Aziz Babuşçu, halen müşavirlik yapmaktadır .
Marmara Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi İktisat Bölümü mezunu olan Babuşçu, 2004 yerel seçimlerinde İstanbul Büyükşehir Belediye Meclisi üyeliğine seçilmiş ve çeşitli komisyonlarda başkanlık ve başkanvekilliği gibi görevler üstlenmiştir .
2006 yılında AK Parti İl Yönetim Kurulu Üyesi ve İl Başkan Yardımcısı olarak atanan Babuşçu, Nisan 2007 ile Şubat 2015 tarihleri arasında AK Parti İstanbul İl Başkanı olarak görev yapmıştır .
7 Haziran ve 1 Kasım 2015 seçimleri ile 24 Haziran 2018 seçimlerinde İstanbul 2. bölgeden milletvekili seçilen Babuşçu, evli ve dört çocuk babasıdır . Aynı zamanda İngilizce bilmektedir .