Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik eğitmeni tarafından sunulan limit ve süreklilik konularında soru çözümlerini içeren bir eğitim içeriğidir.
- Videoda, 2003 yılından günümüze kadar çıkmış sınav soruları çözülmektedir. İçerik, LYS ve AYT sınavlarından limit ve süreklilik konularındaki soruları kapsamakta olup, fonksiyonların sürekliliği, limit değerlerinin hesaplanması, belirsizlik durumlarının ortadan kaldırılması gibi konular ele alınmaktadır. Eğitmen, her soruyu adım adım çözerek farklı çözüm yöntemlerini göstermektedir.
- Videoda ayrıca limitin varlığı için sağdan-soldan yaklaşım yöntemleri, L'Hospital kuralı, çarpanlara ayırma, değişken değiştirme ve trigonometrik fonksiyonların yarım açı formülleri gibi teknikler de açıklanmaktadır. İçerikte 21 sorudan oluşan bir PDF bonus olarak sunulmakta ve 1984-1989 yıllarındaki eski sınav soruları da çözülmektedir.
- 00:09Giriş ve Video İçeriği
- Video, son onbeş yılın limit ve süreklilik sorularını çözecektir.
- Sorular, son onbeş yılda iki basamak sınavında çıkan sorular ve son üç yıldaki AYT'lerde çıkan soruların birleşiminden oluşmaktadır.
- 2018 yılından itibaren limit ve süreklilik konusu ile ilgili müfredat daraltılması yapılmış ve 2013 yılından itibaren soruların zorlaştığı belirtilmiştir.
- 01:062006 ÖSS Sorusu
- Soruda mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanmaktadır.
- Sağdan limit hesaplanırken mutlak değer kaldırılarak 1 değeri bulunur.
- Soldan limit hesaplanırken mutlak değer kaldırılarak -1 değeri bulunur ve a-b=2 olarak cevap elde edilir.
- 02:522008 ÖS Sorusu
- Fonksiyonun grafiği verilmiş ve üç limit toplamı istenmektedir.
- Limit değerleri grafikten okunarak -4, 0 ve 3 olarak bulunur.
- Toplam limit değeri -1 olarak hesaplanır.
- 04:122009 ÖSS Sorusu
- Mutlak değerli ifade içeren bir limit hesaplanmaktadır.
- Mutlak değer kaldırılarak limit değeri -2 olarak bulunur.
- 05:312010 LYS Sorusu
- Fonksiyonun grafiği verilmiş ve limit değerleri istenmektedir.
- x eksi sonsuza giderken limit değeri 2 olarak bulunur.
- Fonksiyonun sürekli olduğu yerde limit değeri fonksiyon değerine eşittir.
- 06:392012 LYS Sorusu
- Bir fonksiyonun limit değerleri hesaplanmaktadır.
- Limit değerleri 1 ve 2 olarak bulunur.
- Toplam limit değeri 3 olarak hesaplanır.
- 08:382012 LYS Süreklilik Sorusu
- Bir fonksiyonun gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu belirtilmiş ve a-b farkı istenmektedir.
- Süreklilik için gerekli şartlar: fonksiyonun tanımlı olması, limitinin olması ve limitin fonksiyon değerine eşit olmasıdır.
- Süreklilik şartları kullanılarak a=-2 ve b=2 bulunur, a-b=-4 olarak cevap elde edilir.
- 11:38Süreklilik Problemi Çözümü
- 2013 LYS sınavında çıkmış ve öğrencilerin çoğunun boş bıraktığı bir süreklilik sorusu inceleniyor.
- f+g fonksiyonunun x=1 noktasında sürekli olması için limit x→1+ f(x)+g(x) = limit x→1- f(x)+g(x) = f(1)+g(1) olması gerekir.
- A şıkkı için limit x→1+ g(x) = -1, limit x→1- g(x) = 1 ve g(1) = 2 olduğundan süreklilik şartı sağlanıyor ve doğru cevap A şıkkıdır.
