Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik eğitmeni tarafından sunulan kapsamlı bir türev dersidir. Eğitmen, türev konusunu adım adım ve örneklerle anlatmaktadır.
- Video, türevin olabilmesi için gerekli şartları açıklayarak başlayıp, parçalı fonksiyonlarda türev alma, temel türev alma, polinom ifadelerde türev alma, çarpmanın türevi, bölmenin türevi, bileşke fonksiyonların türevi, ters fonksiyonların türevi ve zincir kuralı gibi tüm türev alma kurallarını detaylı şekilde ele almaktadır. Ayrıca mutlak değerli fonksiyonların türevi, köklü ifadelerin türevi ve kesili ifadelerde türev alma gibi konular da örneklerle açıklanmaktadır.
- Videoda TYT sınavlarında çıkabilecek soru tipleri üzerinde durulmakta ve her bir türev kuralı için adım adım çözüm yöntemleri gösterilmektedir. Özellikle zincir kuralı, ters fonksiyonların türevi ve mutlak değer fonksiyonlarında türev alma teknikleri detaylı olarak anlatılmaktadır.
- 00:01Türev Alma Kuralları Tanıtımı
- Türev alma kuralları konusunda parçalı fonksiyonlarda türev alma, temel türev alma, polinom ifadelerde türev alma, çarpma ve bölme türevleri, bileşke fonksiyonların türevi, ters fonksiyonların türevi ve zincir kuralı gibi konular ele alınacak.
- Türevin olabilmesi için fonksiyonun sürekli olması, limitli olması ve sağ türev ile sol türevin birbirine eşit olması gerekiyor.
- Bir fonksiyonun sürekli olabilmesi için grafiği kalemi kaldırmadan çizilebilir olması ve her noktada tanımlı olması gerekiyor.
- 03:06Süreklilik ve Türev İlişkisi
- Parçalı fonksiyonlarda türevlilik için süreklilik, limit ve sağ türev ile sol türevin eşit olması şartları kontrol edilmeli.
- Süreklilik, limitin bir kapsamıdır; süreklilik varsa otomatikman limit de sağlanmış olur.
- Bir fonksiyonun türevli olabilmesi için sol türevinin sağ türevine eşit olması gerekir, bu eşit gelen değer türev değeridir.
- 07:59Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi
- Mutlak değerli fonksiyonların türevi hesaplanırken, kritik noktada mutlak değer pozitif çıkarsa, mutlak değerden olduğu gibi çıkarılarak türev alınabilir.
- Fonksiyonun kritik noktası olmadığı noktalarda, sadece ilgili noktada türev hesaplanabilir.
- Türevin tanımı, sol türevin ve sağ türevin eşit olması gerekliliğidir.
- 09:30Polinom ve Üslü Fonksiyonların Türevi
- Polinom türevinde, üst başa inilir, üzeri bir azaltılır ve her terim ayrı ayrı türevlenebilir.
- Sabit fonksiyonun türevi her zaman sıfırdır çünkü sabit fonksiyonun yanında görünmeyen bir x üzeri vardır.
- Köklü ifadeler türev alınırken, önce üslü ifadeye dönüştürülür, üst başa inilir, üzeri bir azaltılır ve iç fonksiyonun türevi çarpılır.
- 11:38Kesili İfadelerin Türevi
- Kesili ifadelerde türev alırken, kesili ifadeleri üstten ifade ederek işlem yapılır.
- Türev alırken üst başa iner ve üs bir azalır, çift kuvvetlerde eksi işaret artı olur.
- Tek kuvvetlerde eksi işaret eksi kalır, çift kuvvetlerde artı olur ve örüntü ikili ikili gruplanarak çözülebilir.
- 13:59Köklü İfadelerin Türevi
- Çarpım durumunda olan köklü ifadeleri tek bir ifadeye dönüştürmek için kök derecelerini çarparak altıncı dereceden bir kök elde edilir.
- Köklü ifadelerde türev alırken, iç kuvveti dış kuvvete bölerek kökten çıkarma yöntemi kullanılır.
- Kareköklü ifadelerde türev alırken, iç kuvveti dış kuvvete bölerek 1/2 yazılır ve türev alındığında üzeri bir azalır.
- 16:41Türev Alma ve Değer Bulma
- Türev alma işlemi "d" ile gösterilir ve "d/dx" ifadesi "y fonksiyonunun x değişkenine göre türevi" anlamına gelir.
- Türev alındıktan sonra, türevde x yerine belirli bir değer koymak için önce türev alınmalı sonra değer yerine konulmalıdır.
- Türev alma işlemi tekrarlanarak ikinci türev de bulunabilir ve bu türev kullanılarak bilinmeyen değerler hesaplanabilir.
- 19:06Çarpımın Türevi
- Çarpımın türevi kuralı: (f·g)' = f'·g + g'·f şeklindedir.
- Bu kural üç veya daha fazla fonksiyon için de geçerlidir: (f·g·h)' = f'·g·h + g'·f·h + h'·f·g.
- Türev alırken, birinci fonksiyonun türevi alınır, ikinci fonksiyon aynen yazılır; sonra ikinci fonksiyonun türevi alınır, birinci fonksiyon aynen yazılır.
