Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik dersidir. Eğitmen, iki vektör arasındaki açının nasıl hesaplanacağını anlatmaktadır.
- Videoda iki vektör arasındaki açının kosinüs teta formülü ile hesaplanması, düzlemde (R²) ve üç boyutta (R³) çeşitli örnekler üzerinden gösterilmektedir. Ayrıca trigonometrik açıların değerleri, kosinüs fonksiyonu ve vektörlerin iç çarpımı konuları ele alınmaktadır.
- Videoda ortogonal vektörler kavramı tanımlanmakta, iç çarpımların pozitif olduğu durumlarda açıların dar açı olduğu bilgisi paylaşılmaktadır. Eksi üç bölü iki kök üç gibi trigonometrik ifadelerin değerleri hesaplanarak, açıların geniş, dar veya dik açı olma durumları açıklanmaktadır.
- İki Vektör Arasındaki Açının Hesaplanması
- İki vektör arasındaki açı kosinüs teta = (u iç çarpım v) / (|u| × |v|) formülü ile belirlenir.
- Vektörlerden biri sıfır vektörü olursa, paydada sıfır gelir ve bu durumda vektörler arasındaki açı tanımlı değildir.
- 00:46Düzlemde İki Vektör Arasındaki Açının Örneği
- R² uzayında (1,2) ve (-2,-4) vektörleri arasındaki açı hesaplanırken, kosinüs teta = ((1×-2) + (2×-4)) / (√(1²+2²) × √((-2)²+(-4)²)) formülü kullanılır.
- Hesaplamalar sonucunda kosinüs teta = -1 bulunur ve teta = π (180 derece) olarak belirlenir.
- Görsel olarak da vektörlerin arasındaki açının 180 derece olduğunu görmek mümkündür.
- 03:20Üç Boyutlu Uzayda İki Vektör Arasındaki Açının Örneği
- R³ uzayında (3,2,-7) ve (2,4,2) vektörleri arasındaki açı hesaplanırken, kosinüs teta = ((3×2) + (2×4) + (-7×2)) / (√(3²+2²+(-7)²) × √(2²+4²+2²)) formülü kullanılır.
- Hesaplamalar sonucunda kosinüs teta = 0 bulunur ve teta = π/2 (90 derece) olarak belirlenir.
- İki vektör arasındaki açı 90 derece olduğundan, bu vektörler birbirine dik (ortogonal) olup iç çarpımları sıfırdır.
- 05:47Ortogonal Vektörler
- İç çarpımları sıfıra eşit olan vektörlere ortogonal vektörler denir.
- İki vektörün iç çarpımı sıfırsa, bu vektörler ortogonaldir.
- Örneğin, (3,2,-1,4) ve (1,-1,1,0) vektörleri iç çarpımları sıfır olduğundan ortogonaldır.
- 07:19Ortogonal Vektörlerin Belirlenmesi
- R² uzayında (4,-2) vektörü ile ortogonal olan tüm vektörler (t, -2t) şeklinde belirlenebilir, burada t tüm reel sayılar olabilir.
- Bu vektörler (1,-2) vektörünün tüm reel katlarıdır ve (4,-2) vektörüyle dikdir.
- 11:20Vektörler Arasındaki Açının Özellikleri
- İki vektör arasındaki açı dar açı olur (0 < teta < π/2) eğer u iç çarpım v > 0 ise.
- R³ uzayında (2,-1,1) ve (-1,1,0) vektörleri arasındaki açı hesaplanırken, kosinüs teta = (-2-1+0) / (√(2²+(-1)²+1²) × √((-1)²+1²+0²)) formülü kullanılır.
- 13:10Trigonometrik Açı Değerleri
- Eksi üç bölü iki kök üç ile yukarı aşağı çarpma işlemi yapılarak eksi kök üç bölü iki sonucuna ulaşılmaktadır.
- Kosinüsün kök üç bölü iki olduğu açı otuz derece olduğundan, eksi değer alması durumunda 180 derece eksi otuz derece olan 150 derece açısı bulunur.
- U ve v vektörlerinin iç çarpımının eksi üç çıktığı için (negatif olduğu için) teta açısının geniş açı olduğu anlaşılır.
- 14:12İç Çarpım ve Açı İlişkisi
- U iç çarpım v negatif olduğunda teta açısının geniş açı olduğu belirtilir.
- U iç çarpım v pozitif olduğunda teta açısının dar açı olduğu hatırlatılır.
- U iç çarpım v sıfır olduğunda vektörlerin ortogonal olduğu ve teta açısının dik açı olduğu ifade edilir.