Yapay zekadan makale özeti
- Kısa
- Ayrıntılı
- Bu video, bir eğitmen tarafından sunulan matematik dersi formatındadır.
- Videoda çok değişkenli fonksiyonların türevi konusu ele alınmakta olup, zincir kuralı detaylı olarak anlatılmaktadır. İçerik, tek değişkenli fonksiyonlardan başlayarak iki değişkenli, n değişkenli ve m değişkenli fonksiyonlara kadar zincir kuralının formüllerini ve uygulamalarını kapsamaktadır. Ayrıca, üç değişkenli fonksiyonların türevi konusu da iki farklı yöntemle (normal tanım ve kısmi türevler) açıklanmaktadır.
- Video, teorik açıklamaların yanı sıra örnek soru çözümleriyle desteklenmekte ve kapalı fonksiyonun türevinin bir sonraki videoda anlatılacağı bilgisiyle sonlanmaktadır.
- 00:01Zincir Kuralı ve Kapalı Türevlenebilirlik
- Video, zincir kuralı ve kapalı türevlenebilirlik konusunu anlatmaktadır.
- Tek değişkenli fonksiyonlar x(t) ve y(t), f(x,y) fonksiyonu ise (x(t), y(t)) noktasında türevlenebilirdir.
- f(x,y) fonksiyonu, x(t) ve y(t) fonksiyonlarının bileşkesi olarak tanımlanabilir ve t noktasında türevlenebilirdir.
- 01:12Zincir Kuralının Formülü
- f'(t) = f_x(x(t), y(t)) * x'(t) + f_y(x(t), y(t)) * y'(t) eşitliğini sağlar.
- İspat için x(t) ve y(t) fonksiyonlarının t noktasında türevlenebilir olduğu varsayılmaktadır.
- Delta x(t) = x(t) + Δx(t) - x(t) ve delta y(t) = y(t) + Δy(t) - y(t) şeklinde tanımlanmıştır.
- 03:06İspatın Devamı
- f(x,y) fonksiyonu (x(t), y(t)) noktasında türevlenebilir olduğundan, f(x(t), y(t)) - f(x(t), y(t)) = f_x(x(t), y(t)) * Δx(t) + f_y(x(t), y(t)) * Δy(t) + α * (x(t) + Δx(t) - x(t)) * Δx(t) + β * (y(t) + Δy(t) - y(t)) * Δy(t) şeklinde ifade edilebilir.
- Alfa ve beta fonksiyonları türevlenebilir ve sürekli olarak tanımlanmıştır.
- Limit Δt → 0'da, alfa ve beta fonksiyonlarının limitleri sıfıra gider.
- 11:14İspatın Tamamlanması
- Limit Δt → 0'da, f'(t) = f_x(x(t), y(t)) * x'(t) + f_y(x(t), y(t)) * y'(t) eşitliği elde edilir.
- Zincir kuralı formülü d/dt f(x,y) = (d/dx f) * dx/dt + (d/dy f) * dy/dt şeklinde yazılabilir.
- 17:33Zincir Kuralı ve Parametrik Fonksiyonlar
- Zincir kuralı, f(x,y) fonksiyonunun x ve y'nin t'ye bağlı olduğu durumlarda uygulanır.
- Eğer x = x(t,s) ve y = y(t,s) fonksiyonları t ve s'ye göre türevlenebilir ve f(x,y) fonksiyonu (x(t,s), y(t,s)) noktasında türevlenebilirse, f(t,s) fonksiyonu türetilebilir.
- f(t,s) fonksiyonunun türevi, f'in x'e göre kısmi türevinin x(t,s)'deki değeri çarpı x'(t,s) + f'in y'ye göre kısmi türevinin y(t,s)'deki değeri çarpı y'(t,s) şeklinde hesaplanır.
- 23:55Çoklu Değişkenli Parametrik Fonksiyonlar
- Eğer x(i) fonksiyonları t₁, t₂, ..., tₘ gibi m değişkenli fonksiyonlar ve f(x₁, x₂, ..., xₙ) fonksiyonu t₁, t₂, ..., tₘ noktasında diferansiyellenebilirse, f(t₁, t₂, ..., tₘ) fonksiyonu türetilebilir.
- f(t₁, t₂, ..., tₘ) fonksiyonunun türevi, f'in x₁'e göre kısmi türevinin x₁(t₁, t₂, ..., tₘ)'deki değeri çarpı x₁'(t₁, t₂, ..., tₘ) + f'in x₂'ye göre kısmi türevinin x₂(t₁, t₂, ..., tₘ)'deki değeri çarpı x₂'(t₁, t₂, ..., tₘ) + ... + f'in xₙ'e göre kısmi türevinin xₙ(t₁, t₂, ..., tₘ)'deki değeri çarpı xₙ'(t₁, t₂, ..., tₘ) şeklinde hesaplanır.
- Bu formül, üç değişkenli parametrik fonksiyonlar için de geçerlidir.
- 27:52Örnek Soru Çözümü
- f(x,y) = x² + xy fonksiyonu ve x = eᵗ, y = sinᵗ fonksiyonları verildiğinde, f(t) = e²ᵗ + eᵗ sinᵗ şeklinde tek değişkenli bir fonksiyon elde edilir.
- f'(t) türevi, 2e²ᵗ + eᵗ cosᵗ olarak hesaplanır.
- f'(t) = fₓ(t)x'(t) + fᵧ(t)y'(t) formülü kullanılarak da aynı sonuç elde edilir, bu da zincir kuralının doğruluğunu gösterir.
- 32:53Üç Değişkenli Fonksiyon Örneği
- Kapalı fonksiyonun türevi bir sonraki videoda ele alınacak.
- Örnek olarak f(x,y,z) = x·y + y·z + x·z şeklinde bir üç değişkenli fonksiyon tanımlanıyor.
- x = t + s, y = t·s, z = s şeklinde parametrik fonksiyonlar veriliyor.
- 36:22Fonksiyonun Parametrik Değerleri
- f(t,s) fonksiyonu için x = t + s, y = t·s, z = s değerleri yerine konularak f(t,s) = t² + 2ts - s² olarak bulunuyor.
- f(t,s) fonksiyonunun t'ye göre kısmi türevi 2t + 2s, s'ye göre kısmi türevi 2t - 2s olarak hesaplanıyor.
- Parametrik fonksiyonlar kullanıldığında türev hesaplaması daha kolay hale geliyor.
- 45:12Parametrik Türev Hesaplama Yöntemi
- f(t,s) fonksiyonunun t'ye göre türevi, f'in x'e göre türevi çarpı x'in t'ye göre türevi + f'in y'ye göre türevi çarpı y'nin t'ye göre türevi + f'in z'ye göre türevi çarpı z'nin t'ye göre türevi şeklinde hesaplanıyor.
- Benzer şekilde f(t,s) fonksiyonunun s'ye göre türevi, f'in x'e göre türevi çarpı x'in s'ye göre türevi + f'in y'ye göre türevi çarpı y'nin s'ye göre türevi + f'in z'ye göre türevi çarpı z'nin s'ye göre türevi şeklinde hesaplanıyor.
- Kapalı fonksiyonun türevi bir sonraki videoda ele alınacak.