Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik eğitim içeriğidir. Eğitmen, integralde hacim konusunu ele alarak shell metodu kullanarak bir örnek soruyu çözmektedir.
- Videoda, x = y², x = 3y² - 2 ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan hacim shell metodu kullanılarak hesaplanmaktadır. Eğitmen önce grafik çizerek bölgeyi belirleyip, ardından shell metodu formülünü açıklayarak (2π∫[a,b] r(y)h(y) dy) adım adım çözümü göstermektedir. Sonuç olarak hacim 3π olarak bulunmuştur.
- 00:01İntegralde Hacim Örnek Soru
- Video, integralde hacim konusuna bir örnek soru inceleyecektir.
- Soruda x=y², x=3y²-2 ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan hacim shell metodu kullanılarak bulunması istenmektedir.
- Hacim sorularında ilk adım döndürülecek alanın çizimi olmalıdır.
- 00:39Fonksiyonların Çizimi
- x=y² fonksiyonu sağa doğru bir parabol olarak çizilir.
- x=3y²-2 fonksiyonu, y² katsayısının pozitif olması ve 2 çıkarılması nedeniyle sağa bakan, x=y²'den daha dar bir parabol olarak çizilir.
- x=y² ve x=3y²-2 fonksiyonlarının kesişme noktası y=±1'dir.
- 04:29Shell Metodu ve Formül
- Shell metodu kullanılarak x ekseni etrafında döndürme için formül: 2π∫ₐᵇ r(h) dy'dir.
- Formülde r shell yarıçapı, h shell yüksekliği olarak adlandırılır.
- x ekseni etrafında döndürme yaparken shell yarıçapı y, shell yüksekliği ise sağdaki fonksiyondan soldaki fonksiyonu çıkartarak bulunur.
- 07:39Hacim Hesaplama
- İntegral hesaplaması: 2π∫₀¹ (-2y²+2) dy.
- İntegral sonucu: 2π(y⁴/4 + y²/2) = 2π(y²/2 + y²/4).
- Sınırlar yerine konulduğunda hacim 3π olarak bulunur.