• Buradasın

    Matematik Dersi: Fonksiyonlar, Ters Fonksiyonlar ve Bileşke Fonksiyonlar

    youtube.com/watch?v=-slUJVEqsfY

    Yapay zekadan makale özeti

    • Bu video, bir matematik öğretmeninin fonksiyonlar konusunu anlattığı kapsamlı bir eğitim içeriğidir. Öğretmen, fonksiyonların temel kavramlarını ve çeşitli uygulamalarını adım adım açıklamaktadır.
    • Video, fonksiyonların tersi, bileşke fonksiyonlar ve grafik yorumlama konularını kapsamaktadır. İlk bölümde fonksiyonların tersinin nasıl alınacağı, birebir ve örten fonksiyonlar anlatılırken, devamında bileşke fonksiyonların özellikleri ve hesaplanma yöntemleri gösterilmektedir. Son bölümde ise ÖSYM sınavlarında çıkabilecek soru tipleri çözülmektedir.
    • Videoda 27'den 38'e kadar olan sorular detaylı olarak çözülmekte, her soru için adım adım çözüm yöntemleri gösterilmektedir. Özellikle TYT sınavına hazırlık için önemli olan temel işlem düzeyinde sorular ele alınmakta ve fonksiyonların tanım kümesi, görüntü kümesi, kökleri ve grafiksel yorumlama gibi konular üzerinde durulmaktadır.
    00:07Fonksiyonların Tersi
    • Fonksiyonlar konusuna kaldığımız yerden devam ediyoruz ve şimdi fonksiyonların tersini ele alıyoruz.
    • Bir fonksiyonun tersi, fonksiyonun tanım kümesi ile görüntü kümesinin yer değiştirmesiyle elde edilir.
    • Bir fonksiyonun tersi için fonksiyonun birebir ve örten olması gerekir.
    00:52Fonksiyonun Tersini Alma Yöntemi
    • Fonksiyon f: A → B ise, f(x) = y şeklinde gösterilir ve tersini alırken x'i yalnız bırakmak gerekir.
    • Fonksiyonun tersini bulmak için verilen eşitlikte x yalnız bırakılır ve f(x) yerine y yazılır.
    • Doğrusal fonksiyonlar için ters alınırken x = (b - y) / a formülü kullanılır.
    02:46Ters Fonksiyon Örnekleri
    • f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (x - 2) / 2'dir.
    • f(x) = (3x + 4) / (2x - 5) fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (2x - 3) / (5x + 4) olarak bulunur.
    • f(x) = (2x - 3) / (x - 7) fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (7x - 3) / (x - 2) olarak hesaplanır.
    03:44Fonksiyonun Tersinin Farklı Gösterimi
    • Sorularda fonksiyonun tersi x = f(y) şeklinde de verilebilir.
    • Eğer bir ifadede x = 5f(y) + 4 / 2f(y) - 3 şeklinde bir ifade varsa, bu aslında fonksiyonun tersi alınmış halidir.
    • Fonksiyonun tersi alınıp bırakılabilir, bu durumda doğrudan fonksiyonun tersi alınmış olarak sonuca gidilebilir.
    05:03Ters Fonksiyon Problemleri
    • f(x) = (3x + 2) / 5 fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (5x - 2) / 3 olarak bulunur.
    • f(x) = (x - 3) / (2x - 3) fonksiyonunun tersi f⁻¹(x) = (x - 3) / (2x - 3) olarak hesaplanır.
    • f(x) = (ax - 4) / (3x - b) fonksiyonunda, tanım kümesinin paydasını sıfır yapan değer b = 6 olarak bulunur.
    • Tersinin tanım kümesini sıfır yapan değer a = 9 olarak hesaplanır ve a + b toplamı 15'tir.
    08:55Fonksiyonlarda Ortak İfadeler Bulma
