Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan kapsamlı bir olasılık teorisi dersidir. Dördüncü bölümde olasılık konusunun temel kavramlarından başlayarak ileri seviye konulara kadar uzanan bir içerik sunulmaktadır.
- Video, olasılık kavramının temellerinden başlayarak (deney, örnek uzay, olay, ayrık olaylar) permütasyon, kombinasyon, koşullu olasılık ve olayların bağımsızlığı gibi konuları ele almaktadır. Daha sonra rastgele değişkenler, kesikli ve sürekli rastgele değişkenler, olasılık fonksiyonları, beklenen değer, varyans ve büyük sayılar yasası gibi ileri seviye konulara geçilmektedir.
- Her konu, teorik açıklamalar ve zar atma, kavanozdan top çekme, para atma, ampul seçme gibi günlük hayattan örneklerle desteklenmektedir. Video, olasılık hesaplamalarında örnek uzayın elemanlarının sayısını bulma yöntemleri, iki boyutlu rastgele değişkenler, ortak olasılık fonksiyonu ve marjinal olasılık fonksiyonu gibi detaylı konuları da içermektedir.
- 00:05Olasılık Temel Kavramları
- Dördüncü bölümde olasılık konusunda temel kavramlar, olasılık aksiyonları, olasılık fonksiyonunun özellikleri, çarpım kuralı, permütasyon, kombinasyon, koşullu olasılık, olayların bağımsızlığı, rastgele değişken, kesikli ve sürekli rastgele değişkenler, olasılık yoğunluk fonksiyonu, birikimli olasılık fonksiyonu, beklenen değer ve varyans, iki boyutlu rastgele değişkenler ve büyük sayılar yasası anlatılacak.
- Sonuçlarının kümesi belli olan ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenmeyen bir işleme rastgele sonuçlu deney veya deney denir.
- Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine örnek uzay denir ve genellikle S harfi ile gösterilir.
- 01:05Olaylar ve Olasılık Tanımı
- Örnek uzayın bir alt kümesine olay denir; yalnız bir öğeden meydana gelen alt kümeye basit ya da ilkel bir olay, birden fazla öğeden meydana gelen alt kümeye de birleşik olay denir.
- Ayrık iki olay aynı anda meydana gelemiyorsa bu tür olaylara ayrık olaylar denir.
- Bir olayın olasılığı, örnek uzayın tüm alt kümelerinin kümesi K'dan R'ye giderken A'yı P'ye götüren ve A'nın eleman sayısı bölü S'nin eleman sayısı şeklinde verilen bir fonksiyon olarak tanımlanır.
- 03:26Olasılık Aksiyonları
- Bir deneyin örnek uzayın tüm alt kümelerinin kümesi K olsun, aşağıdaki özellikleri sağlayan P(A) fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir.
- Olasılık aksiyonları (Kolmogorov aksiyonları) üç özelliğe sahiptir: bütün A olayları için P(A) sıfırdan büyük, S'nin olasılığı bir'e eşit, ayrık kümelerin birleşimlerinin olasılığı ayrı ayrı birleşimlerinin olasılığına eşittir.
- Olasılık fonksiyonunun özellikleri arasında boş kümenin olasılığı sıfır, A ve B'nin olasılığı A'nın olasılığı artı B'nin olasılığı eksi A kesişim B'nin olasılığı şeklinde verilir.
- 05:16Olasılık Uzayları
- Sonlu bir örnek uzay S, elemanları A₁, A₂, ..., Aₙ olsun ve bunlara P(R) sayısı karşılık getirilirse, bu P'ler sıfırdan büyük olacak ve toplamları bir olacak şekilde olasılık uzayı oluşturulur.
- Sayılabilir sonsuzlukta bir örnek uzay S, elemanları A₁, A₂, ..., Aₙ... olsun ve her bir S'nin elemanına P(R) sayısı karşılık getirilirse, bu P'ler sıfırdan büyük olacak ve toplamları bir olacak şekilde olasılık uzayı oluşturulur.
- İçinde beş beyaz, on siyah top bulunan bir kavanozdan top çekilmesi deneyinde örnek uzay S, beyaz gelmesi olasılığı 1/3, siyah gelmesi olasılığı 2/3 olarak olasılık uzayı oluşturulur.
- 07:39Çarpım Kuralı
- Çarpım kuralı, k işlem varsa ve ilk işlem n₁ yolda yapılırsa ve nasıl yapıldığı önemli değilse, ikincisi n₂ yolda yapılırsa ve nasıl yapıldığı önemli değilse, böylece k tane işlem n₁, n₂, ..., nₖ yolda birlikte yapılabiliyor.
