Buradasın
En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve Öklit Bölme Algoritması Dersi
youtube.com/watch?v=xJwbG58FmiQYapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik dersi formatındadır.
- Video, en büyük ortak bölen (EBOB) kavramını tanımlayarak başlıyor ve günlük hayattaki uygulamalarını örneklerle gösteriyor. Ardından Öklit bölme algoritmasının nasıl çalıştığı, asal çarpanlara ayırma yöntemine göre daha verimli olduğu ve EBOB'un neden bu algoritmada verildiği kanıtlanıyor. Eğitmen, tümevarımsal bir yaklaşım kullanarak algoritmanın her adımında EBOB'un değişmediğini gösteriyor.
- Videoda ayrıca EBOB'nin bilgisayarlarda nasıl hesaplanabileceği ve bunun için geliştirilen algoritmalar hakkında bilgiler de verilmektedir. "A = qb + r" şeklindeki ifadelerin EBOB'ları arasındaki ilişkiyi kanıtlayarak, algoritmanın son adımındaki sıfır olmayan kalanın EBOB olduğunu göstermektedir.
- Ortak Bölen Kavramı
- İki doğal sayı için, hem a'yı hem b'yi bölen bir d sayısı "ortak bölen" olarak adlandırılır.
- Ortak bölen kavramı, bahçede çit çekme veya ağaç dikme gibi günlük hayatta sorulan sorularda kullanılır.
- İki sayının birden fazla ortak böleni olabilir ve bunların en büyüğü "en büyük ortak bölen" olarak adlandırılır.
- 02:30En Büyük Ortak Bölenin Özellikleri
- İki sayıyı aynı anda bölen her sayı, her iki sayıyı da böler.
- Doğal sayılarda, en büyük ortak bölen gerçekten en büyük olan sayıdır ve diğer tüm ortak bölenlerin katıdır.
- En büyük ortak bölen, sayı değeri olarak en büyük olan ve diğer tüm ortak bölenlerin katı olan sayıdır.
- 04:45En Büyük Ortak Bölenin Bulunması
- İki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için, sayıları asal çarpanlarına ayırıp ortak olanları almak gerekir.
- Bu yöntem her sayı için uygulanabilir ancak büyük sayılar için uzun ve zor olabilir.
- Bilgisayarlar için asal çarpanlara ayırma problemi yorucu ve uzun zaman alabilir, bu nedenle daha etkili bir algoritma geliştirilmiştir.
- 06:45En Büyük Ortak Bölen Kavramı
- İki sayı aynı ise, en büyük ortak bölenleri kendileri olur.
- İki sayı için biricik q ve r sayıları vardır, bu sayıların biricikliği çok önemlidir.
- İki farklı kalan olamaz, aksi takdirde çelişki elde edilir.
- 12:38Bölme Algoritması
- Bölme algoritmasında, büyük sayı küçük sayıya bölünür ve kalan bulunur.
- Bölme işlemi tekrarlanarak, kalan sıfır olana kadar devam edilir.
- Algoritmanın sonunda kalan, iki sayının en büyük ortak bölenidir.
- 15:39Algoritmanın Avantajları
- Bölme algoritması, asal çarpanlara ayırma gibi karmaşık işlemlere göre daha az basamakta sonuç verir.
- Algoritma sadece pozitif sayılar için geçerlidir.
- Algoritma, bilgisayar için kolay uygulanabilir bir yöntemdir.
- 19:42Öklit Algoritması ve En Büyük Ortak Bölen
- Öklit algoritması, verilen herhangi bir sayıyı kullanarak en büyük ortak böleni bulmayı sağlar.
- Algoritmanın güvenilirliği, her adımda en büyük ortak bölenin aynı kalmasını kanıtlayarak sağlanabilir.
- Algoritmanın her adımda en büyük ortak bölenin aynı kalmasını kanıtlamak için, a = q₁b + r₁ şeklinde yazılan sayıların en büyük ortak böleninin r₁ olduğunu göstermek yeterlidir.
- 23:41Kanıtlama Yöntemi
- Kanıtlama yaparken, tanımları kullanarak ve ortak bölenlik kavramlarını kullanarak ilerlemek gerekir.
- İki sayının en büyük ortak böleninin aynı olduğunu kanıtlamak için, her iki sayının da ortak böleninin aynı olduğunu göstermek yeterlidir.
- Pozitif sayılar için, bir sayı diğerini tam bölerse ve her ikisi de birbirini bölerse, bu sayılar eşittir.
- 28:03Tümevarımsal Kanıt
- Öklit algoritmasının her adımda en büyük ortak bölenin aynı kalmasını kanıtlamak için tümevarımsal yöntem kullanılır.
- Birinci adımdan n. adıma kadar her adımda, a₁b₁'in en büyük ortak böleninin a₂b₂'in en büyük ortak bölenine eşit olduğu gösterilir.
- Son adımda sıfır olmayan kalan rₙ olduğunda, bu rₙ'in her adımda değişmediği ve bu nedenle ilk adımda da aynı olduğu kanıtlanır.