Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik eğitimi formatında hazırlanmış kapsamlı bir ders anlatımıdır.
- Video, türevin sembolsel gösterimlerinden başlayarak toplam on türev kuralını detaylı şekilde ele almaktadır. İlk beş kural sabit sayıların, doğrusal fonksiyonların, x üzeri n formatındaki fonksiyonların, toplama-çıkarma durumundaki ifadelerin ve parantezli fonksiyonların türevlerini kapsamaktadır. Daha sonra üstel fonksiyonlar, logaritmalar ve trigonometrik fonksiyonların türev kuralları anlatılmakta, son olarak ters trigonometrik fonksiyonların türevleri ve "gizli parantez" durumları açıklanmaktadır.
- Video, her kuralın ardından örnekler çözülerek konuyu pekiştirmekte ve çarpım ve bölümün türevi ile özel türev alma kurallarının ayrı videolarda işleneceği bilgisiyle sonlanmaktadır.
- 00:01Türev Sembolleri
- Türev kuralları, türevin işlemsel sürecini temsil eden kuralları içerir.
- Bir fonksiyonun türevi, çentik işaretiyle (f') veya d/dx sembolüyle gösterilir.
- Türevin derecesi çentik sayısıyla veya d/dx'in üstündeki üsle gösterilir, örneğin f'' ikinci türevi, f⁽⁴⁾ dördüncü türevi temsil eder.
- 03:00Türev Kuralları
- Sabit sayının türevi sıfırdır (d/dx c = 0).
- f(x) = ax fonksiyonunun türevi x'in katsayısı olan a'dır (f'(x) = a).
- f(x) = xⁿ formatındaki fonksiyonların türevi n·xⁿ⁻¹ formülüyle hesaplanır.
- 09:09Toplama-Çıkarma ve Parantez Türev Kuralları
- Toplama-çıkarma durumundaki ifadelerin türevi ayrı ayrı alınır.
- Parantezli fonksiyonların türevi, parantezin dışındaki üsün üstüne geçip bir azalması ve içerideki fonksiyonun türeviyle çarpılarak hesaplanır.
- Köklü ifadelerde türev, kök derecesi üs olarak yazıldığında parantezli fonksiyon türev kuralına uygulanır.
- 19:04Üstel Fonksiyonların Türevi
- Üstel fonksiyonlar, tabanı sayı ve üst tarafı x'li olan fonksiyonlardır ve tabanın pozitif olması gerekir.
- Üstel fonksiyonlar ikiye ayrılır: e üzeri x ve a üzeri g(x) (a>0 ve a≠1).
- e üzeri x'in türevi e üzeri x çarpı üssünün türevi olarak hesaplanır.
- 21:45Üstel Fonksiyonların Türev Örnekleri
- f(x) = e^x türevi e^x'dir çünkü x'in türevi 1'dir.
- f(x) = e^(-x) türevi -e^(-x)'dir çünkü -x'in türevi -1'dir.
- f(x) = e^(x^2+1) türevi e^(x^2+1) çarpı 2x'dir.
- 23:39a üzeri g(x) Fonksiyonlarının Türevi
- a üzeri g(x) fonksiyonunun türevi a^g(x) çarpı g'(x) çarpı ln(a)'dır.
- f(x) = 2^x türevi 2^x çarpı ln(2)'dir.
- f(x) = 3^(5x) türevi 3^(5x) çarpı 5 çarpı ln(3)'dur.
- f(x) = 5^(x^3) türevi 5^(x^3) çarpı 3x^2 çarpı ln(5)'dir.
- 25:45Logaritmaların Türevi
- Logaritmalar ikiye ayrılır: ln(g(x)) (tabanı e olan logaritma) ve log_a(g(x)) (tabanı e dışında bir sayı olan logaritma).
- ln(g(x))'in türevi g'(x) bölü g(x)'dir.
- f(x) = ln(x) türevi 1/x'dir.