- 15:04Fonksiyon Kompozisyonu Problemi
- 2014 LYS'de verilen f(x) fonksiyonunun grafiği kullanılarak g(f(2)) değeri bulunuyor.
- f(2) değeri grafiğe bakılarak bulunuyor ve g fonksiyonunun limit bilgileri kullanılarak hesaplanıyor.
- Sonuç olarak g(f(2)) = -2 olarak bulunuyor.
- 16:16Limit Problemi Çözümü
- 2014 LYS'de çıkmış bir limit sorusu iki farklı yöntemle çözülüyor: t dönüşümü ve L'Hospital kuralı.
- t dönüşümü yönteminde x+1=t dönüşümü uygulanarak limit t→2 f(t-3)/(t-2) = 2 olarak bulunuyor.
- L'Hospital kuralı yönteminde belirsizlik durumu oluştuğu için pay ve paydanın ayrı ayrı türevleri alınarak limit değeri 7 olarak bulunuyor.
- 21:36Eşitsizlik Problemi
- 2017 LYS'de çıkmış bir eşitsizlik sorusunda f fonksiyonunun görüntüleri 1 ile 2 arasında olduğu belirtiliyor.
- Birinci öncülde limit x→1 f(x) = 1 olduğunu iddia ediyor.
- Grafiğe bakılarak limit x→1+ f(x) = 2 ve limit x→1- f(x) = 1 olduğu görülüyor, bu da sağ ve sol limitin eşit olmadığı ve limitin olmadığı anlamına geliyor.
- 23:20Limit Problemleri ve Öncüller
- Limit x bir 'e sağdan ve soldan yaklaşıldığında, limitlerin eşit olmadığı gösterilerek limitin olmadığını kanıtlamışız.
- Mutlak değerli ifadelerde, fonksiyonun pozitif olduğu durumlarda mutlak değeri kaldırarak limitin varlığını göstermişiz.
- Doğru cevap yalnızca üçüncü öncül olmuştur.
- 24:52Fonksiyonların Limitleri
- Fonksiyonların iki 'deki limitleri l olduğunda, f(2) ve g(2) değerlerinin eşit olup olmadığı her zaman garantilenmez.
- Limit işleminin özellikleri ile ilgili teoremler, limit(f+g) = limit(f) + limit(g) ve limit(f-g) = limit(f) - limit(g) şeklinde ifade edilir.
- Limit(f/g) = limit(f) / limit(g) özelliği, limit(g) sıfır olduğunda geçerli değildir.
- 30:17Süreklilik Problemi
- B fonksiyonu gerçel sayılarda sürekli olduğundan, kritik noktalarında süreklilik şartları sağlanmalıdır.
- Sıfıra sağdan ve soldan limitlerin eşit olması ve f(0) ile eşit olması gerekir.
- Üçe sağdan ve soldan limitlerin eşit olması ve f(3) ile eşit olması gerekir.
- a ve b değerleri bulunarak a+b toplamı 8 olarak hesaplanmıştır.
- 32:28Limit Hesaplama
- Limit x iki 'ye giderken ve üç 'e giderken f(x) fonksiyonlarının limitleri hesaplanmıştır.
- Limit x iki 'ye giderken f(x) = -1/2, limit x üç 'e giderken f(x) = 1 olarak bulunmuştur.
- İki limitin toplamı 1/2 olarak hesaplanmıştır.
- 34:01Süreklilik Problemi
- f fonksiyonunun sürekli olmadığı yalnızca bir nokta vardır.
- Parçalı fonksiyonda süreklilik durumları incelenmektedir.
- Fonksiyonun 1 ve 5 noktalarında sürekliliği araştırılacaktır.
- 34:34Fonksiyonun Sürekliliği ve Limit Problemi
- Fonksiyonun x=1'de sürekli, x=5'te sürekli olmayan durumları inceleniyor.
- a değerinin 2 olduğu durumda hem x=1'de hem de x=5'te sürekli olduğu tespit edildi.
- a=8 olduğunda x=1'de sürekli olmadığı, x=5'te sürekli olduğu ve f(7)=5 olduğu bulunuyor.
