Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir matematik eğitmeni tarafından sunulan kapsamlı bir integral hesaplama dersidir. Eğitmen, integral konusunu adım adım anlatarak çeşitli soruları çözmektedir.
- Videoda polinom, trigonometrik ve rasyonel fonksiyonların integrali, değişken değiştirme yöntemi, kısmi integrasyon, basit kesirlere ayırma ve tabular çözüm gibi çeşitli integral hesaplama teknikleri ele alınmaktadır. Eğitmen her bir soruyu detaylı olarak çöterek, adım adım çözüm yöntemlerini göstermektedir.
- Video, temel integral kurallarından başlayarak daha karmaşık integral problemlerine kadar uzanan bir yapıya sahiptir. Özellikle e üzeri x, sinx, cosx, logaritmik fonksiyonlar ve trigonometrik formüllerin kullanımı gibi konular üzerinde durulmakta, türev-integral ilişkisi de açıklanmaktadır. Bu içerik, integral konusunda pratik yapmak isteyen öğrenciler için faydalı bir kaynak niteliğindedir.
- 00:11İntegral Hesaplama
- Üç x kare, eksi cosx, secant kare x, bir bölü x ve bir bölü bir artı x kare ifadelerinin integrali hesaplanıyor.
- Üç x kare'in integrali x küp artı c, eksi cosx'in integrali eksi sinx artı c, secant kare x'in integrali tanjant x artı c, bir bölü x'in integrali ln x artı c, bir bölü bir artı x kare'nin integrali ark tanjant x artı c olarak bulunuyor.
- 03:06İntegral Örnekleri
- Altı t eksi bir çarpı t artı bir dt integralinin sonucu iki t küp eksi altı t artı c olarak hesaplanıyor.
- İki eksi bir bölü x kare integralinin sonucu iki x artı bir bölü x artı c olarak bulunuyor.
- 04:59Değişken Değiştirme Yöntemi
- x küp artı x bölü kök içinde x dört artı iki x artı üç integrali için değişken değiştirme yöntemi kullanılarak u = x üzeri dört artı iki x kare artı üç olarak tanımlanıyor.
- İntegral sonucu bir bölü iki çarpı kök içinde x dört artı iki x kare artı üç artı c olarak hesaplanıyor.
- 07:46Kök İçindeki İntegral
- Sinüs x bölü kök x dx integrali için u = kök x değişken değiştirme yöntemi kullanılıyor.
- İntegral sonucu eksi iki cosinüs kök x artı c olarak bulunuyor.
- 10:07Trigonometrik İntegral
- Kosinüs kare x integrali için yarım açı formülü kullanılarak coskarex = (cos2x + 1)/2 dönüşümü yapılıyor.
- İntegral sonucu sinx cosx artı x artı c olarak hesaplanıyor.
- 14:10İntegral Hesaplama Örnekleri
- İntegral hesaplamasında trigonometrik özdeşlikler kullanılarak sin²x yerine 1-cos²x yazılabilir.
- İntegral hesaplamasında değişken değiştirme yöntemi kullanılarak cosx=u dönüşümü yapılabilir.
- İntegral hesaplamaları sonucunda elde edilen cevaplar şıklara bakılarak kontrol edilebilir.
- 17:06Kotanjant İle İlgili İntegral
- Kotanjant kare x ve kotanjant üzeri dört x'in integrali hesaplanırken ortak parantez alınabilir.
- Kotanjant x'in türevi -1-cot²x dx olduğu için değişken değiştirme yöntemi uygulanabilir.
- İntegral hesaplaması sonucunda kotanjant x/3 + C cevabı elde edilir.
- 18:30Ark Sinüs ve Ark Kosinüs İntegrali
- Ark sinüs x'in türevi 1/√(1-x²) olduğundan, bu formüle benzer ifadelerde değişken değiştirme yapılabilir.
- Cos²x=u dönüşümü yapılarak sin2x dx ifadesi -du olarak yazılabilir.
- İntegral hesaplaması sonucunda -arc cos cos²x + C cevabı elde edilir.
- 21:23Ark Tanjant İntegrali
- Ark tanjant x'in türevi 1/(1+x²) olduğundan, bu formüle benzer ifadelerde değişken değiştirme yapılabilir.
- İntegral hesaplamasında x+2/2=u dönüşümü yapılarak dx=2du elde edilir.
- İntegral hesaplaması sonucunda ark tanjant (x+2)/2 + C cevabı elde edilir.
- 24:54Logaritmik ve Üstel İntegraller
- İntegral 1/x dx hesaplanırken ln x=u dönüşümü yapılabilir.
- İntegral hesaplaması sonucunda ln |ln x| + C cevabı elde edilir.
- İntegral 6x²eˣ dx hesaplanırken x³=u dönüşümü yapılarak 2eᵘ + C cevabı elde edilir.
- 27:17Trigonometri ve İntegral Örnekleri
- Trigonometride cos a çarpı cos b formülü bir buçuk çarpı (cos(a+b) + cos(a-b)) şeklindedir.
