Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitim içeriği olup, bir eğitmen tarafından Laplace dönüşümü konusunda örnek bir soru çözümü sunulmaktadır.
- Videoda, t'nin Laplace dönüşümünün 1/s² olduğunu ispatlamak için adım adım çözüm gösterilmektedir. Eğitmen önce Laplace dönüşümünün integral formülünü hatırlatarak başlar, ardından genelleştirilmiş integrali limitle ifade eder ve kısmi integral yöntemi kullanarak integrali çözer. Video, Laplace dönüşümünün sınavlarda sorulma riski olduğu için kısmi integrali iyi bilmek gerektiğini vurgulayarak, sonucun 1/s² olduğunu göstererek sonlanır.
- 00:01Laplace Dönüşümü Örnek Sorusu
- Video, Laplace dönüşümüne bir örnek soru inceleyecektir.
- Soru: t'nin Laplace dönüşümü eşittir 1/s² eşitliğinin doğruluğunu ispatlayınız.
- Laplace dönüşümünün integral formülüne başvurarak ispat yapılacaktır.
- 00:24Laplace Dönüşümünün İntegral Formülü
- f(t)'nin Laplace dönüşümü sıfırdan sonsuza f(t) çarpı e üzeri eksi s t dt'dir.
- Sonsuz içeren integraller genelleştirilmiş integrallerdir ve limite çevirerek yapılmalıdır.
- İntegral limiti a sonsuza giderken sıfırdan a'ya e üzeri eksi s t dt şeklinde yazılır.
- 01:38Kısmi İntegral Kullanımı
- İntegralde polinom ve üstel fonksiyonlar çarpım durumunda olduğundan kısmi integral kullanılır.
- Laplace dönüşümünde u olarak polinom (t) seçilir, geriye kalan her şey dv olur.
- Kısmi integral formülü: u çarpı v - integral içinde v do dt'dir.
- 03:50Kısmi İntegral Hesaplaması
- u olarak t seçilir, dv olarak e üzeri eksi s t dt seçilir.
- u'nun türevi do dt = 1 olarak bulunur.
- v = e üzeri eksi s t / (-s) olarak hesaplanır.
- 04:43İntegralin Sonuçlanması
- İntegralin sonucu: 1 / s - integral içinde e üzeri eksi s t / (-s) do dt olarak bulunur.
- İntegral hesaplanarak t e üzeri eksi s t / s - e üzeri eksi s t / s² sonucu elde edilir.
- Sınırlar a ve 0'a yerleştirilerek limit a sonsuza giderken hesaplanır.
- 07:26Sonuç
- a yerine sonsuz getirildiğinde e üzeri eksi sonsuz sıfıra yaklaşır.
- Sonuç olarak t'nin Laplace dönüşümünün 1/s² olduğu bulunur.
- Video, t'nin Laplace dönüşümünün 1/s² olduğunu göstermeye çalıştığını ve bunu gösterdiğini belirterek sonlandırılır.