- 40:04Limit Değerlerinin Bulunması
- x=2'de limit değeri 3 olarak bulunuyor, ancak fonksiyon bu noktada sürekli değildir çünkü f(2)=4'tür.
- x=3'te limit değeri yoktur çünkü sağdan ve soldan limit değerleri eşit değildir.
- x=4'te limit değeri 1 olarak bulunuyor ve bu noktada fonksiyon tanımlı değildir.
- 43:19Trigonometrik Limit Problemi
- Limit sorularında ilk adım, limitin gittiği değeri ifadede yerine yazmaktır.
- cos(90) ve sin(x) ifadeleri yerine konulduğunda belirsizlik elde edilir.
- Yarım açı formülleri kullanılarak belirsizlik ortadan kaldırılarak limit değeri 1/2 olarak bulunur.
- 45:19Köklü İfadelerde Limit Problemi
- Soru limit konusu bilgileri kullanılarak ve türev yardımıyla iki farklı yoldan çözülecektir.
- Limitin gittiği x değeri ifadede yerine yazılıp, köklü ifadeler hesaplanmaktadır.
- Hesaplama sonucunda belirsizlik elde edilir.
- 46:07Belirsizlik Sorununun Çözümü
- Belirsizlik sorununu çarpanlara ayırma yöntemiyle çözmek için x üzeri altı değişken değiştirmesi yapılmaktadır.
- Limit x altmışdört'e giderken ifade, x üzeri altı yerine t değişkeniyle ifade edilir ve köklü sayı bilgisi kullanılarak düzenlenir.
- İfade çarpanlara ayrılarak t-2 ifadeleri sadeleştirilir ve limit değeri 3'te 1 olarak bulunur.
- 48:37Türev Yöntemiyle Çözüm
- Belirsizlik sorununun ikinci çözüm yöntemi olarak türev bilgileri kullanılır.
- Belirsizliklerde payın ve paydanın ayrı türevini alarak belirsizliği ortadan kaldırma kuralı uygulanır.
- Pay ve paydanın türevleri alınarak limit değeri 3'te 1 olarak bulunur.
- 51:37Bonus Soru
- 1993 ÖYS sınavından çıkmış bir bonus soru incelenir.
- Limit sorularında yapılacak ilk şey, limitin gittiği değerin ifadede yerine yazmasıdır.
- Soruda belirsizlik yoktur, limit değeri 0 olarak bulunur.
- 52:41Limit Sorularının Çözümü
- Müfredatta sonucu artı veya eksi sonsuza giden limit sorularına değinilmemesi gerektiği belirtilmiştir, ancak şıkların hepsi reel sayı olduğunda bu kural geçersiz kalabilir.
- Limit sorularında ilk adım, limitin gittiği x değerini ifadede yerine yazmaktır.
- Sayı bölü sonsuz ifadesi sıfıra eşittir.
- 53:45Sonsuz Kuvvetlerin Değerlendirilmesi
- Beş üzeri eksi sonsuz, bir bölü beş üzeri sonsuz olarak yazılabilir ve bu ifade sıfıra yaklaşır.
- Bir artı sıfır eşittir bir, toplamda iki olarak limit değeri bulunur.
- 54:47Süreklilik Kavramı
- Bir fonksiyonun tanım kümesindeki bir x değeri için sürekli olabilmesi için limit x giderken f(x) ile f(x) değerinin eşit olması gerekir.
- Parçalı fonksiyonlarda süreklilik araştırırken sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.
- Süreklilik koşulundan n=4 değeri bulunur.
- 56:21Trigonometrik Limit Sorusu
- Limit sorularında ilk adım, limitin gittiği x değerini ifadede yerine yazmaktır.
- Belirsizlik durumunda trigonometrik formüller kullanılabilir, örneğin yarım açı formülleri.
- Kosinüs 2x = 1 - 2sin²x ve sin 2x = 2sinx cosx formülleri kullanılarak belirsizlik ortadan kaldırılır ve limit değeri -1/4 olarak bulunur.