Buradasın
İstanbul Teknik Üniversitesi Final Sınavında Çıkmış İntegral Sorusu Çözümü
youtube.com/watch?v=G_JBFPYQVJcYapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik eğitim içeriğidir. Eğitmen, İstanbul Teknik Üniversitesi'nde 2009 yılı final sınavında çıkmış bir integral sorusunu çözmektedir.
- Videoda, pay polinom, payda polinom olan kesirli integrallerin çözüm yöntemleri anlatılmaktadır. Eğitmen önce genel çözüm yöntemlerini açıklayıp, ardından verilen soruyu adım adım çözmektedir. Çözüm sürecinde basit kesirlere ayırma yöntemi, değişken değiştirme ve tanjant integrali gibi teknikler kullanılmaktadır. Video, integralin tam sonucunun bulunmasıyla sona ermektedir.
- İntegral Sorusunun Tanıtımı
- Video, İstanbul Teknik Üniversitesi'nde 2019 yılı final sınavında çıkmış bir integral sorusunu inceleyecek.
- Soru: ∫(x²+3)/(1-x)(x²+1) dx integralinin sonucunu bulmak.
- Payı ve paydası polinom olan integrallerde, payın derecesi paydanın derecesine eşit veya büyükse polinom bölmesi yapılmalıdır.
- 01:20İntegral Çözüm Yöntemleri
- Paydanın derecesi payın derecesinden büyük ve payda çarpanlarına ayrılabilirse basit kesirlere ayırma kullanılmalıdır.
- Paydanın derecesi payın derecesinden büyük ve çarpanlarına ayrılamıyorsa, integral değişken değiştirme ile çözülebilir veya sonucu arp'tan çıkan integraldir.
- Soruda paydanın derecesi payın derecesinden büyük ve çarpanlarına ayrılabildiği için basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılmalıdır.
- 02:20Basit Kesirlere Ayırma
- İntegral ∫(x²+3)/(1-x)(x²+1) dx = ∫(ax+b)/(1-x) + (c/x) + (b/x+1)/(x²+1) dx şeklinde parçalanır.
- Paydaları eşitlendikten sonra x², x ve sabit terimler için denklemler kurulur: a+b=1, b-c=1, a+c=3.
- Denklemler çözülerek a=2, b=1 ve c=1 bulunur.
- 05:09İntegralin Çözümü
- İntegral ∫(2/(1-x) + 1/x + 1/(x+1)/(x²+1)) dx şeklinde yazılır.
- 1/(1-x) ifadesinin integrali -ln|1-x| olarak bulunur, ancak paydanın türevi 1 olduğu için -1 eklenmelidir.
- İntegral iki parçaya ayrılır: ∫(2/x) dx + ∫(1/(x²+1)) dx + ∫(1/(x+1)/(x²+1)) dx.
- 07:06Sonuç
- ∫(2/x) dx integrali 2ln|x| olarak bulunur.
- ∫(1/(x²+1)) dx integrali 1/2 ln|x²+1| olarak bulunur.
- ∫(1/(x+1)/(x²+1)) dx integrali tanjant x olarak bulunur.
- İntegralin sonucu: -2ln|1-x| + 1/2 ln|x²+1| + tanjant x + C olarak elde edilir.