Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, Mehmet Hoca tarafından Rehber Matematik kanalında sunulan, 11. sınıf matematik kitaplarına dayalı bir trigonometri dersidir. Öğretmen, öğrencilere trigonometrik fonksiyonları birim çember üzerinde anlatmaktadır.
- Videoda trigonometrik fonksiyonlar konusuna giriş yapılarak, özellikle kosinüs ve sinüs fonksiyonları detaylı olarak açıklanmaktadır. Birim çember üzerinde sinüs ve kosinüs değerlerinin nasıl hesaplanacağı, tanım ve değer kümeleri, trigonometrik özdeşlikler ve esas ölçü kavramı örneklerle anlatılmaktadır. Ayrıca, sinüs ve kosinüs değerlerinin aralıkları kullanılarak çeşitli problemlerin çözümleri gösterilmektedir.
- Video, TYT matematik sınavına hazırlık amacıyla hazırlanmış olup, öğrencilere soru bankasından örnekler çözülerek konu pekiştirilmektedir. Dersin sonunda, bir sonraki derste kosinüs, kotanjant, secant ve kosekant fonksiyonlarının tanımlarının anlatılacağı belirtilmektedir.
- 00:06Trigonometrik Fonksiyonlara Giriş
- Rehber Matematik'te 11. sınıf matematik videolarında trigonometriyi derinlemesine öğrenmeye devam ediyoruz.
- Matbook kitabının sayfa 11'inde trigonometrik fonksiyonlara geçiş yapılıyor.
- Bu videoda kosinüs ve sinüs fonksiyonları anlatılacak ve trigonometriyi tanımların üzerine kurarak öğrenmeye devam edilecek.
- 01:43Birim Çember ve Kosinüs Fonksiyonu
- Trigonometrik fonksiyonlar konusunu anlamak için birim çember dersini iyi bilmek gerekiyor.
- Birim çember, merkezi orijin, yarıçapı bir birim uzunluğunda olan çembere denir.
- Birim çemberde x ekseninin adı kosinüs ekseni, y ekseninin adı sinüs ekseni olarak değiştirilir.
- 02:33Kosinüs Değerinin Tanımı
- Birim çember üzerinde pozitif yönlü bir alfa açısı alındığında, bu açının birim çemberi kestiği noktanın x koordinatı kosinüs alfa değerini verir.
- Kosinüs alfa, alfa açısıyla birim çemberi kestiğimiz noktada x ekseninde dikme indirdiğimizde aldığımız değerdir.
- Kosinüs alfa değeri, alfa açısının birim çemberi kestiği noktanın x koordinatına tekabül eder.
- 03:48Kosinüs Değerlerinin Değişimi
- 0 derece açının kosinüs değeri 1'dir.
- 90 derece açının kosinüs değeri 0'dır.
- 90 derece ile 180 derece arasındaki açıların (ikinci bölgede) kosinüs değerleri negatiftir.
- 180 derece açının kosinüs değeri -1'dir.
- 270 derece açının kosinüs değeri 0'dır.
- 180 derece ile 360 derece arasındaki açıların (üçüncü bölgede) kosinüs değerleri negatiftir.
- 360 derece açının kosinüs değeri 0'dır.
- 360 derece ile 480 derece arasındaki açıların (dördüncü bölgede) kosinüs değerleri pozitiftir.
- 07:14Kosinüs Fonksiyonunun Özellikleri
- Kosinüs fonksiyonu, 0 ile 180 derece arasındaki değer aralığında -1 ile 1 değer aralığında gezer.
- Kosinüs fonksiyonunun alabileceği maksimum değer 1, minimum değer -1'dir.
- Birim çember üzerinde verilen bir P noktasının apsisinin alfa açısının kosinüsü denir ve cos alfa ile gösterilir.
- 07:55Fonksiyonların Tanım ve Değer Kümesi
- Her fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi vardır.
- Kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar olabilir, ancak değer aralığı -1 ile 1 arasındadır.
- Kosinüs alfa değeri ≤ 1 ve ≥ -1 aralığında gezer.
- 09:19Birim Çemberde Sinüs Fonksiyonu
- Birim çember üzerinde pozitif yönlü alfa açısının kestiği noktanın ordinatı sinüs alfa değerini verir.
- Birim çemberde x eksenine tekabül eden değer kosinüs alfa, y eksenine tekabül eden değer sinüs alfa'dır.