- cos 2x çarpı cos 6x integrali hesaplanırken trigonometrik formül kullanılarak 8∫cos8x dx + 8∫cos4x dx şeklinde ayrıştırılır.
- İntegral sonucu 2sin4x + 8x + c olarak bulunur.
- 29:36Trigonometrik Değişken Değişimi
- 1/(1+2x) integrali hesaplanırken trigonometrik formüllerden yararlanılır.
- cos2x = 1-2sin²x formülü kullanılarak integral 1/(1+cos2x) şeklinde yazılır.
- Sonuç -cotx + c olarak bulunur.
- 31:45Kısmi İntegrasyon Kullanımı
- Kısmi integrasyonda LAPT kuralı kullanılır: L-logaritmik, A-arklı, T-polinom, T-trigonometrik, Ü-üstel ifadeler.
- 4x·e²ˣ integrali hesaplanırken u=4x ve dv=e²ˣ dx olarak alınır.
- Sonuç 2x·e²ˣ - e²ˣ + c veya e²ˣ(2x-1) + c olarak bulunur.
- 35:24Kısmi İntegrasyon Örnekleri
- arctan2x integrali hesaplanırken u=arctan2x ve dv=dx olarak alınır.
- İntegral hesaplanırken değişken değiştirme uygulanır: m=1+4x² ve dm=8x dx.
- Sonuç arctan2x·x - ¼ln(1+4x²) + c olarak bulunur.
- 38:34Karmaşık Kısmi İntegrasyon
- x²·eˣ integrali hesaplanırken önce u=x² ve dv=eˣ dx olarak alınır.
- İlk kısmi integrasyon sonucu x²·eˣ - 2∫x·eˣ dx elde edilir.
- İkinci kısmi integrasyonda u=2x ve dv=eˣ dx alınarak sonucu tamamlarız.
- Sonuç eˣ(x²-2x+2) + c olarak bulunur.
- 42:06Kısmi İntegrasyon ve Tabular Yöntemi
- Tabular yöntemi, kısmi integrasyon gerektiren sorularda kullanılır ve bir tarafın devamlı türevi alınırken diğer tarafın devamlı integrali alınır.
- Tabular yöntemde, türevi sıfırlanana kadar alınması gereken kısım türev alınır, diğer kısım ise integral alınır.
- Tabular yönteminde, türev alınan ve integral alınan değerler diagonal şekilde çarpılıp toplama ve çıkarma işlemlerine tabi tutulur.
- 44:21Kısmi İntegrasyon Örneği
- ∫e^(-x)sin(x)dx integrali için kısmi integrasyon uygulanır: u=sinx, du=cosx dx, dv=e^(-x)dx, v=-e^(-x).
- İlk kısmi integrasyon sonucunda elde edilen integral tekrar kısmi integrasyonla çözülür.
- Sonuçta elde edilen ifadede, başlangıç integrali (A) ve ters işaretli aynı integral (−A) bulunur, bu durumda A ifadesi bulunabilir.
- 50:00İntegral Çözümü
- ∫(2xe^(3x)+4xe^x)/e^x dx integrali, iki ayrı integral olarak ayrılır ve sadeleştirilir.
- ∫2e^(2x) dx ve ∫4e^(-2x) dx integrali çözülür ve sonuçlar birleştirilir.
- ∫4/(x^2-4) dx integrali için basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılır ve integral basit kesirlerin toplamı olarak yazılır.
- 53:19İntegral Hesaplama ve Basit Kesirler
- İntegral hesaplamalarında basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılır ve sonuçlar ln fonksiyonları şeklinde ifade edilir.
- İntegral hesaplamalarında basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılarak paydalar eşitlenir ve katsayılar bulunur.
- İntegral hesaplamalarında basit kesirler ayrı ayrı hesaplanır ve sonuçlar toplanarak sonucu elde edilir.
- 58:22İntegral Hesaplama Örnekleri
- İntegral hesaplamalarında basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılarak paydalar eşitlenir ve katsayılar bulunur.
- İntegral hesaplamalarında basit kesirler ayrı ayrı hesaplanır ve sonuçlar toplanarak sonucu elde edilir.
- İntegral hesaplamalarında basit kesirlere ayırma yöntemi kullanılarak paydalar eşitlenir ve katsayılar bulunur.
- 1:02:12İntegral Özellikleri ve Türev İlişkisi
- Bir fonksiyonun önce integrali sonra türevi alınırsa, fonksiyon yine aynı şekle dönüşür.
- İntegral hesaplamalarında eşitliğin her iki tarafının türevi alınarak fonksiyonun kendisi bulunabilir.
- İntegral hesaplamalarında değişken değiştirme yöntemi kullanılarak sorunun çözümü kolaylaştırılabilir.
- 1:06:17Fonksiyon Türevleri ve İntegral Uygulamaları
- Fonksiyonun ikinci türevi biliniyorsa, birinci türevi integral alınarak bulunabilir.
- Fonksiyonun birinci türevi biliniyorsa, fonksiyon kendisi integral alınarak bulunabilir.
- Fonksiyonun belirli değerleri biliniyorsa, sabit katsayılar bulunarak fonksiyonun tam formu elde edilebilir.