- f(x) = ln(x+1) türevi 2x/(x+1)'dir.
- f(x) = ln(4x-7) türevi 4/(4x-7)'dir.
- 28:37log_a(g(x)) Fonksiyonlarının Türevi
- log_a(g(x))'in türevi g'(x) bölü g(x) çarpı ln(e)/ln(a)'dır.
- f(x) = log_3(2x+1) türevi 2/(2x+1) çarpı ln(e)/ln(3)'dur.
- f(x) = log_5(x^2+x-1) türevi (2x+1)/(x^2+x-1) çarpı ln(e)/ln(5)'dir.
- 30:26Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
- sin(g(x))'in türevi cos(g(x)) çarpı g'(x)'dir.
- f(x) = sin(x) türevi cos(x)'dir.
- f(x) = sin(4x) türevi 4cos(4x)'dir.
- f(x) = sin(x^2+1) türevi cos(x^2+1) çarpı 2x'dir.
- 32:28Kosinüs ve Tanjant Fonksiyonlarının Türevi
- cos(g(x))'in türevi -sin(g(x)) çarpı g'(x)'dir.
- f(x) = cos(4x) türevi -4sin(4x)'dir.
- f(x) = cos(e^(5x)) türevi -e^(5x)sin(e^(5x)) çarpı 5e^(5x)'dır.
- f(x) = cos(ln(x^3)) türevi -sin(ln(x^3)) çarpı 3x^2/x^3'dür.
- 35:12Tanjant Fonksiyonunun Türevi
- tan(g(x))'in türevi 1 + tan^2(g(x)) çarpı g'(x)'dir.
- Alternatif olarak tan(g(x))'in türevi sec^2(g(x)) çarpı g'(x) veya 1/cos^2(g(x)) çarpı g'(x)'dir.
- f(x) = tan(4x) türevi (1 + tan^2(4x)) çarpı 4'dür.
- f(x) = tan(e^(3x)) türevi (1 + tan^2(e^(3x))) çarpı 3e^(3x)'dır.
- 37:47Kotanjantın Türevi
- Kotanjantın türevi için üç alternatif formül vardır: -1/(g(x)²) + cot²(g(x))g'(x), -cosec²(g(x))g'(x) ve -1/sin²(g(x))g'(x).
- Cosecant (csc) fonksiyonu 1/sin olarak tanımlanır ve bazı kaynaklarda csc şeklinde yazılır.
- Kotanjantın türevi genellikle -cosec²(g(x))g'(x) veya -1/sin²(g(x))g'(x) şeklinde hatırlanabilir.
- 40:29Sekant ve Kosekantın Türevi
- Sekantın türevi sec(g(x))tan(g(x))g'(x) formülüyle hesaplanır.
- Kosekantın türevi -csc(g(x))cot(g(x))g'(x) formülüyle hesaplanır.
- Trigonometrik fonksiyonların türev kuralları bu şekilde tamamlanmıştır.
- 43:11Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
- Arksin(g(x))'in türevi g'(x)/√(1-g(x)²) formülüyle hesaplanır.
- Arkcos(g(x))'in türevi -g'(x)/√(1-g(x)²) formülüyle hesaplanır.
- Arctan(g(x))'in türevi g'(x)/(1+g(x)²) formülüyle hesaplanır.
- Arkcot(g(x))'in türevi -g'(x)/(1+g(x)²) formülüyle hesaplanır.
- 49:05Gizli Parantezlerin Türevi
- Gizli parantezler, türevi alırken parantezli olarak ele alınması gereken ifadelerdir.
- (f(x))^n ifadelerinde türev alırken üstü başa getirip bir azaltır, sonra içerideki fonksiyonun türevini alırız.
- Örneğin, sin²(x) türevi 2sin(x)cos(x), cos²(x) türevi -2sin(x)cos(x), ln²(x) türevi 2ln(x)/x ve tan³(x) türevi 3tan²(x)sec²(x) olur.