Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, matematik öğretmeni Mustafa Güler (Mustafa Hoca) tarafından sunulan bir eğitim içeriğidir. Öğretmen, tahtada çeşitli örnekler üzerinden logaritma konusunu öğrencilere anlatmaktadır.
- Video, logaritmanın tanımı ve temel kurallarını açıklayarak başlamakta, ardından logaritma fonksiyonlarının özellikleri, taban değiştirme, üst kırpma yöntemi ve logaritma işlemleri gibi konuları örneklerle pekiştirmektedir. Öğretmen, 2020 ve 2022 sınavlarında çıkan logaritma sorularını çözerek konuyu uygulamalı olarak göstermektedir.
- Videoda ayrıca logaritma değerlerinin işaretleri hakkında üç temel kural, logaritma ifadelerinin toplanması ve çarpılması, tabanların eşit olması gerekliliği ve logaritma denklemlerinin çözüm teknikleri gibi önemli konular ele alınmaktadır. Öğretmen, konuları günlük hayattan örneklerle anlatarak öğrencilerin anlamasını kolaylaştırmaya çalışmaktadır.
- 00:47Logaritma Tanımı ve Tanım Kümesi
- Matematik öğretmeni Mustafa Güler, logaritma konusunu tek video ve tek PDF ile işleyeceğini belirtiyor.
- Logaritma a tabanında b'nin tanımlı olması için b>0, a>0 ve a≠1 koşulları sağlanmalıdır.
- Logaritmanın hem içindeki sayı hem tabanı kesinlikle sıfırdan büyük olmalı, alt tarafta ise hiçbir zaman 1 olamaz.
- 02:01Logaritma Tanımlı Olma Koşulları
- Logaritmanın tanımlı olması için içindeki ifade ve tabanı sıfırdan büyük olmalı.
- Tabanın 1'e eşit olmaması, daha sonra açıklanacak kurallarla anlaşılacaktır.
- Logaritmanın içindeki ifade sıfırdan büyük olduğunda, tabanın 1'e eşit olmaması gerekir.
- 04:17Logaritma Kuralları
- Logaritma a tabanında a daima 1'dir, yani alt ve üst birbirinin aynısıysa sonuç 1'dir.
- Logaritma a tabanında 1 daima 0'dır.
- Logaritmanın tabanında hiçbir şey yoksa 10'dur, altta hiçbir şey yoksa ise e (2,71828...) sabit sayısına eşittir.
- 07:41Logaritma Eşitliklerinde Çözüm Yöntemi
- Logaritmik eşitliklerde, tabanı söküp karşıya gönderdiğinizde logaritma ortadan kalkar.
- Logaritma a tabanında x = b eşitliğinde, a üzeri x = b şeklinde yazılabilir.
- Bu yöntemle logaritmik denklemler kolayca çözülebilir.
- 08:41Logaritma Çözüm Yöntemi
- Logaritma problemlerinde "kalbini sök karşıya gönder" mantığı kullanılır, yani logaritmanın tabanını karşıya atıp logaritmayı ortadan kaldırırız.
- Logaritma a tabanında a bir, logaritma a tabanında bir sıfır ve taban hiçbir zaman bir'e eşit olamaz çünkü bir'in üstü daima bir olur.
- Logaritma problemlerinde tabanı karşıya attıktan sonra kalan denklemi çözeriz.
- 12:10Logaritma Örnek Soruları
- Logaritma sekiz tabanında kök içinde x eksi dört eşittir otuziki üzeri eksi bir bölü beş sorusunda, tabanı karşıya attıktan sonra kök içinde x eksi dört eşittir kök sekize eşittir ve x oniki'ye eşittir.
- İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı formülü sadece pozitif kökleri verir, negatif tabanlar geçersizdir.
- Üstel fonksiyonda a üzeri x eşittir b ise üstteki x logaritma a tabanında b'dir.
- 19:31Fonksiyonların Tersinin Bulunması
- Fonksiyonun tersini bulmak için, f(x) yerine istenen değeri (örneğin 1, 3, 10) eşitleyip denklemi çözmek gerekir.
- Örneğin f(x) = 2^(x+1) - 3 fonksiyonunun tersi, x = log₂(m+3) - 1 şeklinde bulunur.
- Fonksiyonun tersini bulmak için, f⁻¹(x) = m şeklinde yazıp, denklemi çözdükten sonra m yerine x yazılır.
- 25:12Üst Kırpma Yöntemi
- Üst kırpma yöntemi, üstleri kesip öne atma işlemidir: (y/x)^(logₐb) = y^(logₐb) / x^(logₐb).
- Logaritma işlemlerinde, üstleri kesip öne atma işlemi yapılabilir ve sonra geri gönderebilirsiniz.
- Üstleri kesip öne atma işlemi, logaritma hesaplarında sadeleştirme yapmak için kullanılır.