- 20:28Çarpım Türevi Örnekleri
- Türev alınan ifadede x=1 değeri yerine konulduğunda sonuç 18 olarak bulunur.
- Karekök fonksiyonlarının türevi için özel bir kural vardır: (√f(x))' = f'(x) / (2√f(x)).
- Türev alınan ifadede x=4 değeri yerine konulduğunda sonuç 17/4 olarak bulunur.
- 22:09Bölümün Türevi
- Bölümün türevi kuralı: (f/g)' = (f'·g - f·g') / g² şeklindedir.
- Bu kuralın ispatları limit tanımından yapılabilir.
- Türev alınan ifadede x=2 değeri yerine konulduğunda sonuç (2x+3)(x²-3x+2) - (2x-3)(x²+3x-10) / (x²-3x+2)² olarak bulunur.
- 23:13Bileşke Fonksiyonların Türevi
- Bileşke fonksiyonlar f(g(x)) şeklinde gösterilir ve türev alırken özel bir kural kullanılır.
- Bileşke fonksiyonların türevi kuralı: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x) şeklindedir.
- Türev alınan ifadede x=-1 değeri için g(-1)=-3 ve g'(-1)=2 olarak bulunur, sonuç -14 olarak hesaplanır.
- 25:31Bileşke Fonksiyonların Türevi
- Bileşke fonksiyonların türevi hesaplanırken, önce sol tarafın türevi alınır, sonra sağ tarafın türevi alınır.
- Bileşke fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımıdır.
- Köklü sayıların türevi hesaplanırken, kökün içindeki ifadenin türevi alınır ve kökün kendisi ile çarpılır.
- 26:39Türev Örnekleri
- f'(x) türevini bulmak için, x yerine -1 değeri verilerek f'(-1) değeri hesaplanır.
- f'(x) türevini bulmak için, x yerine -1 değeri verilerek f'(-1) değeri hesaplanır.
- f'(x) türevini bulmak için, x yerine -1 değeri verilerek f'(-1) değeri hesaplanır.
- 29:07Türev Problemleri
- f'(x) türevini bulmak için, her iki tarafın türevi alınır.
- f'(x) türevini bulmak için, x yerine 2 değeri verilerek f'(3) değeri hesaplanır.
- a değeri, f'(3) değeri kullanılarak -4/9 olarak bulunur.
- 30:56Zincir Kuralı ve Türev Alma
- Zincir kuralı, y'nin t'ye göre türevini bulmak için kullanılır; y'nin x'e göre türevi, x'in u'ya göre türevi ve u'nun t'ye göre türevinin çarpımıdır.
- Türev alma işlemi sırasında, t yerine verilen değer (örneğin t=1) kullanılarak x değeri bulunur ve sonuç hesaplanır.
- Ters fonksiyonların türevi için önce düz fonksiyonun türevi alınır, sonra 1 bölü f'(y) şeklinde yazılır.
- 34:49Ters Fonksiyonların Türevi
- Ters fonksiyonda x yerine koyulacak değer, düz fonksiyonda x yerine koyulacak değerle aynı değildir; ters fonksiyonun içindeki değer düz fonksiyonun sonucudur.
- Ters fonksiyonun türevini bulmak için önce düz fonksiyonun türevi alınır, sonra ters fonksiyonun içindeki değeri düz fonksiyonda bulmak gerekir.
- Ters fonksiyonun içindeki değeri bulmak için denklem çözülür ve bu değer türevde yerine konulur.
- 39:49Mutlak Değer Fonksiyonlarında Türev
- Mutlak değer fonksiyonlarında türev alırken, x yerine verilen değer (örneğin x=1) konularak iç fonksiyonun işareti belirlenir.
- İç fonksiyon negatif çıkarsa, mutlak değerden çıkarılırken eksi ile çarpılır; pozitif çıkarsa olduğu gibi çıkarılır.
- Mutlak değerden çıkarıldıktan sonra türev alınır ve x yerine verilen değer konularak sonuç bulunur.
- 40:39Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi
- Mutlak değerli fonksiyonların türevi alırken, mutlak değerin nasıl çıktığını önce görmek gerekir.
- Mutlak değer içindeki ifade pozitifse, mutlak değer olduğu gibi çıkarılır; negatifse, mutlak değer içindeki ifade eksi ile çarpılarak çıkarılır.
- Türev alındıktan sonra, x yerine verilen değer (örneğin -2) konularak sonuç bulunur.
- 42:10Polinomlarda Kalan Bulma
- Polinomda kalan bulmak için, bölen ifadeyi sıfıra eşitleyip yerine yazmak gerekir.
- Tam bölünme durumunda, kalan sıfır olmalıdır.
- Tam kare veya yüksek dereceden binomlu ifadelerde, türevin sıfır olması gerekir çünkü o noktada teğet vardır.
- 43:41Türev Kurallarının Özeti
- Tüm türev kuralları baştan sona anlatılmıştır: zincir kuralı, türevin tanımı, ters fonksiyonların türevi, bileşke fonksiyonların türevi.
- Çarpımın türevi, bölümün türevi, köklü sayıların türevi ve polinomlarda çok katlı kökler konuları ele alınmıştır.
- Ders şık sorularla desteklenmiştir.