    • f(x) = 2^(3x-1) fonksiyonu verilmiş ve f(2x) ifadesi bulunarak birbiri cinsinden yazma işlemi gösterilmiştir.
    • Ortak ifadeler bulmak için 2^(3x) ifadesi kullanılarak f(2x) = 2f(x) ilişkisi elde edilmiştir.
    • Alternatif olarak, x yerine 1 yazarak f(1) = 4 ve f(2) = 16 değerleri bulunmuş, bu değerler kullanılarak cevap 32 olarak hesaplanmıştır.
    14:21Ters Fonksiyonlar
    • Ters fonksiyonlar için x+5 = f(-1)(2x+5) şeklinde denklem kurularak x=3 değeri bulunmuştur.
    • f(-1)(13) = 8 olarak hesaplanmıştır.
    • f(x-1) = 2-3x fonksiyonunun tersi f(4) = -16 olarak bulunmuştur.
    15:52Bileşke Fonksiyonlar
    • Bileşke fonksiyonlar, birden fazla fonksiyonun bir arada kullanılmasıyla oluşan fonksiyonlardır.
    • f(g(x)) veya g(f(x)) şeklinde ifade edilen bileşke fonksiyonlarda değişme özelliği yoktur.
    • Bileşke fonksiyonlarda birleşme özelliği vardır ve bir fonksiyonun kendisiyle tersi işleme girdiğinde birim fonksiyon (i(x) = x) elde edilir.
    18:17Bileşke Fonksiyonlar
    • Bileşke fonksiyonlarda önce içteki fonksiyonun değerini bulup, sonra dıştaki fonksiyonun değerini hesaplamak gerekir.
    • f bileşke g(1) sorusunda önce g(1) = 3-2 = 1 bulunur, sonra f(1) = 7 olarak hesaplanır.
    • Bileşke fonksiyonlarda önce en içteki ifadeyi bulup, sonra dıştaki ifadeye yerleştirmek daha mantıklıdır.
    19:13Ters Fonksiyonlar ve Bileşke
    • f ve g birebir ve örten fonksiyonlar olmak üzere f bileşke g(x) = 3x-4 ve f(2g(x)) = 2g(x)+3 olduğunda, g(3) = 1 olarak bulunur.
    • f bileşke f bileşke ... bileşke f(5) sorusunda, çift sayıda f bileşkesi 5, tek sayıda f bileşkesi 10 olduğundan, 2018. bileşke 5'tir.
    • Ters fonksiyonlarla ilgili bileşke fonksiyonlarda, g⁻¹ bileşke f(3) = -1/2 olarak hesaplanır.
    23:57Grafik Üzerinden Fonksiyonlar
    • Grafik üzerinden f(-2) + f(f(2)) / f⁻¹(1) sorusunda, f(-2) = 1, f(2) = 0, f(0) = -2 ve f⁻¹(1) = -2 olarak bulunur.
    • f(-1) + g(2) + f(g(-1)) = 4 sorusunda, g(2) = 3, f(-1) = 3, f(0) = 1 ve g(-1) = 0 olarak hesaplanır.
    • f(x) = ax+b fonksiyonunda f(4) = 1 olduğunda, a = 2 ve b = -1 bulunur, a+b = 1 olarak hesaplanır.
    28:33Fonksiyon Bağıntıları
    • f(x+1) = x-4 ve g(x-3) = 3 bağıntıları verildiğinde, |x-4| = 3 denklemi çözülür.
    • x-4 = 3 veya x-4 = -3 denklemlerinden x = 7 veya x = 1 bulunur.
    • x = 7 ve x = 1 değerlerinin çarpımı 7 olarak hesaplanır.
    29:43Bileşke Fonksiyon Problemi
    • Bileşke fonksiyon f bileşke g(x) verilmiş ve g(3) - g(-2) ifadesinin değeri sorulmuş.
    • g(3) değeri için x=3 yerine yazılıp f bileşke g(3)=7 bulunmuş, bu da g(3)=f⁻¹(7)=0 olarak hesaplanmış.
    • g(-2) değeri için x=-2 yerine yazılıp f bileşke g(-2)=2 bulunmuş, bu da g(-2)=f⁻¹(2)=1 olarak hesaplanmış.
    • Sonuç olarak g(3) - g(-2) = 0-1 = -1 bulunmuş.
    31:59Bileşke Fonksiyon Grafiği Problemi
    • f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiş ve g(g(3)) değeri sorulmuş.
