Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, Bora Arslantürk tarafından sunulan bir matematik dersidir.
- Videoda sinüs fonksiyonunun türevinin kosinüs x olduğunu ispatlanmaktadır. İspat, türev tanımı üzerinden başlayıp, sinüs x + h - sinüs x / h ifadesinin limitini hesaplamaktadır. Bora, limitin sıfıra giderken nasıl hesaplanacağını adım adım göstermekte, ardından kosin(h) - 1 / h limitinin sıfır olduğunu grafik üzerinden kanıtlamaktadır. Son olarak, sinüs fx'in türevinin zincir kuralı gereği f'(x) × cos(fx) olduğunu belirtmektedir.
- 00:06Sinüs Fonksiyonunun Türevinin İspatı
- Videoda sinüs fonksiyonunun türevinin ispatı yapılacak ve sinüs x'in türevinin neden kosinüs x olduğu gösterilecek.
- Türev tanımı kullanılarak limit h'a giderken (sinüs(x+h) - sinüs(x)) / h şeklinde ifade edilir.
- Sinüs toplam formülü kullanılarak sinüs(x+h) = sinx.cos(h) + cosx.sin(h) olarak açılır.
- 01:12Limit İşlemleri
- Limitler dağıtılarak, sinx parantezine alınarak limitler sinx.(cos(h)-1)/h + limit sin(h)/h.cosx şeklinde ayrılır.
- cosx, h ile alakasız olduğu için dışarı alınabilir ve sin(h)/h ifadesinin limiti 1 olarak bilinir.
- Kalan problem (cos(h)-1)/h ifadesinin limitini bulmaktır.
- 02:44(cos(h)-1)/h Limitinin İncelenmesi
- (cos(h)-1)/h ifadesinin limitini bulmak için grafiğine bakmak en iyi yöntemlerden biridir.
- Grafik programı kullanılarak (cos(x)-1)/x grafiği incelenir ve sıfıra yaklaştıkça değerlerin iki taraftan da sıfıra gittiği görülür.
- Bu ifadenin limiti sıfır olduğu görülmüş olur.
- 04:12Sonuç ve Genelleme
- Limitler değerlendirildiğinde sinüs x'in türevi cosx olarak bulunur.
- Sinüs(f(x)) fonksiyonunun türevi zincir kuralı kullanılarak f'(x).cos(f(x)) şeklinde hesaplanabilir.