Trigonometri

Sinüs teoremi, geometrik ve trigonometrik ilişkilerin bir sonucu olarak doğrudur. Geometrik ispat: ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı r olsun. BO ve OC yarıçapları çizildiğinde, aynı yayı gören çevre ve merkez açılardan dolayı m(BOC) = 2m(A) olur. O merkezinden a kenarına yükseklik inildiğinde, BOC ikizkenar üçgen olduğundan yükseklik hem kenarortay hem de açıortay olur. O zaman BOH üçgeni, bir açısı m(BOH) = A derece olan dik üçgen olur. Sinüsün tanımı gereği, sin(BOH) = sin(A) = a/2r olur. Bu işlem düzenlendiğinde, a/sin(A) = 2r bulunur. Aynı işlem diğer kenarlar için de yapıldığında, sinüs teoremi kanıtlanmış olur. Trigonometrik ispat: Sinüs teoremi, bir üçgende her kenarın uzunluğu ile bu kenarın karşısındaki açının sinüs değeri arasındaki oranın üç kenar için de aynı olduğunu belirtir.

Sinüs (sin) değeri, bir dik üçgende ilgili açının karşısındaki kenarın uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıyla hesaplanır. Sinüs (sin) değerini bulmak için aşağıdaki siteler kullanılabilir: visualtrigonometry.com; rapidtables.org. Ayrıca, sinüs hesaplamaları için derece veya radyan cinsinden giriş açısı girilerek sonuç elde edilebilen mobil uygulamalar da mevcuttur.

Cos37'nin değeri 0,7986355'tir. Bu değer, 37° açısının kosinüs trigonometrik fonksiyonunun değerini ifade eder.

Taylor serisi sinx açılımı şu şekildedir: sinx = ∑∞n=0 (−1)n (2n+1)! x2n+1 Bu açılım, tüm x değerleri için geçerlidir. Örnek terimler: x - x³/3! + x⁵/5! - ⋯ Taylor serisi, bir fonksiyonun, o fonksiyonun terimlerinin tek bir noktadaki türev değerlerinden hesaplanan sonsuz toplamı şeklinde yazılmasıdır.

Arctan (ters teğet) hesaplamak için aşağıdaki yöntemler kullanılabilir: Çevrimiçi hesap makineleri. Hesap makinesi kullanımı hesaplamak için şu adımlar izlenir: 1. Shift + tan düğmelerine basılır. 2. Açı girilir. 3. = düğmesine basılır. Arctan formülü. Arctan fonksiyonu özellikleri. Periyodik olmama. Alan. Aralık. Simetri. Asimptotlar.

Cos 120 negatiftir çünkü 120° açısı, kosinüs fonksiyonunun negatif olduğu ikinci çeyrekte (90° ile 180° arasında) yer alır. Kosinüs, birim çember üzerindeki bir açının x koordinatını temsil eder ve ikinci çeyrekte x koordinatı her zaman negatiftir.

Kutupsal koordinat sistemi, iki koordinat kullanılarak bir düzlemdeki noktanın belirlenmesini sağlar. Bu koordinatlar: Yarıçap (r). Açısal koordinat (θ). Kutupsal koordinatları hesaplamak için kullanılan bazı formüller: Yarıçap (r). Açısal koordinat (θ). Kutupsal koordinatlardan Kartezyen koordinatlara dönüşüm için: x = r × cos(θ). y = r × sin(θ). Kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara dönüşüm için: r = √(x² + y²). θ = atan2(y, x). Kutupsal koordinat sistemi, iki boyutlu bir sistem olsa da, üç boyuta genişletilerek silindirik ve küresel koordinat sistemleri elde edilebilir.

11. sınıf trigonometride periyot, bir trigonometrik fonksiyonun grafiğinin, x ekseninde belirli bir aralıkta kendini tekrar etme süresi anlamına gelir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu: 2π radyandır. Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu: π radyandır. Periyot, fonksiyonun farklı dönüşümleri için belirli formüllerle hesaplanır.

El-Biruni'nin matematik alanında yaptığı bazı çalışmalar: Trigonometri: Trigonometrik fonksiyonlarda yarıçapın birim olarak kullanılmasını önermiş, sinüs ve kosinüs gibi fonksiyonlara ek olarak sekant, kosekant ve kotanjant fonksiyonlarını eklemiştir. Dağın yüksekliğini ölçme: Bir dağın yüksekliğini ölçmek için trigonometri kullanmış ve bu noktadan ufuk alçalması açısının ölçülmesi yoluyla meridyen yayı uzunluğunu hesaplamıştır. Boylam ve enlem hesaplamaları: İki nokta arasındaki boylam farkını enleme ve aradaki toplam uzaklığa dayanan bir formülle hesaplama yöntemini geliştirmiştir. Geometri ve botanik: Geometriyi botaniğe uygulamış ve bitki ve hayvanlarda üreme konularına eğilmiştir. El-Biruni'nin matematikle ilgili eserlerinin sayısı yetmiş civarındadır.

"Bütün sınıf kara tahtada coşar" ifadesi, trigonometrik fonksiyonların analitik düzlemin hangi bölgelerinde hangi işaretleri alacağını hatırlamak için kullanılan bir ezber yöntemidir. Bu yöntemde: Bütün kelimesi, birinci bölgeyi ifade eder ve bu bölgede kosinüs, sinüs, kotanjant ve tanjant pozitiftir. Sınıf kelimesi, ikinci bölgeyi ifade eder ve bu bölgede sadece sinüs pozitiftir. Kara tahtada ifadesi, üçüncü bölgeyi ifade eder ve bu bölgede sadece tanjant ve kotanjant pozitiftir. Çoşar kelimesi, dördüncü bölgeyi ifade eder ve bu bölgede sadece kosinüs pozitiftir.