    • g(g(3)) = g(f(2)) = f(-1) + f(1) şeklinde hesaplanmış.
    • f(-1) = -2 ve f(1) = 2 olduğu için g(g(3)) = -2 + 2 = 0 denkleminin kökü bulunmuş.
    33:24Fonksiyon Kökleri ve Tanımsız Değerler
    • f(x) = 0 denklemini sağlayan a gerçel sayılarına f fonksiyonunun kökleri denir.
    • g(x-2)/f(x) + 1 = 0 denkleminin kökleri, g(x) = 2 olan değerlerdir ve grafiğe göre 2 tane kök vardır.
    • Fonksiyonu tanımsız yapan değerler, paydayı sıfır yapan g(x+1) = 0 denkleminin kökleri olup grafiğe göre 4 tane kök vardır.
    • Köklerin sayısının tanımsız yapan x değerlerin sayısına oranı 2/4 = 1/2 olarak bulunmuştur.
    36:48Birebir Fonksiyon Problemi
    • A kümesinden A kümesine giden birebir bir fonksiyon verilmiş ve f(1) + f(2) + f(3) toplamının alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin arasındaki fark sorulmuş.
    • En küçük değer için f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3 alınarak toplam 6 bulunmuştur.
    • En büyük değer için f(1)=4, f(2)=3, f(3)=2 alınarak toplam 9 bulunmuştur.
    • Aralarındaki fark 9 - 6 = 3 olarak hesaplanmış.
    38:11Grafiksel Yorum Problemi
    • Dik koordinat düzleminde f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiş ve a değeri için hangi ifadelerin doğruluğu sorulmuş.
    • f(a) < g(a) olduğunda, a değeri 0,5 ile 1 arasında olmalıdır.
    • h(a) < g(a) olduğunda, a değeri 1 ile 2 arasında olmalıdır.
    • f(a) < h(a) olduğunda, bu durum doğru değildir çünkü h(a) en büyük değerdir.
    41:03Fonksiyon Bileşkesi Problemi
    • Gerçek sayılar kümesi üzerinde f(x) = 2x + 1 şeklinde tanımlanan bir fonksiyon için f(f(a)) = 4f(a) denklemi çözülüyor.
    • f(a) = 2a + 1 olarak bulunup, bu değer f(x) fonksiyonuna yerleştirilerek denklem çözülüyor.
    • Sonuç olarak a = -1/4 değeri bulunuyor.
    42:33Fonksiyon Toplamı Problemi
    • f(nx) = f(1x) + f(2x) + ... + f(nx) şeklinde tanımlanan bir fonksiyon için f(71) değeri hesaplanıyor.
    • f(71) = f(1+2+3+4+5+6+7) = 7×8/2 = 28 olarak bulunuyor.
    • f(42) değeri hesaplanarak 28 ile oranlanıyor ve sonuç 2 olarak bulunuyor.
    43:45Fonksiyon Grafiği Problemi
    • Dik koordinat düzleminde f ve f+g fonksiyonlarının grafikleri verilmiş ve hangi ifadelerin her zaman doğrudur soruluyor.
    • A noktasında f(a) < f(a+g(a)) olduğundan g(a) > 0 şeklinde yorumlanıyor.
    • B noktasında f(b) + g(b) = f(b) olduğundan g(b) = 0 şeklinde yorumlanıyor.
    • C noktasında f(c) + g(c) < f(c) olduğundan g(c) < 0 şeklinde yorumlanıyor.
    • Sonuç olarak 1 ve 3 ifadeleri doğru bulunuyor.
    46:51Fonksiyon Denklemi Problemi
    • f(x) = ax + b ve g(x) = bx + b şeklinde tanımlanan fonksiyonlar için f(1) - g(1) = 0 şeklinde bir denklem çözülüyor.
    • g(1) = 0 olarak bulunup, b = -1 olarak hesaplanıyor.
    • f(2) + g(2) = 2a - 1 olarak hesaplanıp, a = 1,5 bulunuyor.
    • a×b = 1,5×(-1) = -1/2 olarak hesaplanıyor.

    Yanıtı değerlendir

  • Yazeka sinir ağı makaleleri veya videoları özetliyor