- Trigonometriyi anlamak için bu mantığı anlamak çok önemlidir.
- 10:41Sinüs Fonksiyonunun Değerleri
- Birinci bölgede sinüs değerleri pozitiftir.
- Sinüs 90 derece değeri 1'dir çünkü birim çemberde (0,1) noktasında bulunur.
- Sinüs 0 derece değeri 0'dır çünkü birim çemberde (1,0) noktasında bulunur.
- İkinci bölgede sinüs değerleri pozitiftir, üçüncü ve dördüncü bölgelerde ise negatiftir.
- 11:52Sinüs Fonksiyonunun Özellikleri
- Sinüs alfa değeri -1 ile 1 arasında değerler alır.
- Birim çemberin denklemi x² + y² = 1'dir.
- Kosinüs² alfa + sinüs² alfa = 1 ilişkisi vardır.
- Birim çember üzerinde verilen P noktasının ordinatı alfa'nın sinüsü olarak adlandırılır ve sinüs alfa ile gösterilir.
- Sinüs fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar, değer kümesi ise -1 ile 1 arasındadır.
- 13:34Birim Çember ve Trigonometrik Fonksiyonlar
- Öğrencilere birim çemberi gözlerinin önünde hayal etmeleri ve başka bir yere bakmamaları isteniyor.
- Birim çemberde 0 derece açının koordinatları (1,0) ve sinüs değeri 0, kosinüs değeri 1'dir.
- 90 derece açının koordinatları (0,1) ve sinüs değeri 1, kosinüs değeri 0'dır.
- 15:47Trigonometrik Fonksiyonların Değer Aralıkları
- Sinüs alfa değeri +1 ile -1 arasındaki bütün reel sayılar olabilir.
- Kosinüs alfa da +1 ile -1 aralığında olmak zorundadır.
- Matematikte ezberlemek yerine mantığı anlamak önemlidir.
- 16:30Trigonometrik İfadelerin Değer Aralıklarını Bulma
- a = 5cosx - 1/2 ifadesinin alabileceği en büyük değer +2, en küçük değer -3'tür.
- a = -3sinx + 7 ifadesinin alabileceği en büyük değer 5, en küçük değer +2'dir.
- Trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak için birim çemberi hayal etmek yeterlidir.
- 19:13Esas Ölçü Kavramı
- Esas ölçü, birim çemberin etrafında tam tur atıldığında 0 ile 360 derece (sıfıra dahil olabilir) aralığındaki açıdır.
- 360 dereceden büyük açıların esas ölçüsü, 360 dereceden çıkarılarak bulunur.
- Kosinüs 540°, kosinüs 450°, kosinüs 990° ve kosinüs 1860° değerlerinin hesaplanması gösterilmiştir.
- 22:03Trigonometri Sorusu Çözümü
- Öğretmen, esas ölçü kavramını anlatırken tek başına kolay kolay soru gelmeyeceğini, başka soruların içerisinde kullanılacağını belirtmiştir.
- Soruda 90 derecenin esas ölçüsü 720 derece, 0 derece'nin esas ölçüsü 630 derece olarak hesaplanmıştır.
- Sinüs 90 derece değeri 1, sinüs 0 derece değeri 0, sinüs 270 derece değeri -1 olarak bulunmuştur.
- 23:30Trigonometri Sorusunun Sonucu
- Hesaplamalar sonucunda ifadenin değeri +2 olarak bulunmuştur.
- Beşinci soru giderek zorlaşıyor ve en kritik nokta kosinüs x ve sinüs y değerlerinin farklı olmasıdır.
- Rasyonel bir ifadenin maksimum değerini çıkarmak için yukarıdaki değeri büyük seçmek gerekir.
- 24:23Trigonometrik Fonksiyonların Değer Aralıkları
- Kosinüs x fonksiyonu +1 ile -1 aralığında değer alır, bu nedenle 8cosx değeri -8 ile 8 arasında gelir.
- Sinüs y fonksiyonu da +1 ile -1 aralığında değer alır, bu nedenle 3+siny değeri 2 ile 4 arasında gelir.
- Bir ifadenin en büyük değerini bulmak için yukarıdaki değeri en büyük, aşağıdaki değeri en küçük seçmek gerekir; en küçük değerini bulmak için ise yukarıdaki değeri en küçük, aşağıdaki değeri en büyük seçmek gerekir.