- 27:12Köklü Sayılar ve Üsler
- Köklü sayılar, üsler şeklinde yazılabilir: √125 = 5^(3/2).
- Üslerde çarpma işlemi, üslerin toplamına karşılık gelir: 5^(3/2) = 5^3 * 5^(1/2).
- Üslerde bölme işlemi, üslerin farkına karşılık gelir ve üstler kesip öne atılarak sadeleştirme yapılabilir.
- 30:21Üslü, Köklü ve Rasyonel Sayılar
- Üslü sayılar, köklü sayılar ve rasyonel sayılar arasındaki ilişkiler açıklanmaktadır.
- Köklü sayılar, üslü sayılar ve rasyonel sayılar arasındaki dönüşümler gösterilmektedir.
- Üslü sayılar, köklü sayılar ve rasyonel sayılar birbirleriyle ilişkilidir ve birbirlerine dönüştürülebilir.
- 31:50Logaritma Özellikleri
- Logaritmanın içinde çarpılan ifadeler, dışarıda toplamaya dönüşür.
- Logaritmanın içinde bölünen ifadeler, dışarıda çıkarmaya dönüşür.
- İçerde toplanan ifadeler, dışarıda dağıtıldığında çarpıma dönüşmez.
- 34:49Logaritma İşlemleri
- Ayrı ayrı logaritma ifadeleri çarpıldığında, tabanlar birbirine eşit olmalıdır.
- Ayrı ayrı logaritma ifadeleri toplandığında, içeride çarpma işlemine dönüşür.
- Ayrı ayrı logaritma ifadeleri çıkarıldığında, içeride bölme işlemine dönüşür.
- 36:24Logaritma Uyarıları
- Logaritma işlemlerinde tabanların eşit olması gerekir.
- Önde çarpan olmaması gerekmektedir.
- Tabanlar eşit değilse ve önde çarpan varsa, işlem yapılamaz.
- 39:21Logaritma Problemleri Çözüm Yöntemleri
- Üç soruda üstteki logaritma aynen yazılır, alttaki ters çevrilir ve çarpılır.
- Toplama çıkarma işleminde tabanlar eşit olmalı ve önde katsayı olmamalıdır.
- Logaritma işlemlerinde çarpma işlemi içeride çarpma, toplama çıkarma işlemi ise içeride bölme işlemine karşılık gelir.
- 42:14Logaritma Denklemleri Çözümü
- Tabanlar eşit olmayan logaritma denklemlerinde tabanları eşitlemek için kare veya küp alınabilir.
- Logaritma denklemlerinde tabanlar eşit olduğunda içerideki ifadeler de eşittir.
- Kök ifadeleri üslü ifadelerle yazarak logaritma işlemlerinde kolaylık sağlanabilir.
- 45:41Logaritma Özellikleri ve Uygulamaları
- İki logaritmanın toplamı, içeride çarpma işlemine karşılık gelir.
- İki logaritmanın farkı, içeride bölme işlemine karşılık gelir.
- Logaritma değerlerini bulmak için toplama veya çıkarma işlemi yapılabilir.
- 48:41Uygulama Örneği
- Bir dikdörtgenin alanı x×y=x+4 olarak verilmiştir.
- Şekil kare olsaydı, x=y olur ve alan denklemi x²=x+4 şeklinde yazılır.
- Denklem çözülürse x=2 bulunur ve karenin çevresi 4e² olarak hesaplanır.
- 50:54Logaritma Problemi Çözümü
- 2022'de benzer bir soru çıkmış, x bir tam sayı olup, logaritma yedi tabanında x'in kapalı aralığındaki tam sayılar (3, 4, 5) ile aynı tam sayıları içerdiği belirtiliyor.
- Logaritma yedi tabanında x'in 2'den büyük ve logaritma iki tabanında x'in 6'dan küçük olduğu bulunuyor.
- x'in alabileceği tam sayı değerleri 49 ile 64 arasında 14 tane olarak hesaplanıyor.
- 54:07Logaritma Değerlerinin Yaklaşık Hesaplanması
- Logaritma iki tabanında 10 yaklaşık 3 küsur olarak hesaplanıyor.
- Logaritma on tabanında 3 yaklaşık 0,5 olarak belirleniyor.
- Logaritma 1/4 tabanında 40 değeri -2,5 civarında bulunuyor.
- Logaritma 1/5 tabanında 5 değeri -0,5 civarında hesaplanıyor.
- Logaritma 1/3 tabanında 5 değeri 1,5 civarında bulunuyor.
- 56:55Logaritma Değerlerinin Sıralaması
- a, b, c değerleri sıralanıyor: a (logaritma 2 tabanında 10) en büyük, b (logaritma 3 tabanında 20) ikinci, c (logaritma 6 tabanında 30) en küçük olarak belirleniyor.
