Trigonometri

11. sınıf trigonometride periyot, bir fonksiyonun kendini tekrar etme süresini ifade eder. Bazı trigonometrik fonksiyonların periyotları: - Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu 2π'dir. - Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının periyodu ise π'dir.

Biruni, matematik alanında birçok önemli katkı sağlamıştır: 1. Trigonometri: Trigonometrik fonksiyonlarda yarıçapın bir birim olarak kabul edilmesini öneren ilk kişidir ve sinüs, kosinüs gibi fonksiyonlara sekant, kosekant ve kotanjant fonksiyonlarını eklemiştir. 2. Geometri: Bir dağın yüksekliğini ölçerek, bu noktadan ufuk alçalması açısının ölçülmesiyle meridyen yayı uzunluğunu hesaplamıştır. 3. Aritmetik ve Cebir: "Kitâb el-Tahdîd" adlı eserinde aritmetik, geometri ve cebir konularını ele almış, rasyonel ve irrasyonel sayılar arasındaki farkı tanımlamış ve ikinci dereceden denklemlerin geometrik çözümlerini sunmuştur. 4. Saat Bölümü: Saati 60 dakikaya ve her dakikayı 60 saniyeye bölen ilk kişi olmuştur.

Arctan (ters tanjant) fonksiyonu, bir açıyı tanjant oranına göre hesaplamak için kullanılır. Arctan'ın hesaplanması için genel formül: `arctan(x) = tan⁻¹(x)` şeklindedir. Örnek hesaplama: `arctan(1)` değerini bulmak için: 1. Trivial kimlik kullanılarak `arctan(1) = π/4` elde edilir.

"Bütün sınıf kara tahtada coşar" ifadesi, trigonometri formüllerinde hangi bölgede hangi fonksiyonların pozitif olduğunu hatırlamak için kullanılan bir şifreleme yöntemidir. Bu şifrelemeye göre: - Bütün kelimesi, 1. bölgede kosinüs, sinüs, kotanjant ve tanjantın hepsinin pozitif olduğunu ifade eder. - Sınıf kelimesi, 2. bölgede sadece sinüsün pozitif olduğunu belirtir. - Kara tahta ifadesi, 3. bölgede sadece kotanjant ve tanjantın pozitif olduğunu anlatır. - Coşar kelimesi ise 4. bölgede sadece kosinüsün pozitif olduğunu hatırlatır.

Taylor serisi sinx açılımı, sinüs fonksiyonunun x etrafında Taylor serisi olarak ifade edilmesidir ve şu şekilde yazılır: sin(x) = x – (x³ / 3!) + (x⁵ / 5!) – (x⁷ / 7!) + .... Bu sonsuz seride, her terim artan kuvvetlerde x ve alternatif işaretlerle devam eder.

Cos 120° negatiftir çünkü bu açı, trigonometrik fonksiyonların negatif olduğu ikinci quadrantta yer alır.

Polar koordinat sisteminde bir noktanın hesaplanması, iki değerin belirtilmesiyle yapılır: r (yarıçap) ve θ (açı). 1. r'nin hesaplanması: Noktanın orijinden olan uzaklığı, x ve y koordinatlarının karelerinin toplamının karekökü alınarak bulunur. 2. θ'nın hesaplanması: Açının değeri, y koordinatının x koordinatına oranının tanjantı alınarak bulunur. Örneğin, (3, 4) noktasının polar koordinatlara dönüştürülmesi: 1. r = √(3² + 4²) = √25 = 5. 2. θ = tan(4/3) ≈ 45°. Bu durumda, noktanın polar koordinatları (5, 45°) olur.

Trigonometride en zor formül olarak kabul edilebilecek tek bir formül yoktur, çünkü bu, kişisel tercihlere ve zorluk seviyesine göre değişebilir. Ancak, trigonometride bazı karmaşık ve zor formüller şunlardır: Trigonometrik denklemlerin çözümleri. Dönüşüm formülleri. Toplam ve fark formülleri.

15 ve 75 derecenin karşısındaki kenarları bulmak için 15-75-90 üçgeninin kenar oranlarından yararlanılabilir: - Eğer 15 derecelik açının karşısı 1 birimse, 75 derecelik açının karşısı √3 + 2 birim olur. - Hipotenüs (en uzun kenar) ise 8 + 4√3 olur. Ayrıca, bu kenarları bulmak için trigonometrik oranlar da kullanılabilir: - Sin(15°) = a / c denkleminden a = c Sin(15°). - Cos(15°) = b / c denkleminden b = c Cos(15°).

Ters trigonometrik fonksiyonlar, 11. sınıf matematik müfredatında yer almaktadır.

Dizilerin konusu, kişinin bilgi seviyesine, çalışma hızına ve harcadığı zamana bağlı olarak değişir. Genel olarak: - Trigonometri ve logaritma konularını öğrenmek 1-2 gün sürebilir. - Diziler konusunu öğrenmek ise 1-2 gün arasında tamamlanabilir. Dizilerin bir bölümünün çekimi ise haftalar alabilir, çünkü her sahnenin çekimi büyük bir hazırlık gerektirir.

Tan(A-B) formülü şu şekildedir: tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB).

Arcsin(1/2) = π/6 derece.

Sinüsü kök 3 olan açı, 60 derecedir.

Tanjant (tan) fonksiyonunun 0 ve 90 derecelik açılardaki değerleri şu şekildedir: - Tan 0 = 0. - Tan 90 = tanımsız (undefined).

Cos ve sin fonksiyonları, 90° açısında eşittir.

Sin(90) = 1 çünkü bir açının sinüsü, o açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır ve bu durumda her iki kenar da aynı uzunluğu (1) ifade eder.

Tan(a + b) formülü, iki açının toplamının tanjantını bulmak için kullanılır ve şu şekilde ifade edilir: tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a · tan b).

Türevde tan (tangent) ve cot (cotangent) kuralları şu şekildedir: 1. Tanjant (tan) türevi: `tan(x)` fonksiyonunun türevi `sec²(x)`'dir. 2. Kotanjant (cot) türevi: `cot(x)` fonksiyonunun türevi `-csc²(x)`'dir.

Üst ve alt geçit yüksekliği şu yöntemlerle ölçülür: 1. Geometrik Nivelman: Bu yöntemde, yatay bir gözlem düzlemi oluşturulur ve bu düzlem ile geçit noktasının düşey uzaklığı ölçülür. 2. Trigonometrik Yöntem: Geçit noktasının yüksekliği, bir açının trigonometrik fonksiyonu kullanılarak hesaplanır. Ayrıca, geçitlerin yapı gabarisi, yani köprü altındaki boşluk, demir yolu araçlarının geçebilmesi için en az belirli bir yükseklikte olmalıdır.