Buradasın
Diferansiyel Denklemler Serisi: Dirac Delta Fonksiyonu ve Laplace Dönüşümü
youtube.com/watch?v=8IU0198SJG8Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan diferansiyel denklemler serisinin son dersidir. Eğitmen, matematiksel hesaplamalar yaparak konuyu anlatmaktadır.
- Video, Dirac delta fonksiyonunun tanımı ve özellikleri ile başlayıp, Laplace dönüşümü ve ters Laplace dönüşümü konularına geçiş yapmaktadır. İçerikte Dirac delta fonksiyonunun fiziksel uygulamaları, dikdörtgen fonksiyonu üzerinden elde edilmesi, Laplace dönüşümü hesaplaması ve sürtünmeli ortamda bir yayın ucuna bağlı kütle problemi üzerinden diferansiyel denklem oluşturma ve çözüm süreci adım adım anlatılmaktadır.
- Videoda ayrıca parçalı kesirler yöntemiyle diferansiyel denklemlerin çözülmesi ve ters Laplace dönüşümü uygulaması gösterilmektedir. Bu ders, mühendislik öğrencileri için önemli olan diferansiyel denklemlerin fizik, matematik ve mühendislik alanlarındaki uygulamalarını içermektedir.
- 00:11Dirac Delta Fonksiyonu Tanıtımı
- Diferansiyel denklemler serisinin son dersinde Dirac delta fonksiyonu konusu ele alınacaktır.
- Dirac delta fonksiyonu, fiziksel parametrelerin küçük bir zaman dilimi için büyük bir değere çıkıp sonra tekrar sıfır olabilen bir fonksiyon türüdür.
- Futbolcu topa vurduğu zaman topa uygulanan kuvvetin değeri çok küçük bir an için maksimum değere çıkar ve sonra hızlı bir şekilde sıfıra iner.
- 01:31Dikdörtgen Fonksiyonu Tanımı
- Dikdörtgen fonksiyonu, belli bir zaman aralığı için belli bir değere sahip, sonra tekrar sıfıra düşen bir fonksiyondur.
- Dikdörtgen fonksiyonunun yüksekliği 1/2a, taban aralığı 2a ve altında kalan alanı 1 olarak dizayn edilmiştir.
- Dikdörtgen fonksiyonunun integrali, sigma-a'dan sigma+a'ya kadar alınan integralin değeri 1'dir.
- 06:13Dirac Delta Fonksiyonunun Oluşumu
- Alan sabit kalmak koşuluyla tabanı küçültüldüğünde, yükseklik artar ve sigma sıfıra doğru giderse fonksiyonun tam a noktasındaki yüksekliği sonsuza gider.
- Limit durumunda elde edilen fonksiyona Dirac delta fonksiyonu denir.
- Dirac delta fonksiyonu, altında kalan alanı 1 olan, taban genişliği 0 olan ve yüksekliği sonsuz olan bir fonksiyondur.
- 09:20Dirac Delta Fonksiyonunun Özellikleri
- Dirac delta fonksiyonu, sadece t=a noktasında sıfırdan farklı değer alır, diğer tüm değerlerde sıfırdır.
- Bir f fonksiyonu ile Dirac delta fonksiyonunun çarpımı, sadece t=a noktasında f(a) değerini alır, diğer tüm değerlerde sıfırdır.
- Dirac delta fonksiyonu, bir fonksiyonun sadece belirli bir t değerdeki sonucunu almak istendiğinde kullanılır.
- 13:35Delta Fonksiyonunun Laplace Dönüşümü
- Delta fonksiyonunun Laplace dönüşümü, integral sıfırdan sonsuza kadar e üzeri eksi s t delta t a dt şeklinde hesaplanır.
- Delta fonksiyonu, t'nin a'ya eşit olduğu değerini alır ve integral dışına çıkar.
- Delta fonksiyonunun Laplace dönüşümü sadece e üzeri eksi s a olarak bulunur.
- 15:48Delta Fonksiyonunun Özellikleri
- t çarpı delta fonksiyonunun Laplace dönüşümü, e üzeri eksi s a çarpı (t-a) şeklinde hesaplanır.
- Delta fonksiyonu t=0 etrafında konuşlanmış bir PPK gösterir ve dönüşümü sadece 1'dir.
- Delta fonksiyonu, belirli bir an için uygulanan kısa süreli kuvvetleri ifade etmek için kullanılır.
- 17:46Sürtünmeli Ortamda Yay Sistemi Problemi
- Sürtünmeli ortamda bir yay ucuna bağlı kütlenin hareket denklemi, dışarıdan uygulanan kuvvet, sürtünme kuvveti ve yayın geri çağırıcı kuvvetinden oluşur.
- Dışarıdan uygulanan kuvvet, t=3 anında bir pik yapıp sonra kaybolan delta fonksiyonu ile ifade edilir.
- Newton ikinci yasası kullanılarak ikinci dereceden lineer homojen olmayan diferansiyel denklem elde edilir.
- 23:34Diferansiyel Denklemin Çözümü
- Delta fonksiyonu içeren diferansiyel denklem, Laplace dönüşümü kullanılarak çözülür.
- Laplace dönüşümü uygulandığında, ikinci türevin dönüşümü s kare ys eksi s y eksi y üssü şeklinde bulunur.
- S uzayında çözülen denklem, ters Laplace dönüşümü uygulanarak t uzayına geçirilir.
- 27:37Laplace Dönüşümü ve Parçalı Kesirler
- Verilen ifade parçalara ayrılır ve Laplace dönüşümü için hazırlık yapılır.
- Parçalı kesirler yöntemi kullanılarak ifade, s-1 ve s-2 paydalarına ayrılmış kesirler şeklinde yazılır.
- A ve B katsayıları hesaplanarak parçalı kesirler şeklinde ifade tamamlanır.
- 32:55Ters Laplace Dönüşümü
- Parçalı kesirler şeklinde yazılan ifadeye ters Laplace dönüşümü uygulanır.
- e^(-3s) çarpımı basamak fonksiyonu (Heaviside fonksiyonu) olarak yorumlanır.
- Ters Laplace dönüşümü sonucunda ötelenmiş (shifted) sönümlü salınım fonksiyonları elde edilir.
- 36:30Uygulama ve Kapanış
- Yayın ucuna bağlı kütleye uygulanan zorlanımlı kuvvet, Dirac delta fonksiyonu ile modellenir ve salınımı 3 birim kadar öteler.
- Bu tür problemler özellikle mühendislik, özellikle elektrik-elektronik mühendisliğinde sinyal düzenlemelerinde kullanılır.
- Diferansiyel denklemler, fizikçiler, matematikçiler ve mühendisler için temel bir matematik teknigidir ve herhangi bir problemle uğraşırken kullanılır.