bir modeldir.