Tan(A-B) formülü, açı farkı için teğet fonksiyonunun değerini bulmak amacıyla trigonometride kullanılan bir formüldür. Tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB) şeklinde ifade edilir.

Türevde tan ve cot kuralları, tanjant (tan) ve kotanjant (cot) fonksiyonlarının türevlerini ifade eder. Tanjant (tan) fonksiyonunun türevi: tan'(x) = sec²(x). sec²(x) = 1 + tan²(x) şeklinde de yazılabilir. Kotanjant (cot) fonksiyonunun türevi: cot'(x) = -csc²(x). csc²(x) = -1 - cot²(x) şeklinde de yazılabilir. Bu kurallar, trigonometrik fonksiyonların türevlerini hesaplamak için kullanılır.

Tan 0 ve tan 90 değerleri şu şekildedir: - Tan 0 = 0. - Tan 90 = Tanımsız (undefined).

Cos 150 derece, trigonometrik olarak kosinüs fonksiyonudur. Ancak, 150 derece açısı, kosinüs fonksiyonunun tanımsız olduğu bir açıdır, çünkü kosinüs fonksiyonu 90° ile 180° arasındaki açılarda negatiftir.

Trigonometrinin en zor formülü olarak genellikle trigonometrik fonksiyonlar ve kimlikler gösterilir. Trigonometrinin zor formülleri arasında spesifik bir örnek vermek gerekirse, Batlamyus teoremi ve Lagrange trigonometrik özdeşlikleri sayılabilir. Trigonometride zor formüllerin belirlenmesi kişisel yorumlara bağlı olarak değişebilir.

Diziler konusunun kaç günde biteceği, öğrencinin bilgi seviyesine, çalışma hızına ve harcadığı zamana bağlıdır. Temel diziler kavramlarını anlamak bir ila iki gün sürebilir. Ayrıca, 2014 yılında FrmTR forumundaki bir kullanıcı, diziler konusunun 20 saatlik bir çalışmayla bitirilebileceğini belirtmiştir. Bu süreler tahminidir ve bireysel faktörlere bağlı olarak değişebilir.

Sinüs değeri kök 3/2 olan açı 60°'dir. Sinüs değeri ile açı arasındaki ilişki, üçgenin kenar uzunlukları ve açıları bilinerek diğer kenar ve açıların hesaplanmasını sağlayan trigonometrik fonksiyonlar sayesinde kurulur.

Cos2x = 1 - 2sin²x ifadesi, trigonometrik bir kimliktir. Bu kimlik, cos2x'in nasıl 1 - 2sin²x olarak bulunacağını gösterir. Adımlar: 1. cos2x = cos²x - sin²x. 2. cos²x + sin²x = 1 olduğu için, cos²x yerine 1 - sin²x yazılabilir. 3. cos2x = 1 - sin²x - sin²x = 1 - 2sin²x.

Tan(a+b) bulmak için kullanılan formül şöyledir: tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a·tan b) Bu formülde a ve b, açıları ifade eder. Formülü uygulamak için şu adımlar takip edilebilir: 1. A ve B açılarının değerlerini belirleyin. 2. A ve B açılarının bireysel tanjant değerlerini bir hesap makinesi veya referans tablosu kullanarak hesaplayın. 3. Hesaplanan tanjant değerlerini, tan(A + B) = (tan(A) + tan(B))/(1 - tan(A) tan(B)) formülünde yerine koyun. 4. İfadeyi değerlendirerek tan(A + B) değerini bulun. Örneğin, tan(30° + 45°) değerini bulmak için: 1. A = 30° ve B = 45° değerlerini belirleyin. 2. Hesap makinesi kullanarak tan(30°) ≈ 0,577 ve tan(45°) ≈ 1 değerlerini bulun. 3. Formülü uygulayın: tan(30° + 45°) = (tan(30°) + tan(45°))/(1 - tan(30°) tan(45°)). 4. İşlemi tamamlayın: tan(30° + 45°) = (0,577 + 1)/(1 - 0,577 1) = 1,577/0,423 ≈ 3,732. Tan(a+b) formülü, açıların doğrudan hesaplanması yerine, daha basit açıların toplamı olarak ifade edildiğinde kullanılabilir.

Üst ve alt geçit yüksekliğinin nasıl ölçüldüğüne dair bilgi bulunamadı. Ancak, geçitlerle ilgili bazı yükseklik değerleri şunlardır: Ray üst seviyesi ile üst geçit köprüsü döşemesi altı arasındaki yükseklik: Normal hatlarda en az 5,00 m, elektrikli hatlarda ise 5,64 m olmalıdır. Üst geçit yüksekliği: Yaya üst geçitlerinde, demir yolu üst kenarından kiriş alt başlığına kadar olan yükseklik 7,4 m'dir. Geçitlerin yüksekliğinin ölçülmesi için kullanılan yöntemler hakkında bilgi bulunabilecek bir kaynak olarak "Yüksekliklerin Ölçülmesi - Nivelman" başlıklı web sitesi önerilebilir.