Buradasın
Lineer Cebir Dersi: Matrislerin Uzayları ve Devrik Matrisler
youtube.com/watch?v=_5Ga_pyTDrsYapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik dersi formatında olup, lineer cebir konularını ele almaktadır.
- Video, matrislerin sıfır uzayı, sütun uzayı, devrik matris ve rank kavramlarını detaylı olarak incelemektedir. İlk olarak 2x3'lük bir A matrisinin sıfır uzayı ve sütun uzayının hesaplanması gösterilmekte, ardından A'nın devrikinin sıfır uzayı ve sütun uzayı incelenmektedir. Son bölümde ise devrik matrisin rankının orijinal matrisin rankına eşit olduğu ve bu hesaplamanın nasıl yapılacağı anlatılmaktadır.
- Videoda matrislerin farklı uzayları arasındaki ilişkiler, rank kavramı ve bunların geometrik temsilleri (düzlem ve doğru) matematiksel ispatlar ve örneklerle desteklenerek açıklanmaktadır. Ayrıca, bir matrisin pivot sütunlarının sayısının satır uzayının boyutunu belirlediği ve bu bilginin devrik matrisin rankını hesaplamada nasıl kullanılabileceği de gösterilmektedir.
- Matrisin Sıfır Uzayı ve Sütun Uzayı
- A matrisinin sıfır uzayı, A matrisi ile çarpıldığında sıfır vektörüne eşit olan R³'de tanımlı tüm vektörlerin kümesidir.
- A matrisinin sütun uzayı, matrisin sütun vektörlerinin tüm lineer birleşimleridir.
- Matrisin sıfır uzayını bulmak için A matrisi ile çarpıldığında sıfır vektörüne eşit olan vektörleri bulmak gerekir.
- 01:31Sıfır Uzayının Bulunması
- Sıfır uzayını bulmak için arttırılmış matris yöntemi kullanılır ve matris satır indirgenmiş basamak matris haline getirilir.
- Satır işlemleri sırasında matrisin sağ tarafına etki edilmemelidir.
- Satır indirgenmiş basamak matris halindeki matrisin sıfır uzayı, orijinal matrisin sıfır uzayına eşittir.
- 04:38Sıfır Uzayının Tanımlanması
- Sıfır uzayı, x₁ = ½x₂ + ¾x₃ şeklinde ifade edilebilir.
- Sıfır uzayı, x₂ ve x₃ bağımsız değişkenler olmak üzere x₂(½, 1, 0) + x₃(¾, 0, 1) şeklinde tüm lineer birleşimleridir.
- Bu vektörlerin tüm lineer birleşimleri, bu vektörlerin germesidir.
- 06:37Sütun Uzayı ve Rank
- A matrisinin sütun uzayı, sütun vektörlerinin tüm lineer birleşimleridir.
- Sütun uzayının tabanı, matrisin pivot sütunlarına bağlıdır.
- A matrisinin rankı, sütun uzayı tabanındaki vektör sayısıdır ve bu örnekte rank 1'dir.
- 08:26Devrik Matrisin Uzayı
- A matrisinin devriği, sütunları satırlara dönüştürülerek elde edilir.
- Devrik matrisin sıfır uzayı, R²'de tanımlı vektörler kümesidir.
- Devrik matrisin sıfır uzayını bulmak için de satır indirgenmiş basamak matris yöntemi kullanılır.
- 10:53Matrisin Sıfır Uzayı ve Sütun Uzayı
- Pivot sütunu ve pivot değişkeni kavramları açıklanmaktadır; burada x₁ pivot değişkeni, x₂ ise bağımsız değişkendir.
- A'nın devri'nin sütun uzayı, pivot sütunu ile bağlantılı olan sütun vektörlerinden oluşur.
- A'nın sıfır uzayı, x₁=2x₂ eşitliğini sağlayan R²'de tanımlı vektörler kümesidir ve bu vektörler 2 ve 1 vektörünün germe uzayını oluşturur.
- 12:50Devrik Matrisin Sütun Uzayı
- A'nın devri'nin sütun uzayı, A'da tanımlı sütun vektörlerinin tüm lineer birleşimleri olarak tanımlanabilir.
- Satır indirgenmiş basamak matris halinde gösterildiğinde, sadece bir pivot vektörü ile bağlantılı olduğu için sütun uzayı sadece ilk vektörün germe uzayını oluşturur.
- A'nın devri'nin sütun uzayı, A'nın satır vektörlerinin germe uzayıdır ve bu da A'nın satır uzayı olarak adlandırılır.
- 15:47Devrik Matrisin Sıfır Uzayı
- A'nın devri'nin sıfır uzayı, Aᵀx=0 denklemini sağlayan tüm x vektörlerinin kümesidir.
- Bu denklemin her iki tarafının devri alınması sonucunda xᵀA=0 denklemi elde edilir ve bu denklem A'nın sol uzayı olarak adlandırılır.
- A'nın sıfır uzayı R²'de tanımlı bir düzlemdir, sol uzayı ise R²'de tanımlı bir doğrudur, satır uzayı ise R³'te tanımlı bir doğrudur.
- 20:06Matrisin Rankı ve Uzayların Boyutu
- Matrisin rankı, satır indirgenmiş basamak matris halindeki pivot sütunlarının sayısıdır.
- Taban vektörlerin sayısı, uzayın boyutunu verir.
- A'nın sütun uzayının boyutu 1'dir ve bu da rank ile aynı anlama gelir.
- 20:36Matris Rankı ve Devrik Matris
- Bir matrisin devrinin rankı, devrik matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline getirip lineer bağımsız sütun vektörü sayısını bularak elde edilebilir.
- Örnekteki matrisin sütun uzayının rankı bir olarak bulunmuştur.
- A matrisinin rankı (sütun uzayının boyutu) her zaman A'nın devrinin rankına eşittir.
- 21:14Rank Hesaplama Yöntemleri
- A matrisinin rankını bulmak için pivot sütunların veya pivot değişkenlerinin sayısı bulunur.
- A'nın devrinin rankını bulmak için ise sütunların kaçının lineer bağımsız olduğu hesaplanır.
- Devrik matrisin sütunlarının lineer bağımsız sayısı ile orijinal matrisin satırlarının lineer bağımsız sayısı aynıdır.
- 22:16Pivot Değişkenler ve Satır Uzayı
- Bir matrisin sadece bir pivot değişkeni varsa, bu pivot değişkeni satır uzayını kapsayan temel vektör olarak kullanılabilir.
- Matristeki bütün satırlar pivot satırının lineer birleşimi olarak ifade edilebilir.
- Pivot satırlarının sayısı, satır uzayının boyutunu verir ve bu örnekte bir tane pivot satır olduğu için satır uzayının boyutu birdir.
- 22:41Sonuç
- Orijinal matrisin satır boyutu ile devrik matrisin sütun boyutu aynıdır.
- Devrik matrisin rankı, orijinal matrisin rankına eşittir.