Aziz Babuşçu, halen müşavirlik yapmaktadır. Marmara Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İktisat Bölümü mezunu olan Babuşçu, 2004 yerel seçimlerinde İstanbul Büyükşehir Belediye Meclisi üyeliğine seçilmiş ve çeşitli komisyonlarda başkanlık ve başkanvekilliği gibi görevler üstlenmiştir. 2006 yılında AK Parti İl Yönetim Kurulu Üyesi ve İl Başkan Yardımcısı olarak atanan Babuşçu, Nisan 2007 ile Şubat 2015 tarihleri arasında AK Parti İstanbul İl Başkanı olarak görev yapmıştır. 7 Haziran ve 1 Kasım 2015 seçimleri ile 24 Haziran 2018 seçimlerinde İstanbul 2. bölgeden milletvekili seçilen Babuşçu, evli ve dört çocuk babasıdır.