Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik eğitimi formatında kısmi integral (integration by parts) konusunu anlatan bir ders içeriğidir.
- Videoda kısmi integralin hangi integrallere uygulanabileceği ve çözüm adımları detaylı olarak açıklanmaktadır. Eğitmen önce "LAPT" kelimesini tanıtarak logaritma, arklı, polinom, trigonometrik ve üstel fonksiyonların kısmi integral ile çözülebileceğini belirtir, ardından üç adımlı uygulama yöntemini örneklerle gösterir.
- Videoda ln x ve x cos x integrallerinin kısmi integral yöntemiyle çözümü adım adım anlatılmakta, teorik bilgilerin yanı sıra pratik örneklerle desteklenmektedir. Eğitmen, daha zorlu sorular için gelecek bir video çekeceğini de belirtmektedir.
- 00:01Kısmi İntegral Yöntemi
- Kısmi integral (integration by parts) integral alma yöntemlerinden ikinci öğreneceğimiz yöntemdir, ilk olarak değişken değiştirme yöntemi öğrenmiştik.
- Kısmi integral yöntemi hangi integrallere uygulanabilir ve çözüm adımları nelerdir onları inceleyeceğiz.
- 00:31LAPTU Kavramı
- Kısmi integralde LAPTU kelimesi kullanılır: L=logaritma, A=arklı, P=polinom, T=trigonometrik, U=üstel fonksiyonları temsil eder.
- Logaritma: ln x, ln 2x, ln(x+1), log₂x gibi fonksiyonlar.
- Arklı: arcsin x, arctan x, arccos 3x+1 gibi fonksiyonlar.
- Polinom: x, 2x, x², x³+x² gibi fonksiyonlar (x'in üsleri doğal sayı olmalıdır).
- Trigonometrik: sin x, cos 3x, tan x gibi fonksiyonlar.
- Üstel: eˣ, e³ˣ, 2ˣ, 3ˣ gibi fonksiyonlar.
- 03:33Kısmi İntegralin Uygulanma Alanı
- Kısmi integral, LAPTU kelimesindeki beş fonksiyonun integral içinde yalnız bulunduğu durumları veya ikisinin çarpma durumunda olduğu durumları çözer.
- Kısmi integral, bu fonksiyonların bölüm durumunda olduğu durumları çözebilir.
- Örnekler: ln x, x·ln x, (x+1)·e²ˣ, arctan x, x²·cos x gibi integraller kısmi integral ile çözülebilir.
- 07:28Kısmi İntegralin Uygulanışı
- Kısmi integral yönteminin uygulanışı, örneğin x·eˣ fonksiyonu üzerinden anlatılacaktır.
- Birinci adım: İntegral u·dv şeklinde iki parçaya ayrılmalıdır.
- LAPTU kelimesi aynı zamanda öncelik sıralamasıdır; sağa doğru ok yönünde hangi fonksiyon önce varsa o u'dur.
- x·eˣ örneğinde polinom (x) önce gelir, bu nedenle u=x olarak belirlenir.
- Geriye kalan her şey dv'dir, yani dv=eˣ·dx olarak belirlenir.
- 11:32Kısmi İntegralin Adımları
- İkinci adım: u'dan du'yu ve dv'den v'yi üretmek gerekir.
- u=x'ten du=dx olarak bulunur.
- dv=eˣ·dx'ten v=eˣ olarak bulunur (integral sabiti +C bulunurken yazılmaz).
- Üçüncü adım: Kısmi integral için en önemli kural: ∫u·dv = u·v - ∫v·du.
- Bu kural uygulanarak integralin sonucu bulunur.
- 17:15Örnek Uygulama
- ln x'in integrali örneğiyle kısmi integral yönteminin uygulanışı gösterilecektir.
- LAPTU kelimesinde L harfi var, bu nedenle ln x kısmi integral ile çözülebilir.
- u=ln x olarak belirlenir, geriye kalan dx ise dv'dir.
- du=1/x·dx olarak bulunur.
- 19:28Kısmi İntegral Yöntemi Uygulaması
- Kısmi integral yönteminde her iki tarafın integrali alınarak çözüm yapılır.
- İlk örnekte ln x'in integrali hesaplanırken u=ln x ve dv=dx olarak belirlenir.
- İntegral hesaplandıktan sonra sonuç xln x - x + C olarak bulunur.
- 21:15Kısmi İntegral Yönteminin Kullanım Koşulları
- x cos x integrali için kısmi integral yönteminin kullanılabilirliği incelenir.
- Polinom ve trigonometrik fonksiyonların çarpım durumunda olduğu için kısmi integral kullanılabilir.
- LAPTU kuralı, kısmi integral yönteminin hangi durumlarda kullanılacağını belirler.
- 22:20Kısmi İntegral Yönteminin Uygulanması
- İntegralde u= x ve dv= cos x dx olarak belirlenir.
- u'nun türevi du= dx ve v'nin integrali v= sin x olarak hesaplanır.
- Sonuç x sin x + cos x + C olarak bulunur.
- 24:38Kısmi İntegral Yönteminin Önemi
- Kısmi integral yönteminde üç adımlık mantık her zaman aynı kalır.
- Daha zorlu sorularda aynı işlemi iki defa üst üste yapmak gerekebilir.
- Kısmi integral yönteminde LAPTU kuralının ne işe yaradığını ve hangi integrallerde kullanılacağını bilmek önemlidir.