Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, Onur Reata tarafından sunulan bir matematik dersidir. Onur, dairenin alan formülü olan πr²'nin integral kullanarak nasıl ispatlanacağını anlatmaktadır.
- Videoda, dairenin alan formülünün integral yöntemiyle ispatı adım adım gösterilmektedir. Önce çeyrek dairenin alanı hesaplanarak, ardından bu alanın dört katı olan tam dairenin alanı bulunur. İspat sürecinde değişken değiştirme yöntemi (x = rsin(t) dönüşümü) ve trigonometrik formüller (cos²t = 1 - sin²t, sin²t = 1 - cos²t) kullanılmaktadır. Video, daha önce üçgende alan ve limit kullanarak yapılan iki farklı ispatın yanı sıra üçüncü bir ispat yöntemi sunmaktadır.
- 00:10Dairenin Alan Formülünün İntegral İspatı
- Videoda dairenin alan formülü olan πr²'nin integral kullanılarak ispatı yapılacak.
- Daha önce üçgende alan ve limit kullanılarak iki farklı ispat yayınlanmıştı.
- İntegral eğri altında kalan alandır, bu nedenle çeyrek dairenin integrali hesaplanıp dört katı alınarak tam dairenin alanı bulunacak.
- 01:04İntegralin Hesaplanması
- Çeyrek dairenin alanı için 0'dan r'ye kadar integral alınacak ve çemberin denklemi x² + y² = r² kullanılarak y = √(r² - x²) formülü elde edilecek.
- İntegral hesaplaması için değişken değiştirme yöntemi kullanılacak: x = r sin t dönüşümü yapılacak ve dx = r cos t dt olarak yazılacak.
- İntegral sınırları x'e bağlı olduğu için, değişken değiştirme sonrası t'ye bağlı hale gelecek ve sınırlar da t'ye göre belirlenecek.
- 03:49İntegralin Tamamlanması
- İntegralde kök içindeki ifade r²(1 - sin² t) şeklinde yazılacak ve sin² t = cos² t olduğu için ifade cos² t olarak sadeleştirilecek.
- cos² t'nin integrali için trigonometrik yarım açı formülü kullanılarak cos 2t + 1/2 ifadesi elde edilecek.
- İntegral sonucunda r²/2(sin 2t + 1/2) ifadesi elde edilecek ve t yerine arsin x yazarak x'e bağlı hale getirilecek.
- 06:40Sonuç
- İntegral sınırları 0'dan r'ye kadar yerleştirildiğinde, sin 2t ifadesi 0'dan π'ye kadar 0'dan π/2'ye kadar olan değerlerin toplamı olarak hesaplanacak.
- sin π/2 = 1 ve sin π = 0 şeklinde hesaplandığında, integral sonucu πr²/4 olarak bulunacak.
- Çeyrek dairenin alanı πr²/4 olduğundan, tam dairenin alanı bunun dört katı olan πr² olarak hesaplanacak.