- Bir, iki, üç, dört rakamları verildiğinde, rakamlar tekrarlanmayacak şekilde üç basamaklı sayı yazabilmek için çarpım kuralı kullanılarak 4×3×2=24 farklı şekilde üç basamaklı sayı yazılabilir.
- Bir, iki, üç, dört, beş rakamları birer kağıt parçasına yazılarak bir torbaya atılıyor ve ardışık olarak çekilen üç kağıt parçası sırasıyla bir sayının birler, onlar, yüzler basamaklarını oluşturuyor ise, ikiyüz den büyük bir sayı gelmesi olasılığı 48/60 olarak bulunur.
- 11:14Permütasyon ve Kombinasyon
- Permütasyon, n nesnenin bir grubundan bir defada alınan r nesnenin bir sıralamasıdır ve P(n,r) = n! / (n-r)! formülüyle hesaplanır.
- Kombinasyon, bir defada r tanesi alınan n farklı nesnenin düzenleme sırasına bakılmaksızın bir seçimidir ve C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!) formülüyle hesaplanır.
- Permütasyon ve kombinasyon örnekleri verilmiştir: dört farklı kişinin yan yana oturması 24 farklı şekilde, beş kişiden sadece ikisinin yan yana oturması 20 farklı şekilde olabilir.
- 12:48Olasılık Kavramları
- Olasılık, bir olayın gerçekleşme olasılığıdır ve P(A) = n(A) / N formülüyle hesaplanır.
- Koşullu olasılık, bir olayın başka bir olayın meydana gelmesi koşul altında ortaya çıkması olasılığıdır ve P(A|B) = P(A∩B) / P(B) formülüyle gösterilir.
- Olayların bağımsızlığı, P(A∩B) = P(A) * P(B) olduğunda gerçekleşir, aksi halde bağımlı olaylardır.
- 15:38Olasılığın Sıklık Tanımı
- Olasılığın sıklık tanımı, deneme sayısı giderek artarken n/N oranı belirli bir değere yakınsıyorsa, bu değer olayın olasılığı olarak alınır.
- Para atma deneyinde yazı gelme olasılığı 0,5'tir ve deneme sayısı arttıkça bu oran 0,5'e yakınsar.
- 17:02Rastgele Değişkenler
- Rastgele değişken, uzaydaki her rastgele olaya sayısal bir değer atan bir fonksiyondur ve büyük harflerle (X, Y, Z) gösterilir.
- Rastgele değişkenler, örnek uzayından reel sayıların alt kümesine tanımlanan fonksiyonlardır.
- Bir paranın üç kez atılması ve gelen yazıların sayısının gözlenmesi deneyinde, X rastgele değişkeni 0, 1, 2 değerlerini alabilir ve bu değerlerin olasılıkları sırasıyla 1/8, 3/8, 3/8'dir.
- 18:44Kesikli Rastgele Değişkenler
- Kesikli rastgele değişkenler, sayılabilir sayıda olanaklı değerler alan değişkenlerdir.
- Kesikli rastgele değişkenin alması olanaklı değerleri ve olasılıkları gösteren fonksiyona olasılık fonksiyonu denir.
- Herhangi bir fonksiyonun kesikli bir rastgele değişken için olasılık fonksiyonu olabilmesi için, f(x) değerlerinin sıfırdan büyük olması ve toplamının 1 olması gerekir.
- 19:43Olasılık Fonksiyonu Örnekleri
- Bir paranın üç kez atılması deneyinde, X rastgele değişkeninin aldığı değerler 0, 1, 2 ve olasılıkları 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 olarak tablo halinde gösterilebilir.
- f(x) = cx şeklinde tanımlanan bir fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için c değeri 1/10 olarak hesaplanır ve f(x) = 1/10x olur.
- x rastgele değişkeninin 3'ten küçük olması olasılığı 0,6 olarak bulunur.
- 21:30Sürekli Rastgele Değişkenler
- Sürekli rastgele değişkenler, bir aralıkta ya da aralıkların koleksiyonunda herhangi bir değeri alabilen rastgele değişkenlerdir.
- Sürekli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonuna olasılık yoğunluk fonksiyonu denir.
- Olasılık yoğunluk fonksiyonu için iki koşul vardır: f(x) sıfırdan büyük olmalı ve -∞'den +∞'e kadar f(x)dx integrali 1 olmalıdır.