- 27:34Trigonometrik Fonksiyonların Kareleri
- Sinüs x'in karesi 0,5 ile 1 arasında değer alır, bu nedenle 3sin²x değeri 0,5 ile 3 arasında gelir.
- Kosinüs y'nin karesi 0,5 ile 1 arasında değer alır, bu nedenle 2cos²y değeri 0,5 ile 2 arasında gelir.
- Eşitsizliklerde alt alta toplama işlemi yapılabilir, bu şekilde a+b değeri 2 ile 7 arasında bulunur.
- 30:41Trigonometrik İfadelerin Değer Aralıkları
- Sinüs x ifadesi +1 ile -1 arasında değer alır, bu nedenle 3sinx değeri -3 ile 3 arasında gelir.
- Kosinüs y ifadesi +1 ile -1 arasında değer alır, bu nedenle -2cosy değeri -2 ile 2 arasında gelir.
- 3sinx-2cosy ifadesi -5 ile 5 arasında değer alır, bu değer 4 eklenerek a ifadesi -1 ile 9 arasında bulunur.
- a'nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 44'tür.
- 33:10Trigonometrik İfadelerin Değer Aralığı
- Soruda a = 2sinx + 2cosx olduğuna göre a'nın alabileceği en büyük değer en küçük değerden ne kadar fazla olduğu soruluyor.
- Sinüs x'in değer aralığı -1 ile 1 arasında olduğundan, 1 ≤ 2 - sinx ≤ 3 ve 1 ≤ 2 + cosx ≤ 3 olarak bulunuyor.
- Bu aralıklar çarpılarak 1 ≤ a ≤ 9 elde ediliyor ve a'nın alabileceği en büyük değer en küçük değerden 8 fazla bulunuyor.
- 35:12Trigonometrik İfadelerin Maksimum ve Minimum Değerleri
- Aynı açıların karşılaştırılması ve en büyük-en küçük değerlerinin bulunması zor bir konu olarak belirtiliyor.
- a·sinx + b·cosx ifadesinin maksimum değeri √(a² + b²), minimum değeri ise -√(a² + b²) olarak hesaplanıyor.
- Kosinüs x + a·sinüs x ifadesinde k'nin alabileceği 7 farklı tam sayı değeri olduğuna göre, a'nın alabileceği en büyük ve en küçük değerler bulunuyor.
- 36:13Örnek Soru Çözümü
- Kosinüs x + a·sinüs x ifadesinde k'nin alabileceği en büyük değer √(1 + a²), en küçük değer ise -√(1 + a²) olarak hesaplanıyor.
- 7 farklı tam sayı değeri için k aralığı -3 ≤ k ≤ 3 olarak bulunuyor.
- a² = 8 denkleminden a'nın alabileceği en büyük değer 2√2, en küçük değer ise -2√2 olarak hesaplanıyor.
- 38:59Birim Çemberde Sinüs ve Kosinüs
- Birim çember üzerinde alfa derecelik açının kestiği noktanın koordinatları (cos alfa, sin alfa) olarak yazılır.
- CD uzunluğu birim çemberde 1 - sin alfa olarak hesaplanabilir.
- Birim çemberde yarıçap uzunluğu 1 birimdir.
- 40:24Üçgen Alanı Hesaplama
- Üçgenin alanı taban çarpı yükseklik bölü iki formülüyle hesaplanır.
- BOC üçgeninin alanı 1 × cos alfa / 2 olarak bulunur.
- Birim çemberde B noktasının koordinatları (cos alfa, sin alfa) olarak ifade edilir.
- 41:57Sarı Boyalı Bölgelerin Alanı
- Sarı boyalı bölgelerin alanları toplamı, çeyrek dairenin alanından BOC ve AOB üçgenlerinin alanlarının toplamı çıkarılarak bulunur.
- Çeyrek dairenin alanı πr²/4 formülüyle hesaplanır.
- Sarı boyalı bölgelerin alanı π - (2 × (cos alfa + sin alfa)) / 4 olarak hesaplanır.
- 45:39Dersin Kapanışı
- Ders bitmiştir ve trigonometri konusunda derinliklere inmeye hazır olunacağı belirtilmiştir.
- Bir sonraki derste kosinüs, kotanjant, secant ve kosekant fonksiyonları ele alınacaktır.
- Sinüs 90, sinüs 270, sinüs 360, kosinüs 360 ve kosinüs 180 derecenin değerleri hatırlatılmıştır.