- 58:09Logaritma Kuralları
- Logaritma a tabanında b ifadesinde hem a hem b birden büyükse sonuç yüzde yüz pozitiftir.
- Hem a hem b sıfır ile bir arasında (basit kesir) olsalar bile sonuç yüzde yüz pozitiftir.
- a ve b'den biri sıfır ile bir arasında, diğeri bir'den büyükse sonuç yüzde yüz negatiftir.
- 1:01:35Logaritma Problemleri
- Beş tabanında iki logaritmasının sonucu, beş üzeri eksi bir ile eksi on arasında bir değerdir.
- Beş tabanında beş logaritması bir, beş tabanında bir logaritması sıfırdır.
- a ve b bir'den farklı ise, a tabanında iki logaritması sıfırdan küçükse a sıfır ile bir arasındadır çünkü a bir'den büyük olursa sonuç pozitiftir.
- 1:03:21Logaritma Özellikleri
- 2020 sınav sorusunda a+b bir'den büyük olduğu belirtilmiştir, çünkü bir'den büyük bir değere pozitif bir sayı eklenirse sonuç yine bir'den büyük olur.
- B bir'den büyük, a ise sıfır ile bir arasında olduğunda b-a sıfırdan küçük olur çünkü büyükten küçük çıkınca sonuç negatiftir.
- a ile b arasında e, b bir'den büyük olduğunda, a ile b çarpımı bir'den küçük olabilir veya büyük olabilir.
- 1:05:29Logaritma Değerleri
- n bir ile beşyüz arasındayken, logaritma üç tabanında logaritma iki tabanında n'in sonucu tam sayı ise n'nin farklı değerleri incelenir.
- n=2 olduğunda sonuç bir tam sayıdır çünkü logaritma üç tabanında logaritma iki tabanında iki, üç tabanda iki eksi bir olduğundan sonuç bir olur.
- n'nin iki ve iki'nin kuvvetleri (iki üzeri üç, iki üzeri dokuz) olabileceği, ancak n'nin değeri bir ile beşyüz arasında olduğundan sadece iki ve sekiz olabilir.
- 1:08:36Logaritma Problemi Çözümü
- İki logaritma sorusunda tabanda x'i yok etmek için logaritma ifadeleri ters çevrilerek çarpanlar birbirini götürür.
- Logaritma b tabanında a'nın değeri 3/1 olarak bulunur ve sorunun cevabı 1/2 olarak hesaplanır.
- Soruda tabanda x istendiğinde, verilen ifadelerin tabanları x'e çevrilerek ve toplanarak çözüm yapılır.
- 1:11:14Çubuk Uzunluğu Problemi
- Bir çubuğun 4 eşit parçaya bölündüğünde bir parçanın uzunluğu logaritma 2 tabanında x olarak verilmiştir.
- Çubuğun 20 eşit parçaya bölündüğünde bir parçanın uzunluğu farklı bir logaritma ifadesiyle verilmiştir.
- İki ifadenin eşitliği kurularak logaritma 2 tabanında x'in değeri 17/8 olarak bulunur ve çubuğun toplam uzunluğu 4 ile çarpılarak 72 olarak hesaplanır.
- 1:14:54Logaritma Toplama Problemi
- Tabanda x istenen bir logaritma problemi için verilen ifadelerin tabanları x'e çevrilir.
- Ters çevrilen logaritma ifadeleri toplanır ve tabanları eşit olduğunda içlerde çarpma işlemi yapılır.
- Toplanan logaritma ifadelerinin sonucu 1/2 olarak bulunur.
- 1:17:44Logaritma Özellikleri
- Bir sayının üstünde logaritma görürseniz, tabandaki sayı ile logaritmanın yanındaki sayı yer değiştirebilirler.
- Yer değiştirme işlemi sonucunda, örneğin 7 üzeri logaritma 5 tabanında 5 ifadesi 7'e eşittir çünkü logaritma 5 tabanında 5 bir'dir.
- Logaritmalarda tabanda hiçbir şey yoksa, taban 10 olarak kabul edilir.
- 1:18:45Logaritma Soruları Çözümü
- Logaritma ifadelerinde yer değiştirme işlemi yapıldığında, sonuç çıkmıyorsa, her iki tarafın logaritmasını almak gerekir.
- Logaritma ifadelerinde üst kesilip öne düşer ve bu şekilde denklem çözülebilir.
- Çözülen logaritma denklemlerinde, logaritma ifadesi ortadan kalkar ve tabanın üssü olarak ifade edilir.
- 1:22:33Logaritma Denklemlerinin Çözümü
- Logaritma denklemlerinde, her iki tarafın logaritmasını alarak denklem çözülebilir.
- Çözülen denklemlerde, logaritma ifadeleri ortadan kalkar ve tabanın üssü olarak ifade edilir.
- Çözülen denklemlerin sonucunda elde edilen değerler toplanarak istenen sonuç bulunabilir.