- 22:53Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Örnekleri
- f(x) = 3x + cx + 2 şeklinde verilen bir fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için c değeri 1/16 olarak hesaplanır ve f(x) = 1/16 = 3x + 2 olur.
- x rastgele değişkeninin 1 ile 2 arasında alması olasılığı, 1 ile 2 arasında f(x) fonksiyonunun altında kalan alan olarak hesaplanır ve 13/32 olarak bulunur.
- 23:54Birikimli Olasılık Fonksiyonu
- Birikimli olasılık fonksiyonu (dağılım fonksiyonu), X rastgele değişkeninin X'ten küçük olması olasılıklarına denir ve büyük F(x) ile gösterilir.
- Kesikli rastgele değişkenlerde, F(x) = Σ(P(X≤x)) şeklinde yazılır.
- Sürekli rastgele değişkenlerde, F(x) = -∞'den x'e kadar f(x)dx integrali olarak hesaplanır.
- 24:43Birikimli Dağılım Fonksiyonu Örnekleri
- Bir zarın atılması deneyinde, X rastgele değişkeninin aldığı değerler 1, 2, 3, 4, 5, 6 ve olasılıkları 1/6 olarak verilir.
- Birikimli dağılım fonksiyonu, X'in belirli bir değere kadar olan olasılıklarının toplamı olarak hesaplanır.
- Sürekli rastgele değişkenlerde, F(x) = -∞'den x'e kadar f(x)dx integrali olarak hesaplanır ve belirli aralıklardaki olasılıklar bu integral kullanılarak bulunabilir.
- 26:39Beklenen Değer ve Varyans Kavramları
- Beklenen değer, kesikli rastgele değişkenlerde değerleriyle olasılıklarını çarpıp toplayarak, sürekli rastgele değişkenlerde ise x çarpı f(x) integralini alarak hesaplanır.
- X'in a noktasına göre kaancı momenti, X'in karesinin beklenen değeri ise X'in varyansı olarak adlandırılır ve σ² ile gösterilir.
- Sabit sayının varyansı sıfır olarak hesaplanır ve ax+b'nin beklenen değeri ax+b, varyansı ise a²σ² olarak bulunur.
- 28:03Kesikli ve Sürekli Rastgele Değişkenlerin Örnekleri
- Kesikli rastgele değişken örneğinde, bir zarın atılması ve üst üste gelen noktaların sayısının gözlenmesi durumunda, beklenen değer 7/2, varyans ise 35/12 olarak hesaplanır.
- Sürekli rastgele değişken örneğinde, yoğunluk fonksiyonu 2/25x şeklinde tanımlanmış bir değişken için beklenen değer 13, varyans ise 25/18 olarak bulunur.
- Kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerde beklenen değer hesaplamaları toplama ve integral işlemleriyle yapılır.
- 30:23İki Boyutlu Rastgele Değişkenler
- İki boyutlu kesikli rastgele değişkenlerde, X ve Y ikilisinin olasılıklarının sonuçlarının kümesi f(x,y) olarak gösterilir ve bu ortak olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır.
- Ortak olasılık fonksiyonunda y'lere göre toplam alındığında X'in marjinal olasılık fonksiyonu, X üzerinde toplam alındığında ise Y'nin marjinal olasılık fonksiyonu bulunur.
- Sürekli rastgele değişkenlerde, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x,y) dx dy çift katlı integral üzerinden 1 olmalıdır.
- 33:30Bağımsızlık ve Teoremler
- İki boyutlu rastgele değişkenler için bağımsızlık, X'in x değerini ve Y'nin y değerini alması olasılıklarının ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşit olması durumudur.
- Birinci teoreme göre, n tane rastgele değişkenin toplamının beklenen değeri, ayrı ayrı beklenen değerlerin toplamına eşittir.
- Bağımsız rastgele değişkenlerde, X ve Y'nin beklenen değeri X'in beklenen değeri çarpı Y'nin beklenen değeri şeklinde hesaplanır.
- 36:26Büyük Sayılar Yasası
- Büyük sayılar yasasına göre, bağımsız ve aynı dağılımda olan X₁, X₂, ..., Xₙ rastgele değişkenlerinin toplamı, deneme sayısı arttıkça beklenen değere yakınsar.
- Zar atma deneyinde, n kez atılan zarların toplamının beklenen değeri 7,5'tir ve deneme sayısı arttıkça bu değer 7,5'e yakınsar.
- Büyük sayılar yasası sayesinde, gerçekte gözlemlenen olaylarla ilgili teorik hesaplanan değerler karşılaştırılabilir ve olasılık teorisine güvenilebilir.